2014届高三第次调研数学（理）试题本试卷共21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则?U（M∪N）=（　　）A．{5，7}, B．{2，4}, C．{2，4，8}, D．{1，3，5，6，7}2．复数满足（其中为虚数单位），则=A． B． C． D．3．已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（-1）+g（1）=2，f（1）+g（-1）=4，则g（1）等于（　　）A．4, B．3, C．2, D．14．如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是（　　）A．y=f（x）是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y≤4B．y=f（x）是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y≥4C．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4D．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≤45．执行程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（　　）A．120, B．720, C．1440, D．50406．的展开式中常数项为A． B．C． D．7．如图，在矩形内：记抛物线与直线围成的区域为（图中阴影部分）．随机往矩形内投一点，则点落在区域内的概率是A． B．C． D．8．在平面直角坐标系中，定义两点与之间的“直角距离”为．给出下列命题：（1）若，，则的最大值为；（2）若是圆上的任意两点，则的最大值为；（3）若，点为直线上的动点，则的最小值为．其中为真命题的是A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（2）（3）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．函数的定义域为 ．10．某几何体的三视图如图所示，其正视图是边长为2的正方形，侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则此几何体的体积是 ．11．已知双曲线与椭圆有相同的焦点且双曲线的渐近线方程为，则双曲线的方程为 ．12．设实数满足 向量，．若，则实数的最大值为 ．13．在数列中，已知， ，且数列是等比数列，则 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．则曲线与曲线的交点个数为________个．15．（几何证明选讲选做题）如图4，已知是⊙的直径，是⊙的切线，过作弦，若，，则 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数的图像经过点．（1）求的值；（2）在中，、、所对的边分别为、、，若，且．求．17．（本小题满分12分）某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图（1））：合计若网购金额超过千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为．（1）试确定，，，的值，并补全频率分布直方图（如图（2））．（2）该营销部门为了进一步了解这名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定人，若需从这人中随机选取人进行问卷调查．设为选取的人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望．18．（本小题满分14分）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．（1）求证平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（3）求直线与平面所成角的余弦值．19．（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且满足．（1）求，的值；（2）求；（3）设，数列的前项和为，求证：．20．（本小题满分14分）如图，直线，抛物线，已知点在抛物线上，且抛物线上的点到直线的距离的最小值为．（1）求直线及抛物线的方程；（2）过点的任一直线（不经过点）与抛物线交于、两点，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，， ．问：是否存在实数，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数．（1）求在上的最大值；（2）若直线为曲线的切线，求实数的值；（3）当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的最小值．2014届高三第次调研数学（理）试题一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．12345678C BDCB A二、填空题：本大题每小题5分，满分30分．9．； 10．； 11．； 12．；13．；　 14．；　 15．．三、解答题16．（本小题满分12分）解：（1）由题意可得，即． ……………………………2分，， ， ． ……………………………………………………………5分（2）， ， ……………………………………………………7分． …………………………………………8分由（1）知，．， ， ……………………………10分又，．……………12分【说明】 本小题主要考查了三角函数的图象与性质，三角恒等变换，以及余弦定理等基础知识，考查了简单的数学运算能力．17．解：（1）根据题意，有解得 …………………2分，．补全频率分布直方图如图所示．………4分（2）用分层抽样的方法，从中选取人，则其中“网购达人”有人，“非网购达人”有人．…………………6分故的可能取值为0，1，2，3； ， ，，．…………………………10分所以的分布列为： ． ……………………12分【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．18．（本小题满分14分）解：（法一）（1）取中点为，连接、， 且，，则 且．…………2分 四边形为矩形， 且，且，，则． 平面，平面， 平面． ……………………………………………………4分（2）过点作的平行线交的延长线于，连接，，，， ，，，四点共面．四边形为直角梯形，四边形为矩形，，，又，平面，，又平面平面，为平面与平面所成锐二面角的平面角．……………………7分，．即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．……………………9分（3）过点作于，连接，根据（2）知，，，四点共面，，，，又， 平面， ，则．又， 平面．直线与平面所成角为． ……………………………11分，，，，，．即直线与平面所成角的余弦值为． ……………………………14分（法二）（1）四边形为直角梯形，四边形为矩形，，，又平面平面，且平面平面，平面．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：，，，，，， 则，． ………………2分，， 为平面的一个法向量．又，平面． …………………………………………………………4分（2）设平面的一个法向量为，则，， ， 取，得． ……………………………6分平面，平面一个法向量为，设平面与平面所成锐二面角的大小为，则．因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．…………………9分（3）根据（2）知平面一个法向量为，， ，………12分设直线与平面所成角为，则．因此，直线与平面所成角的余弦值为．………………………14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．19．解：（1）当时，有，解得．当时，有，解得．……………2分（2）（法一）当时，有, ……………①．…………………②①—②得：，即：．…………5分． ． ………………………………………8分另解：． 又当时，有， ．…………………………8分（法二）根据，，猜想：．………………………………3分用数学归纳法证明如下： （Ⅰ）当时，有，猜想成立． （Ⅱ）假设当时，猜想也成立，即：．那么当时，有，即：，………………………①又 ， …………………………② ①-②得：，解，得 ．当时，猜想也成立． 因此，由数学归纳法证得成立．………………………………………8分（3）， ……………………………10分 ． ………………………………………14分【说明】考查了递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、放缩法证明不等式等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想．20．（本小题满分14分）解：（1）（法一）点在抛物线上， ． ……………………2分设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，由 得， ，由，得，则直线方程为．两直线、间的距离即为抛物线上的点到直线的最短距离，有，解得或（舍去）．直线的方程为，抛物线的方程为．…………………………6分（法二）点在抛物线上， ，抛物线的方程为．……2分设为抛物线上的任意一点，点到直线的距离为，根据图象，有，，，的最小值为，由，解得．因此，直线的方程为，抛物线的方程为．…………………6分（2）直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由 得，设点、的坐标分别为、，则，，，， …………………………9分．…10分由 得，，， ………………………………………山东省滕州市实验中学2014届高三第二次调研考试数学（理）试题
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