高三期中考试数学试题（理科）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，全卷满分 150 分，（120 分钟） U（A∪B）=（　　） A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}2、复数z满足（z3）（2i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（　　） A．2+ i B．2 C．5+i D．5i3、在△ABC中，cosA=，则tanA=____A．2 B．2 C． D．4、已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（　　）A. 138 B. 135 C. 95 D. 235、已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6、在下列区间中，函数f（x）=ex+4x3的零点所在的区间为（　　） A．（ ，0） B．（0，） C．（，） D．（，）7、函数f(x)＝4cosx? B． C． D．8、在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3 B． C． D 9、在四边形ABCD中，=（1，2），=（4，2），则该四边形的面积为（　　）A. B. 2 C. 5 D. 1010、设函数f（x）= 则满足f（x）≤2的x的取值范围是（　　） A．[1，2] B．[0，2] C．[1，+∞） D．[0，+∞） 11、已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（ex1）（x1）k（k=1，2），则（　　）A．当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值 B．当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值C．当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值D．当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值12、定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=2x2+12x18，若函数y=f（x）loga（x+1）在（0，+∞）上至多三个零点，则a的取值范围是（　　）A．（ ，1） B．（ ，1）∪（1，+∞） C．（0， ） D．（，1）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共四小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题纸相应位置。13、设向量＝(1，2)，＝(2，3)λ+与向量＝(?4，?7)n}为递增数列，且＝a10，2(an+an+2)＝5an+1n}的通项公式an=___15.已知函数的图像在点处的切线斜率为1，则____16. 设f（x）=，a，b∈R，ab≠0.若f（x）≤f（）对一切x∈R恒成立，则①f（）=0．②f（）＜f（）．③f（x）既不是奇函数也不是偶函数．④f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．以上结论正确的是______(写出正确结论的编号）．三、解答题：本大题共6个小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.17、已知命题p：函数f（x）=为增函数，命题q：“?x0∈R， n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．（1）求数列{an}的公比；（2）证明：对任意k∈N+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列．19、已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，=（?，sinA），＝cosA，1⊥.（1）求角A的大小；（II）若a=2，△ABC的面积为，求b，c.20、某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大21、已知函数）(I)若是第一象限角且）=，求）的值;(II)求使成立的x的取值集合.x-ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．选择题DDBCB CACCD CB填空题13. 2 14. 15. 16. ①，③17.解：∵函数f（x）=（m-2）x为增函数，∴m-2＞1?m＞3； （2分）∵?x0∈R，x02+2mx0+2?m＝02-4（2-m）=4m2+4m-8≥0∴m≥1或m≤-2， （ 4分）∵p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，所以命题P、q一真一假，（6分）P真q假时m∈； （8分）P假q真时m≤-2或1≤m≤3 （10分）∴实数m的取值范围是{mm≤-2或1≤m≤3} （12分）18. （1）解：设{an}的公比为q（q≠0，q≠1），∵a5，a3，a4成等差数列， ∴2a3=a5+a4， （2分）∴2a1q2＝a1q4+a1q31≠0，q≠0）∴q2+q-2=0，解得q=1或q=?2， （4分）又q≠1，∴q=-2 （6分）（2）证明：对任意k∈N+，Sk+2+Sk+1?2Sk=（Sk+2?Sk）+（Sk+1?Sk）=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×（?2）=0，∴对任意k∈N+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列． （12分）19. 解：（Ⅰ）因为＝(?，sinA)，＝(cosA，1)⊥，所以? =?cosA+sinA=0， （2分），即tanA= ， （4分）A∈（0，π），∴A= ． （6分）（Ⅱ） ∵S△ABC=，且A= ，S△ABC =bc?＝且a=2，∴＝…②， （10分）解①②得，b=c=2． （12分）20、解：（I）∵蓄水池的侧面积的建造成本为200?πrh元，底面积成本为160πr2元，∴蓄水池的总建造成本为200?πrh+160πr2元， …….(2分)即200?πrh+160πr2=1200π∴h=（300-4r2）， …….(3分)∴V（r）=πr2h=πr2?（300-4r2）=（300r-4r3） ……(5分)又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5，故函数V（r）的定义域为（0，5） ……..(6分)（II）由（I）中V（r）=（300r-4r3），（0＜r＜5），可得V′（r）=（300-12r2），（0＜r＜5）， ……..(7分)令V′（r）=（300-12r2）=0，则r=5， ………(8分)当r∈（0，5）时，V′（r）＞0，函数V（r）为增函数，当r∈（5，5）时，V′（r）＜0，函数V（r）为减函数， ……..(10分)∴当r=5，h=8时该蓄水池的体积最大 ……(12分)21、解：（1）f（x）= sinx- cosx+cosx+sinx=sinx （2分），所以f（）=sin=，所以sin= ，又（0，），所以cos= ， （4分），所以g（）=2sin2=1-cos= （6分）（2）由f（x）≥g（x）得sinx≥1-cosx，所以sinx+ cosx=sin（x+）≥ （8分）解2k+≤x+≤2k+，kz （ 10分），得2k≤x≤2k+，kz（11分），所以x的取值范围为〔2k，2k+〕kz （12分）22、解：（1）求导数可得f′（x）=∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，∴≤0在（1，+∞）上恒成立，∴a≥，x∈（1，+∞）．∴a≥1． ………(2分)g′（x）=ex-a，若1≤a≤e，则g′（x）=ex-a≥0在（1，+∞）上恒成立，g（x）=ex-ax在（1，+∞）上是单调增函数，无最小值，不符合题意；……(3分)若a＞e，则g（x）=ex-ax在（1，lna）上是单调减函数，在（lna，+∞）上是单调增函数，gmin（x）=g（lna），满足题意． ……(5分)故a的取值范围为：a＞e． ……(6分)（2）g′（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，则a≤ex在（-1，+∞）上恒成立，∴a≤ .........(8分)f′（x）=（x＞0）0＜a≤，令f′（x）＞0得增区间（0，）；令f′（x）＜0得减区间（）当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→-∞∴当x=时，f（）=-lna-1≥0，当且仅当a=时取等号∴当a=时，f（x）有1个零点；当0＜a＜时，f（x）有2个零点；……(10分)②a=0时，则f（x）=-lnx，∴f（x）有1个零点； ……(11分)③a＜0时，f′(x)＝……(13分)综上所述，当a=或a≤0时，f（x）有1个零点；当0＜a＜时，f（x）有2个零点． ……(14分)山东省德州市某中学2014届高三上学期期中考试（数学理）
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