东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三数学（理科） 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题每小题5分共分在每小题出的四个选项中题目要求的，，则（A） （B） （C） （D） （2）在复平面内，复数 的对应点位于 （A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限，则“”是“直线与直线平行”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）执行右图所示的程序框图，输出的a的值为（A）（B）（C）（D）（5）中，，，，则（A） （B）（C） （D）（6）已知直线与圆相交于，两点，若，则的取值范围为 （A） （B） （C） （D）（7）中，，，,，点在线段 上，若，则的取值范围是（A） （B） （C） （D）（8）定义设实数满足约束条件则 的取值范围是（A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题为奇函数，当时，，则的值为 ．（10）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．（11）若点为抛物线上一点，则抛物线焦点坐标为 ；点到抛物线的准线的距离为 ．（12）的最大值为 ．（13）如图，已知点,点在曲线 上，若阴影部分面积与△面积相等时，则 ．（14）设等差数列满足：公差，，且中任意两项之和也是该数列中的一项. 若，则 ； 若，则的所有可能取值之和为 .三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．（16）（本小题共13分）已知是一个公差大于0的等差数列，且满足, .（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.（17）（本小题共14分）如图，在三棱柱中，平面，， ，分别是，的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．（18）（本小题共13分）已知，函数．（Ⅰ）当时，求的最小值；（Ⅱ）若在区间上是单调函数，求的取值范围．（19）（本小题共13分）已知椭圆上的点到其两焦点距离之和为，且过点． （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）为坐标原点，斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点，，若，求△的面积.（20）本小题共14分）若无穷数列满足：①对任意，；②存在常数，对任意，，则称数列为“数列”. （Ⅰ）若数列的通项为，证明：数列为“数列”； （Ⅱ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：对任意，；（Ⅲ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：存在 ，数列为等差数列.东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4） （10） （11） ，（12） （13） （14）三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分） 解：（Ⅰ）由，得．所以 …………………8分（Ⅱ）因为，所以． 当，即，在区间上的最大值为，即，函数上的最值为3分（16）（共13分） 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则依题设．　　　　　　由,可得．　　　　　由，得，可得．　　　　　所以．　　　　　可得．……………………………6分　　（Ⅱ）设，则.　　　　　即，　　　　　可得，且．　　　　　所以，可知．　　　　　所以，　　　　　所以数列是首项为，公比为的等比数列．　　　　　所以前项和．　…………………………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）取的中点，连结，交于点，可知为中点， 连结，易知四边形为平行四边形， 所以∥． 又平面，平面，　　　所以∥平面．……………………………4分证明：（Ⅱ）因为，且是的中点，所以．因为平面，所以．所以平面．又∥，所以平面．又平面，所以平面平面．……………………………９分解：（Ⅲ）如图建立空间直角坐标系，则，, ，．　　，，．设平面法向量为则 令.则.设向量与的夹角为， 则.所以直线与平面所成角的正弦值为. ………………………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）当时，（），．所以，当时，；当时，．所以，当时，函数有最小值．　　　　……………６分（Ⅱ）．　　　当时，在上恒大于零，即，符合要求．　　　当时，要使在区间上是单调函数，　　　当且仅当时，恒成立．　　　即恒成立．　　　设，　　　则，　　　又，所以，即在区间上为增函数，　　　的最小值为，所以．综上， 的取值范围是，或．……………13分（19）（共13分）解（Ⅰ）依题意有， ．　　　　故椭圆方程为． ………………………………………………５分过右焦点，设直线的方程为 .　　　联立方程组　　　消去并整理得． （*）　　　故，．　　　．　　　又，即．　　　所以，可得，即 ． 　　　方程（*）可化为，由，可得． 原点到直线的距离. 所以． ………………………………13分20）（共14分） （Ⅰ）证明：由，可得，，所以，所以对任意，．又数列为递减数列，所以对任意，．所以数列为“数列”．…………………………………5分，使得．由数列的各项均为正整数，可得．由，可得．且．同理，依此类推，可得，对任意，有．因为为正整数，设，则.　　　在中，设，则．与数列的各项均为正整数矛盾．所以，对任意，.…………………………………10分为“数列”，所以，存在常数，对任意，．设．由（Ⅱ）可知，对任意，，则．若，则；若，则．而时，有．所以，，，…，，…，中最多有个大于或等于，否则与矛盾．所以，存在，对任意的，有．所以，对任意， ．所以，存在 ，数列为等差数列.………………………………14分 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 1 0 每天发布最有价值的高考资源www.gkstk.coma =a+2否开始S=1是a=3S=S×aS ≥100?输出a结束（主视图）（侧视图）（俯视图）1211BACAADAEAA1B12AC1zAC1B12AEADAMAA1BAyAFAACAxA北京市东城区2014届高三上学期期末统一检测数学理试题（WORD版）
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