武汉市新洲区2014届高三期末目标检测理 科 数 学 满分：15 0分 考试时间：1 2 0分钟 2014.1一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1．如图，在复平面内，若复数对应的向量分别是，则复数所对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2. 设等比数列的公比，前项和为，则的值为（ ）A． B．C． D．3．已知向量=（－1，2）,,,则（ ）A．4 B．－4 C．－6 D．34.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的体积是（　　）A． B． C． D．5、函数=R)的图像如图所示，如果，且 ，则 ( )A． 1　 　 B． C． 　　 D．6．已知为两条不同的直线，为一个平面。若，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 　 B.必要不充分条件 C. 充要条件 　　 D. 既不充分又不必要条件7．函数具有下列特征：，则的图形可以是下图中的（　　　）8．已知双曲线的右焦点是F, 过点F且倾角为600的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的范围是（ ） A. B. (1,2) C. D. 9．已知函数f（x）对于任意的x∈R，导函数f＇(x)都存在，且满足≤0，则必有（）A． B．C． D．10．如图，从点发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点P，反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线上的点N，经直线反射后又回到点M，则等于（ ）A．5 B．6 C．7D．8二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在答题卡的相应位置.11．在的展开式中的常数项为p，则 .12．已知实数满足若目标函数取得最小值时最优解有无数个，则实数的值为 　　.13. 设x，y，z∈R+且，则的最小值是　　.14. 函数的值域是_ ________15．对于个互异的实数，可以排成行列的矩形数阵，右图所示的行列的矩形数阵就是其中之一．将个互异的实数排成行列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为，并设其中最小的数为；把每列中最小的数选出，记为，并设其中最大的数为.两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下：①和必相等； ②和可能相等；③可能大于； ④可能大于．以上四个结论中，正确结论的序号是__________________（请写出所有正确结论的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）在数列中，，并且对于任意n∈N*，都有．（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求使得的最小正整数.17.（本小题满分12分）已知、、是中、、的对边,,，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的值．18. （本小题满分12分）请你设计一个LED霓虹灯灯箱。现有一批LED霓虹灯箱材料如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形LED散片，边CD上有一以其中点M为圆心，半径为2cm的半圆形缺损，因此切去阴影部分（含半圆形缺损）所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于空间一点P，正好形成一个正四棱柱形状有盖的LED霓虹灯灯箱，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.（1）用规格长宽高=外包装盒来装你所设计的LED霓虹灯灯箱，灯箱彼此间隔空隙至多0.5cm，请问包装盒至少能装多少只LED霓虹灯灯箱（每只灯箱容积V最大时所装灯箱只数最少）?（2）若材料成本2元/cm2,霓虹灯灯箱销售时以霓虹灯灯箱侧面积S（cm2）为准，售价为2.6元/cm2.试问每售出一个霓虹灯灯箱可获最大利润是多少？19. （本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B = 900，D为棱BB1上一点，且面DA1 C⊥面AA1C1C.。(1)求证：D为棱BB1中点；（2）为何值时，二面角A －A1D － C的平面角为600。20. （本小题满分13分）如图所示，设抛物线的焦点为，且其准线与轴交于，以，为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为P（1）当时，求椭圆的方程；（2）是否存在实数，使得的三条边的边长是连续的自然数？若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由并求Sin∠PF1F2的值。21. （本小题满分14分）如下图，过曲线：上一点作曲线的切线交轴于点，又过作 轴的垂线交曲线于点，然后再过作曲线的切线交轴于点，又过作轴的垂线交曲线于点，，以此类推，过点的切线 与轴相交于点，再过点作轴的垂线交曲线于点（N）．(1) 求、及数列的通项公式；(2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为，求的表达式； (3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为，求证：N.武汉市新洲区2014届高三期末目标检测数学试题（理科） 参考答案一、选择题BCCAD DBCAB二、填空题11.21 12.-1 13. 14. 15. ②③三．解答题16.解：(1)，因为，所以，∴ 数列是首项为1，公差为2的等差数列，∴ ，从而 …………………………………………6分(2) 因为 所以 ， 由， 得，最小正整数为77.………………………………………………12分17.解（Ⅰ）在中，由余弦定理得， 即，，解得 ……………………6分（Ⅱ）由得为钝角，所以 在中， 由正弦定理，得则 由于为锐角，则 ……………12分18.解（1），所以，，当时，V递增，当时，V递减，所以，当x=20时，V最大.此时正四棱柱形灯箱底面边长，高为.用规格为外包装盒来装灯箱，彼此间隔空隙至多0.5cm，至少装下=125个灯箱.答：至少装下125个灯箱. ………6分（2）（）,所以x=15cm时侧面积最大，最大值是（cm2）此时获利最大，最大利润为（元）.答：每个灯箱最大利润1080元. ……………………12分19.解：（1）过点D作DE ⊥ A1 C 于E点，取AC的中点F，连BF ?EF。∵面DA1 C⊥面AA1C1C且相交于A1 C，面DA1 C内的直线DE ⊥ A1 C∴直线DE⊥面AA1C1C ………3分又∵面BA C⊥面AA1C1C且相交于AC，易知BF⊥AC，∴BF⊥面AA1C1C由此知：DE∥BF ，从而有D，E，F，B共面，又易知BB1∥面AA1C1C，故有DB∥EF ，从而有EF∥AA1，又点F是AC的中点，所以DB ＝ EF ＝ AA1 ＝ BB1，所以D点为棱BB1的中点； …………6分（2）解法1：建立如图所示的直角坐标系，设AA1 ＝ 2b ，AB＝BC ＝ ，则D（0,0,b）, A1 (a,0,2b), C (0,a,0) …………分 所以， ………8分设面DA1C的法向量为则 可取又可取平面AA1DB的法向量cos〈〉 ………………10分 据题意有：，……………………………………1分 解得： ＝ ………………………………1分 (2)解法2：延长A1 D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA1B1B，过B作BH⊥A1 G于点H，连CH，由三垂线定理知：A1 G⊥CH，由此知∠CHB为二面角A －A1D － C的平面角； ………9分设AA1 ＝ 2b ，AB＝BC ＝；在直角三角形A1A G中，易知AB ＝ BG。在DBG中，BH ＝ ＝ ， …………分在CHB中，tan∠CHB ＝ ＝ ，据题意有： ＝ tan600 ＝ ，解得：所以 ＝ 。 ………………1的焦点为………………１分椭圆的半焦距，离心率，所以椭圆的长半轴长，短半轴长　　………………３分所以椭圆的方程为　………………４分当时，椭圆的方程　　………………６分（2）假设存在满足条件的实数由，解得　………………８分，，　………………１0分所以的三条边的边长分别是，，所以不存在m使得的三条边的边长是连续的自然数COS∠AF1F2＝………………………………………13分21.1) 解: 由，设直线的斜率为，则.∴直线的方程为.令，得， …1分∴， ∴. ∴.∴直线的方程为.令，得. …2分一般地，直线的方程为，由于点在直线上，∴. …3分∴数列是首项为，公差为的等差数列.∴. …4分（2）解： . ……6分（3）证明：…8分 ∴，. 要证明，只要证明，即只要证明.9分 ∴不等式对一切N都成立. ……14分证法3:令,则,当时, ,∴函数在上单调递增. ∴当时, .∵N, ∴, 即.∴.∴不等式对一切N都成立. ……14分本卷第1页（共10页）C1BA1CAB1A1（第5题）DA1C1B1ACBA1DyOxZA1C1B1ACBA1DHEFG湖北省武汉市新洲区2014届高三上学期期末目标检测数学（理）
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