肇庆市中小学教学质量评估2015—2014学年第一学期统一检测题参考公式：锥体的体积公式，其中S为锥体的底面积，为锥体的高.已知集合，集合，则A．{3} B．{0} C．{0，3} D．{-3}2．设复数（是虚数单位），则复数的共轭复数 A B． C． D．3．下列四个函数中既是函数又在定义域上单调递增的是A． B．C． D．4．已知实数满足 则的最大值是A．-6 B．-1C．4 D．65．执行如图1所示的程序框图，输出的值为A．3 B．4C．5 D．66．某几何体的三视图如图2所示单位：cm则其体积A．和 B．和C．和D．和7．平面内有4个红点6个蓝点其中只有一个红点和两个蓝点共线其余任三点不共线,过这十个点中的任两点所确定的直线中至少过一红点的直线的条数是A30 B．29 C．28 D．278．已知集合，若从集合中任取个数，其所有可能的个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记．例如当n=1时，，，；当时，，，，. 则A． B． C． D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题） 的定义域为 ▲ .10．若等比数列满足，则.11．在的展开式中常数项是.（用数字作答）曲线的切线中斜率最小的切线方程为.13．在平面直角坐标系中，已知点A是半圆 上的一个动点，点C在线段OA的延长线上．当时，则点C的纵坐标的取值范围是.（）▲ 14．（坐标系与参数方程选做题）与的交点的极坐标为 ▲ .15．（几何证明选讲选做题）中，(ACB=90°，CE(AB于点E，以AE为直径的圆与AC交于点D，若BE=2AE=4，则CD= ▲ .三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数>0，x(R）的最大值为2.（1）求f的值；若，求．17．（本小题满分12分）5名同学的语文、英语成绩如下表所示：学生语文（x分）8790919295英语（y分）8689899294（1）根据表中数据，求英语分y对语文分x的线性回归方程；（2）要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望（线性回归方程中，，，其中为样本平均值，，的值的结果保留二位小数.）18．（本题满分14分）如图P—ABCD中，PA(平面ABCD，，四边形ABCD是直角梯形，．（1）求证CD(平面PAC求二面角A—PD—C的余弦值19．（本小题满分14分）已知满足，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求；（3）证明：.20．（本小题满分14分）已知椭圆C（）的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为椭圆C的动直线l与椭圆C相交于A、B两点.1）求椭圆C的方程2）若线段AB中点的横坐标为,求直线l3）若线段AB的垂直平分线与x轴相交于点D. 设弦AB的中点为P,试求的取值范围.21．（本小题满分14分），其中a为常数，且.（1）当时，求的单调区间；（2）若在处取得极值，且在上的最大值为，求a的值.肇庆市中小学教学质量评估2015—2015学年第一学期统一检测题高三数学（理科）参考答案题号答案8【解析】当时，，，，所以.由于， ，所以猜想.二、填空题：9． 10．8 11．45 12．13． 14. （0，0）（2分），（3分） 15．三、解答题: 16．（本小题满分12分）解：因为函数，所以， （2分）即.（1） （5分）（2）因为,，所以 （7分） （8分） （9分） 所以 （11分） （12分）17．（本小题满分12分）解：（1） （1分） （2分） （4分）， （5分）故回归直线方程为. （6分）（2）随机变量的可能取值为0，1，2. （7分）故的分布列为012 （10分）所以. （12分）18．（本小题满分14分）（1）证明：∵PA(平面ABCD，且CD(平面ABCDCD(PA． （1分）又∵°，∴(BAC=45°，又(BAD=90°，故(CAD=45° （2分）C作CE//AB，交AD于ECE=AB=DE，(CED=(BAD=90°，∴(CDA=45° （分）°，∴(ACD=90°，即CD(AC． （4分）∵PA(平面PACAC(平面PACPA∩AC=A，∴CD(平面PAC. （6分）（2）方法一：∵PA(平面ABCD，且CE(平面ABCDCE(PA．由（1）知CE⊥AD，又PA(平面AD，AD(平面AD，且PA∩AD=A，∴CE(平面PAD. （7分）过E作EFPD于F，连结CF.CE(平面PAD，且PD(平面PADCE(PD．又EF⊥PD，且CE∩EF=E，∴PD(平面CEF.又CF(平面CF(PD． （8分）∴(CFE是二面角A—PD—C的平面角. （10分）设PA=AB=BC=a，则AD=2a，CE=DE=a，.由(PAD∽(EFD，得，所以. （11分）所以， （12分）∴，即二面角APD—C的余弦值为14分）方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，设PA=AB=BC=a，则AD=2a.所以A（0，0，0），B（a，0，0），P（0，0，a）D（0，2a，0），C（a，a，0）. （7分）所以，. （8分）设平面的法向量为， 则，即得令x=1，得y=1，所以是平面的一个法向量. （分）平面的一个法向量为 （分）设向量和所成角为，则 （分）即二面角APD—C的余弦值为14分）19．（本小题满分14分）解由得，时， （2分）即 ； （3分）因为，所以） （4分）（2）由与，得 （5分）∴ ① （6分） ② （7分）①－②得 （8分）∴ （9分）（3）证明：当n=1时，显然成立； （10分）当时，， （11分）∴. （12分）； （13分）综上，得. （14分）20．（本小题满分14分）解c，依题意，得，解得 （3分）所以椭圆C方程为.4分）（2）由（1）知椭圆C的1，0），显然直线l的斜率存在，设为k，则直线l. （5分）将代入得， ，设，则 ，∴， （6分）因为中点的横坐标为，解得. （7分）所以，直线l. （8分）（3）显然直线l的斜率存在，由（2）知，，所以的中点为. 9分）所以 . (10分) 当时，直线PD的方程为, 由,得,则, 所以. 11分)所以又因为,所以. 所以12分）当k=0时，显然，所以； （13分）故的取值范围是.14分)21．（本小题满分14分）解的定义域为（0，+(）.（1）当时，， （1分）令，解得.当时，，所以函数在上单调递增； （2分）当时，，所以函数在上单调递减； （3分）当时，，所以函数在上单调递增； （4分）所以的单调递增区间为,；单调递减区间为. （5分）（2）因为令,解得因为在处取得极值，所以，即. （6分）①当，即时，因为当时，，所以在（0，1）上单调递增；当时，所以在上单调递减；故在区间上的最大值为.由，解得. （8分）②当，即时，因为当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；故在区间上的最大值1只可能在或x=e处取得.因为，所以由，解得. （10分）③当，即时，因为当时，，所以在（0，1）上单调递增；当时，所以在上单调递减；当，，所以在上单调递增；故在区间上的最大值1只可能在x=1或x=e处取得.因为，所以由，解得（舍去）. （12分）④当，即时，因为当时，，所以在（0，1）上单调递增；当时，所以在（1，e）上单调递减；故在区间上的最大值1只可能在x=1处取得.因为，所以此时a无解. （13分）综上所述，或. （14分）广东省肇庆市中小学教学质量评估2015-2016学年高三第一学期统一检测（数学理）
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