2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编5：数列
一、选 择题
1 ．（2013年高考大纲卷（文））已知数列 满足 （ ）
A． B． C． D．
【答案】 C
2 ．（2013年高考安徽（文））设 为等差数列 的前 项和, ,则 =（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
3 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））设首项为 ,公比为 的等比数列 的前 项和为 ,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
4 ．（2013年高考辽宁卷（文））下面是关于公差 的等差数列 的四个命题:
其中的真命题为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
二、题
5 ．（2013年高考重庆卷（文））若2、 、 、 、9成等差数列,则 ____________.
【答案】
6 ．（2013年高考北京卷（文））若等比数列 满足 ,则公比 =__________;前 项和 =_____.
【答案】2,
7 ．（2013年高考广东卷（文））设数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,则 ________
【答案】
8 ．（2013年高考江西卷（文））某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于_____________.
【答案】6
9 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知等比数列 是递增数列, 是 的前 项和,若 是方程 的两个根,则 ____________.
【答案】63
10．（2013年高考陕西卷（文））观察下列等式:
照此规律, 第n个等式可为________.
【答案】
11．（2013年上海高考数学试题（文科））在等差数列 中,若 ,则 _________.
【答案】15
三、解答题
12．（2013年高考福建卷（文））已知等差数列 的公差 ,前 项和为 .
(1)若 成等比数列,求 ;
(2)若 ,求 的取值范围.
【答案】解:(1)因为数列 的公差 ,且 成等比数列,
所以 ,
即 ,解得 或 .
(2)因为数列 的公差 ,且 ,
所以 ;
即 ,解得
13．（2013年高考大纲卷（文））等差数列 中,
(I)求 的通项公式;
(II)设
【答案】(Ⅰ)设等差数列 的公差为d,则
因为 ,所以 .
解得, .
所以 的通项公式为 .
(Ⅱ) ,
所以 .
14．（2013年高考湖北卷（文））已知 是等比数列 的前 项和, , , 成等差数列,且 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)是否存在正整数 ,使得 ?若存在,求出符合条件的所有 的集合;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)设数列 的公比为 ,则 , . 由题意得
即
解得
故数列 的通项公式为 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)有 .
若 存在 ,使得 ,则 ,即
当 为偶数时, , 上式不成立;
当 为奇数时, ,即 ,则 .
综上,存在符合条件的正整数 ,且所有这样的n的集合为 .
15．（2013年高考湖南（文））设 为数列{ }的前项和,已知 ,2 , N
(Ⅰ)求 , ,并求数列{ }的通项公式;(Ⅱ)求数列{ }的前 项和 .
【答案】解: (Ⅰ)
-
(Ⅱ)
上式左右错位相减:
.
16．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问6分)
设数列 满足: , , .
(Ⅰ)求 的通项公式及前 项和 ;
(Ⅱ)已知 是等差数列, 为前 项和,且 , ,求 .
【答案】
17．（2013年高考天津卷（文））已知首项为 的等比数列 的前n项和为 , 且 成等差数列.
(Ⅰ) 求数列 的通项公式;
(Ⅱ) 证明 .
【答案】
18．（2013年高考北京卷（文））本小题 共13分)给定数列 .对 ,该数列前 项的最大值记为 ,后 项 的最小值记为 , .
(Ⅰ)设数列 为3,4,7,1,写出 , , 的值;
(Ⅱ)设 ( )是公比大于1的等比数列,且 .证明:
, ,, 是等比数列;
(Ⅲ)设 , ,, 是公差大于0的等差数列,且 ,证明: , ,, 是等差 数列
【答案】解:(I) .
(II)因为 ,公比 ,所以 是递增数列.
因此,对 , , .
于是 对 , .
因此 且 ( ),即 , ,, 是等比数列.
(III)设 为 , ,, 的公差.
对 ,因为 , ,所以 = .
又因为 ,所以 .
从而 是递增数列,因此 ( ).
又因为 ,所以 .
因此 . 所以 .
所以 = .
因此对 都有 ,即 , ,, 是等差数列.
19．（2013年高考山东卷（文））设等差数列 的前 项和为 , 且 ,
(Ⅰ)求数列 的通项公式
(Ⅱ)设数列 满足 ,求 的前 项和
【答案】
20．（2013年高考浙江卷（文））在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.
(Ⅰ)求d,an; (Ⅱ) 若d<0,求a1+a2+a3++an .
【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:
;
(Ⅱ)由(1)知,当 时, ,
①当 时,
②当 时,
所以,综上所述: ;
21．（2013年高考四川卷（文））在等比数列 中, ,且 为 和 的等差中项,求数列 的首项、公比及前 项和.
【答案】解:设 的公比为q.由已知可得
, ,
所以 , ,解得 或 ,
由于 .因此 不合题意,应舍去,
故公比 ,首项 .
所以,数列的前 项和
22．（2013年高考广东卷（文））设各项均为正数的数列 的前 项和为 ,满足 且 构成等比数列.
(1) 证明: ;
(2) 求数列 的通项公式;
(3) 证明:对一切正整数 ,有 .
【答案】(1)当 时, ,
(2)当 时, ,
,
当 时, 是公差 的等差数列.
构成等比数列, , ,解得 ,
由(1)可知,
是首项 ,公差 的等差数列.
数列 的通项公式为 .
(3)
23．（2013年高考安徽（文））设数列 满足 , ,且对任意 ,函数 满足
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)若 ,求数列 的前 项和 .
【答案】解:由
所以,
是等差数列.
而
24．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知等差数列 的公 差不为零,a1=25,且a1,a11,a1 3成等比数列.
(Ⅰ)求 的通项公式;
(Ⅱ)求 .
【答案】
25．（2013年高考江西卷（文））正项数列{an}满足 .
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令 ,求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】解:
由于{an}是正项数列,则 .
(2)由(1)知 ,故
26．（2013年高考陕西卷（文））
设Sn表示数列 的前n项和.
(Ⅰ) 若 为等差数列, 推导Sn的计算公式;
(Ⅱ) 若 , 且对所有正整数n, 有 . 判断 是否为等比数列.
【答案】解:(Ⅰ) 设公差为d,则
.
(Ⅱ) .
.
所以, 是首项 ,公比 的等比数列.
27．（2013年上海高考数学试题（文科））本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.
已知函数 .无穷数列 满足 .
(1)若 ,求 , , ;
(2)若 ,且 , , 成等比数列,求 的值;
(3)是否存在 ,使得 , , ,, 成等差数列?若存在,求出所有这样的 ;若不存在,说明理由.
【答案】
28．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知等差数列 的前 项和 满足 , .
(Ⅰ)求 的通项公式;
(Ⅱ)求数列 的前 项和.
【答案】(1)设{a }的公差为d,则S = .
由已知可得
(2)由(I)知
从而数列 . 文
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