2015年上海市高三年级十三校第二次联考数学(理科)试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分．方程的解是 ．已知函数，则 ．若实数满足，则的最小值为 ．设（为虚数单位），则 则的值为 ． 除以5的余数是 ．在棱长为的正方体中，点和分别是矩形和的中心，则过点、、的平面截正方体的截面面积为______．等差数列的前项和为，则 ．某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为级需要的天数为，等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数157772128963211219243216320545321152660482496等级为级需要的天数10.若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，则的取值范围为 .11.已知直线交极轴于点，过极点作的垂线，垂足为，现将线段绕极点旋转，则在旋转过程中线段所扫过的面积为________．12.给定平面上四点满足，则面积的最大值为 ．13. 对于非空实数集，定义．设非空实数集．现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合必有（2）对于任意给定符合题设条件的集合必有； （3）对于任意给定符合题设条件的集合必有；（4）对于任意给定符合题设条件的集合必存在常数，使得对任意的，恒有．以上命题正确的是 ．14. 已知当时，有，根据以上信息，若对任意,都有则 ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题5分．15.集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（　　）（A）　　　（B）　　　（C）　　　　　（D）16.函数则函数是（ ）（A）奇函数但不是偶函数 （B）偶函数但不是奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）既不是奇函数又不是偶函数17.若,且．则下列结论正确的是( ) （A）　　　 （B）　　 　（C）　 （D）18.设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且，则点的轨迹为（ ）（A）圆或椭圆 （B）抛物线或双曲线 （C）椭圆或双曲线 （D）以上均有可能三、解答题(本大题共5小题，满分74分)19.(本题满分12分)如图,设是一个高为的四棱锥,底面是边长为的正方形,顶点在底面上的射影是正方形的中心．是棱的中点．试求直线与平面所成角的大小．20.（本题满分14分，第一小题满分5分，第二小题满分9分）对于函数，若在定义域存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．（1）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设是定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围． 21.（本题满分14分，第一小题满分4分，第二小题满分10分） 某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．．．（2）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布律和数学期望．．(1) 若圆心在抛物线上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线相切，求所有的圆都经过的定点坐标；(2) 抛物线的焦点为,若过点的直线与抛物线相交于两点,若,求直线的斜率；(3)若过正半轴上点的直线与该抛物线交于两点,为抛物线上异于的任意一点,记连线的斜率为试求满足成等差数列的充要条件．23. （本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分7分，第三小题满分7分）设等差数列的公差为，且．若设是从开始的前项数列的和，即，，如此下去，其中数列是从第开始到第)项为止的数列的和，即． (1)若数列,试找出一组满足条件的,使得： ； (2) 试证明对于数列，一定可通过适当的划分，使所得的数列中的各数都为平方数； (3)若等差数列中．试探索该数列中是否存在无穷整数数列,使得为等比数列,如存在,就求出数列；如不存在，则说明理由．2015年高三年级十三校第二次联考数学试卷答案（理科）考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分．方程的解是 ．已知函数，则 ． 若实数满足，则的最小值为 4 ．设（为虚数单位），则 则的值为 0 ． 除以5的余数是 3 ．（理）在棱长为的正方体中，点和分别是矩形和的中心，则过点、、的平面截正方体的截面面积为______．某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为级需要的天数为，等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数157772128963211219243216320545321152660482496等级为级需要的天数10.若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，则的取值范围为 11.（理）已知直线交极轴于点，过极点作的垂线，垂足为，现将线段绕极点旋转，则在旋转过程中线段所扫过的面积为________．12.给定平面上四点满足，则面积的最大值为 ．13.（理） 对于非空实数集，定义。设非空实数集。现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合必有（2）对于任意给定符合题设条件的集合必有； （3）对于任意给定符合题设条件的集合必有；（4）对于任意给定符合题设条件的集合必存在常数，使得对任意的，恒有．以上命题正确的是 （1）（4） ．14．（理）已知当时，有，根据以上信息，若对任意,都有则 ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题5分．15.集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（　B　）（A）　　　（B）　　　（C）　　　　　（D）16.函数则函数是（ A）（A）奇函数但不是偶函数 （B）偶函数但不是奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）既不是奇函数又不是偶函数17.若,且．则下列结论正确的是( D ) （A）　　　 （B）　　 　（C）　 （D）18.(理)设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且，则点的轨迹为（ D ）（A）圆或椭圆 （B）抛物线或双曲线 （C）椭圆或双曲线 （D）以上均有可能三、解答题(本大题共5小题，满分74分)19.（理）（本题满分12分） 如图,设是一个高为的四棱锥,底面是边长为的正方形,顶点在底面上的射影是正方形的中心．是棱的中点。试求直线与平面所成角的大小。解：（理）法1：设与平面所成角为。因为，（2分）所以．所以．（4分）。所以．（6分）因为（8分）所以,（10分）因此（11分）．则（12分）解法2：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系。则（4分）所以（6分）设是平面的一个法向量，易求得（8分）设为与平面所成的角，因为（10分）所以：（11分）（12分）20.（本题满分14分，第一小题满分5分，第二小题满分9分）对于函数,若在定义域存在实数,满足,则称为“局部奇函数”．（1）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设是定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围。解:(1)为“局部奇函数”等价于关于的方程有解．即（3分）有解为“局部奇函数”． （5分） (2)当时, 可转化为（8分）因为的定义域为,所以方程在上有解,令,（9分）则因为在上递减,在上递增, （11分）（12分）即（14分）21.(理) （本题满分14分，第一小题满分4分，第二小题满分10分） 某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．．．（2）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布律和数学期望．， 则 ，（4分）故1名顾客摸球2次停止摸奖的概率．（2）解：随机变量的所有取值为．，,，（9分）所以，随机变量的分布列为: 10203040 （12分）．22.（本题满分16分，第一小题满分4分，第二小题满分5分，第三小题满分7分）已知抛物线．(1) 若圆心在抛物线上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线相切，求所有的圆都经过的定点坐标;(2) 抛物线的焦点为,若过点的直线与抛物线相交于两点,若,求直线的斜率;(3) （理）若过正半轴上点的直线与该抛物线交于两点,为抛物线上异于的任意一点,记连线的斜率为,试求满足成等差数列的充要条件。(3) （理）设直线的方程为,代入,得:,设,则（11分）若，即有，即：由此得：，，（15分）所以当直线的方程为时，也就是成立的充要条件是直线与轴相垂直。 （16分）23.（理）（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分7分，第三小题满分7分）设等差数列的公差为，且．若设是从开始的前项数列的和，即，，如此下去，其中数列是从第开始到第)项为止的数列的和，即． (1)若数列,试找出一组满足条件的,使得： ；(2) 试证明对于数列，一定可通过适当的划分，使所得的数列中的各数都为平方数；(3)若等差数列中．试探索该数列中是否存在无穷整数数列,使得为等比数列,如存在,就求出数列；如不存在，则说明理由．解：（1）则;（4分） (2)记即,又由，,所以第二段可取3个数，；再由，即,因此第三段可取9个数，即，依次下去, 一般地:, （6分）所以，（8分）（9分）则．由此得证．（11分）（3）不存在．令,则 假设存在符合题意的等差数列, 则的公比必为大于的整数,(,因此，即此时,注意到, （14分）要使成立,则必为完全平方数, （16分）但,矛盾．因此不存在符合题意的等差数列． （18分）！第1页 共11页学优高考网！！上海市十三校2015届高三3月第二次联考数学理试题
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