2014届越秀区高三摸底考试试卷
数 学（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号、座号”处填涂考生号、座位号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在学校、班级，以及自己的姓名填写在答题卷上．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将试卷和答题卷一并交回．
参考公式：
圆锥的侧面积公式 ，其中 是圆锥的底面半径， 是圆锥的母线长.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合 ， ，则 （ ）.
A. B. C. D.
2.已知 ，则 （ ）.
A. B. C. D.
3.设 ，则“ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长为6、腰长为5的等腰三角形，则这个几何体的全面积为（ ）.
A. B.
C. D.
5.在△ABC中， ， ，
则△ABC的面积为（ ）.
A.3 B.4 C.6 D.
6.函数 的零点所在的一个区间是（ ）.
A. B. C. D.
7.若双曲线 的渐近线与圆 相切，则双曲线的离心率为（ ）.
A. B. C.2 D.
8.若过点 的直线与曲线 和 都相切，则 的值为（ ）.
A.2或 B.3或 C.2 D.

二、题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．若复数 满足 ，则复数 的实部是 .
10. 的展开式中的常数项是 .（用数字作答）
11.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是 .
12.已知实数 满足 ，则 的最大值
是 .
13.在区间 上随机取一个数 ，在区间 上随机取一个数 ，则关于 的方程 有实根的概率是 .

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）
如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD相交于点P，若 ， ，则 的值为 .

15．（坐标系与参数方程选做题）
已知曲线C的参数方程是 （ 为参数），以直角坐标系的原点O为极点， 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数 ， 的最大值是1，最小正周期是 ，其图像经过点 ．
（1）求 的解析式；
（2）设 、 、 为△ABC的三个内角，且 ， ，求 的值．

17.（本小题满分12分）
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的50位顾客的相关数据，如下表所示：
一次购物量 （件）1≤n≤34≤n≤67≤n≤910≤n≤12n≥13
顾客数（人） 20105
结算时间（分钟/人）0.511.522.5
已知这50位顾客中一次购物量少于10件的顾客占80％.
（1）确定 与 的值；
（2）若将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间 的分布列与数学期望；
（3）在（2）的条件下，若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2分钟的概率.

18.（本小题满分14分）
如图，菱形 的边长为4， ， .将菱形 沿对角线 折起，得到三棱锥 ，点 是棱 的中点， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）求二面角 的余弦值.

19.(本小题满分14分)
已知数列 满足 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，数列{bn}的前n项和为Tn，试比较Tn与 的大小，并予以证明.
20．（本小题满分14分）
已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，P为椭圆 上任意一点，且 的最小值为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）动圆 与椭圆 相交于A、B、C、D四点，当 为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积.

21.(本小题满分14分)
已知函数 .
（1）是否存在点 ，使得函数 的图像上任意一点P关于点对称的点Q也在函数 的图像上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）定义 ，其中 ，求 ；
（3）在（2）的条件下，令 ，若不等式 对 且 恒成立，求实数 的取值范围.

2014届越秀区高三摸底考试数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共8题，每小题5分，满分40分．
题号12345678
答案BDCD ACBA
二、题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
9.1 10. 11. 12. 13. 14. 15.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．
16.（1）依题意得 .由 ，解得 .所以 .
因为函数 的图像经过点 ，所以 ，即 .
因为 ，所以 .所以 .
（2）由（1）得 ，所以 ， .
因为 ，所以 ， .
因为 为△ABC的三个内角，所以
.
17.（1）依题意得， ， ，解得 ， .
（2）该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的50位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为50的随机样本，将频率视为概率得，
， ， ，
， .
所以 的分布列为
0.511.522.5
0.20.40.20.10.1
的数学期望为 .
（3）记“该顾客结算前的等候时间不超过2分钟”为事件A，该顾客前面第 位顾客的结算时间为 ，由于各顾客的结算相互独立，且 的分布列都与 的分布列相同，所以


为所求.
18.（1）因为O为AC的中点，为BC的中点，所以 .
因为 平面ABD， 平面ABD，所以 平面 .
（2）因为在菱形ABCD中， ，所以在三棱锥 中， .
在菱形ABCD中，AB＝AD＝4， ，所以BD＝4.因为O为BD的中点，
所以 .因为O为AC的中点，为BC的中点，所以 .
因为 ，所以 ，即 .
因为 平面ABC， 平面ABC， ，所以 平面ABC.
因为 平面DO，所以平面 平面 .
（3）作 于 ，连结DE.由（2）知， 平面ABC，所以 AB.
因为 ，所以 平面ODE.因为 平面ODE，所以 .
所以 是二面角 的平面角.
在Rt△DOE中， ， ， ，
所以 .所以二面角 的余弦值为 .
19.（1）当 时，
.
又 也适合上式，所以 .
（2）由（1）得 ，所以 .
因为 ①，所以 ②.
由①－②得， ，
所以 .
因为 ，
所以确定 与 的大小关系等价于比较 与 的大小.
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；……，
可猜想当 时， .
证明如下：当 时，
.
综上所述，当 或 时， ；当 时， .
20.（1）因为P是椭圆 上一点，所以 .
在△ 中， ，由余弦定理得
.
因为 ，当且仅当 时等号成立.
因为 ，所以 .
因为 的最小值为 ，所以 ，解得 .
又 ，所以 .所以椭圆C的方程为 .
（2）设 ，则矩形ABCD的面积 .
因为 ，所以 .
所以 .
因为 且 ，所以当 时， 取得最大值24.
此时 ， .
所以当 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 .
21.（1）假设存在点 ，使得函数 的图像上任意一点P关于点对称的点Q也在函数 的图像上，则函数 图像的对称中心为 .
由 ，得 ，
即 对 恒成立，所以 解得
所以存在点 ，使得函数 的图像上任意一点 关于点对称的点 也在函数 的图像上.
（2）由（1）得 .
令 ，则 .
因为 ①，
所以 ②，
由①+②得 ，所以 .
所以 .
（3）由（2）得 ，所以 .
因为当 且 时， .
所以当 且 时，不等式 恒成立 .
设 ，则 .
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增.
因为 ，所以 ，
所以当 且 时， .
由 ，得 ，解得 .
所以实数 的取值范围是 .

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