注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。　　　2．考生作答时，选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上，在本试卷上答题无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。4．本试题卷共4页，如有缺页，考生须声明，否则后果自负。试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.1. 复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,将支出分区间、、、进行统计，现抽出了一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在元的同学有24人,则的值为A．80 B．800 C．72 D．720 3. 在锐角中，角的对边分别为. 若，则角为A． B． C． D． 4. 若变量满足约束条件，那么的最大值是A． B． C． D． 5. 函数的图像与函数的图像的交点个数为A．3 B．2 C．1 D．0 6. 在平面直角坐标系中,为坐标原点,点,将向量绕点按逆时针方向旋转后得向量,若向量满足，则的最大值是A． B． C． D． 已知某几何体的三视图，其中俯视图和视图都是腰长为4的等腰直角三角形，视图为直角梯形，则此几何体的体积为A． B． C． D． 8. 在等腰中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原来的点. 若，则的周长等于A． B． C． D． 第卷（非选择题 共110分）二、填空题:本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.（一）选作题（请考生在9、10、11三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分）9. 以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为,它与抛物线(为参数)相交于两点和,则= . 10. 如图,的直径,是延长线上的一点,过作的切线,连接,若,则点到的距离等于 .11. 已知函数的定义域为R，则的取值范围是 .（二）必作题（12~16题）12. 若二项式的展开式的常数项为T, 则 .13.右边程序运行的结果是 .14．设是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，若且的面积为9，则的离心率为 .15．设为数列的前项和，数列满足a1＝1，a2＝1，且 (n＝1,2,3，…)． 则___________.16. 将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，其中，，，若A、B、C中的元素满足条件：，，1,2，…，，则称为“完并集合”.（1）若为“完并集合”，则的一个可能值为 .（写出一个即可）（2）对于“完并集合”，则集合C的个数是 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知向量，向量，()求函数 的最小正周期和对称轴方程；()若是第一象限角且,求的值. 18．（本小题满分12分）为喜迎马年新春佳节，怀化某商场在正月初六进行抽奖促销活动，当日在该店消费满500元的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“马”“上”“有”“钱”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“钱”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“马”“上”“有”三个字的球为三等奖．（）求分别获得一、二、三等奖的概率；（）设摸球次数为，求 的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）已知三棱锥,,，分别是的中点.()求证: ；() 求二面角的余弦值.20．（本小题满分13分）已知函数，,令. () 当时，求的单调区间；() 当时，若存在， 使得成立，求的取值范围.21．（本小题满分13分）已知是椭圆: 的焦点，点在椭圆上.（）若的最大值是，求椭圆的离心率；（）设直线与椭圆交于、两点，过、两点分别作椭圆的切线，，且与交于点， 试问：当变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，说明理由.22. （本小题满分13分）已知集合．对于，，定义；,；与之间的距离为．（）当时，设，．若，求；（）证明：若，且，使，则； （）记．若，，且，求的最大值．201高三数学（理科）参考答案与评分标准题号12345678答案DADCCBBA一、选择题（）8题提示：以AB、AC所在直线分别为x、y轴建立坐标系，则点关于直线BC的对称点为，点关于直线AC的对称点为，则等于）选做：9．8； 10．； 11．； 必做：12．； 13．21； 14．； 　15．；　16．（1）9，13中任一个，（2）3．16题提示：（2） 解：因为而，，1,2，…，，，且，的最小值为 6所以或或三解答题：17解:()∵ …4分∴最小 ; 对称轴方程为…………6分(Ⅱ)由,得……………………是第一象限角∴,故…………………∴…………………12分18解：（）一等奖二等奖三等奖（列式正确，计算错误，扣1分）………2分 （列式正确，计算错误，扣1分）………4分三等奖情况有：“”；“”；“”三种情况． ……6分（）设摸球次数为，则，，，………………10分故取球次数的分布列为1234………12分19证明： (Ⅰ)面面，且面面， ， 而，故. 又， 由此得……………6分(Ⅱ) 因D、E分别是PB、PC的中点， 又， ………9分令，则在中，所以二面角-ED-A的余弦值 ……………1分 所以=，定义域为………2分 又……4分当时，，令，得或；令，得 ； 当时，； 当时，，令，得或； 令，得 ； 综上所述： 当时，的单调递减区间为， 的单调递增区间为 当时，的单调递减区间为 当时，的单调递减区间为， 的单调递增区间为………8分(Ⅱ) 由(1)可知，当时，在区间单调递减所以.所以. ……10分因为存在， 使得成立，所以整理得.又，所以，又因为，得，所以所以…………………13分21解:（Ⅰ） ………3分因为的最大值是，所以 ………4分因此椭圆E的离心率 ………5分（Ⅱ）当变化时，点恒在一条定直线上 证明:先证明：椭圆E: 方法一：当设与椭圆E方程联立得：由所以，因此切线方程是 ………9分方法二：不妨设在第一象限，则由 得 ，所以 因此切线方程是 ………9分设则 联立方程，解得 又 ，所以 因此 ，当变化时，点恒在一条定直线上。…13分22解：（Ⅰ）当n=5 时，由得由 ………3分（Ⅱ）证明：设，因为，使所以，使得即，使得所以………. 5分所以 ……………7分（Ⅲ）解法一：因为 设中有m()项为非负数，n-m项为负数,不妨设i=1,2，…,m时，i=m+1,m+2，…,n时所以 =()+因为所以所以=2（）因为又所以=2即 ………………………12分对于 ，，有 ，，且，．综上，的最大值为………………………13分解法二：因为，有 成立． 所以= …………12分对于 ，，有 ，，且，．综上，的最大值为…………………13分！第2页 共11页学优高考网！！正视图第7题图湖南省怀化市2014届高三3月第一次模拟考试数学（理科）试题
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