北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期中统一考试理科数学第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，．若，则实数的值是( )A． C．或 D．或或2.命题：对任意，的否定是( )A．：对任意， B．：不存在, C．：存在, D．：存在, 3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为( )A．91 B．55 C．54 D．304.若， 则( )A． B．C． D．考点：1.对数函数的单调性；2.对数函数的图像与性质；3.指数函数的单调性5.由直线，，与曲线所围成的图形的面积等于( )A．．．．考点：定积分6.已知平面向量，，，则下列结论中错误的是( )A．与向量共线B．（，），则，C．，都存在实数，，使得D．在向量方向上的投影为7.若函数的图象与函数的图象至多有一个公共点，则实数的取值范围是( ) . .A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：函数是将函数的图像先向下平移个单位，然后将轴下方的图像向上翻折得到的，如图所示：8.同时满足以下4个条件的集合记作：（1）所有元素都是正整数；（2）最小元素为1；（3）最大元素为2014；（4）各个元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列．那么中元素的个数是( )A． B． C． D．第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.在公比小于零的等比数列中，，，则数列的前三项和 ．10.函数的最小值是 ．【答案】【解析】试题分析：，当且仅当12.已知平面向量与的夹角为，，，则 ；若平行四边形满足，，则平行四边形的面积为 ．13.已知函数 若，则实数的取值范围是 ．【答案】【解析】试题分析：根据所给的分段函数，画图像如下：可得，，所以函数从第一项开始，函数值先增大后减小再增大再减小，最后趋于平稳值，奇数项的值慢慢变大趋于平稳值，偶数项慢慢变小趋于平稳值，所以偶数项的值总是大于奇数项的值，所以，，的大小关系是.考点：1.数列的递推公式；2.数列的函数特性；3.指数函数的单调性三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分13分)已知函数．(Ⅰ)求函数的最小正周期及最小值；(Ⅱ)若，且，求的值．． ………4分的最小正周期为， 函数的最小值为． ………6分得．所以． ………8分，所以， ………10分或．所以或． ………13分，所对的边分别为，，，且．(Ⅰ)若，求的面积；(Ⅱ)若，求的最大值. （Ⅱ）因为17.(本小题满分13分)已知等差数列的前项和为，，且，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若，求的值和的表达式.试题解析：(Ⅰ)等差数列的公差为，则18.(本小题满分14分)已知函数.(Ⅰ)若的图象与轴无交点，求的取值范围；若在上存在零点，求 的取值范围；，.当时，若对任意的，总存在，使，求的取值范围．；(Ⅱ) ；(Ⅲ) 或.【解析】试题分析：(Ⅰ) 函数的图像与轴无交点，那么函数对应的方程的判别式，解不等式即可；(Ⅱ)先判断函数在闭区间的单调性，然后根据零点存在性定理，可知，解方程组求得同时满足两个表达式的的取值范围；(Ⅲ) 若对任意的，总存在，使，只需函数的值域为函数值域的子集在区间上的值域是，然后判断函数的值域.分，，三种情况进行分类讨论，当时，函数是一次函数，最值在两个区间端点处取得，所以假设其值域是，那么就有成立，解相应的不等式组即可.试题解析：(Ⅰ)若的图象与轴无交点，则方程的判别式，即，解得. ………3分，解得；综上：实数的取值范围. ………14分已知函数.(Ⅰ)求函数的单调； ，，，为函数的图象上任意不同两点，， 两点的直线的斜率恒大于，求的取值范围.试题解析：(Ⅰ) 依题意，的定义域为，，当时，，为增函数.(?)若，恒成立，故当时，为增函数.20.(本小题满分13分)如果项数均为的两个数列满足且集合，则称数列是一对 “项相关数列”.(Ⅰ)设是一对“4项相关数列”，求和的值，并写出一对“项相关数列” ；(Ⅱ)是否存在 “项相关数列” ？若存在，试写出一对；若不存在，请说明理由；(Ⅲ)对于确定的，若存在“项相关数列”，试证明符合条件的“项相关数列”有偶数对．【答案】(Ⅰ) ；；：8，4，6，5；：7，2，3，1 ；(Ⅱ)不存在，理由见解析；(Ⅲ)证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ) 依题意有，，以及，求得以及的值，写出符合条件的数列即可，答案不唯一；(Ⅱ)先假设存在，利用反证法证明得出矛盾，即可证明满足已知条件的“10项相关数列”不存在.依题意有，以及成立，解出与已知矛盾，即证；(Ⅲ) 对于确定的，任取一对 “项相关数列”，构造新数对，，则可证明新数对也是“项相关数列”，但是数列与是不同的数列，可知“项相关数列”都是成对对应出现的，即符合条件的 “项相关数列”有偶数对.试题解析：(Ⅰ)依题意，，相加得，，又，则， .“4项相关数列”：8，4，6，5；：7，2，3，1（不唯一）………3分精品解析：北京市朝阳区2014届高三上学期期中考试（数学理）
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