湖北五校联盟2013届高三上学期调研考试数学（理）试题

一．（共12小题，每小题5分，计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1. 若集 合 =（ ）
A. B. C. D.
2.复数 ，则 在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．执行如图所示的程序框图，若输入x=3，则输出y的值为（ ）
A.5 B.9 C.17 D.33
4.袋中有6个小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，甲乙两人玩游戏，先由甲从袋中任意摸出一个小球，记下号码 后放回袋中，再由乙摸出一个小球，记下号码 ，若 就称 甲乙两人“有默契”，则甲乙两人“有默契”的概率为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，一个简单几何体的三视图其主视图与俯视图分别是边长2的正三角形和正方形，则其体积是（ ）
A. B. C. D.
6．已知 ，命题 ，则( )
A． 是假命题; B． 是假命题;
C． 是真命题; D. 是真命题;
7.在 中， （ ）
A.10 B. -10 C.-4 D.4
8.等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ,则 的虚轴为（ ）
A. B. C.4 D.8
9.已知公比不为1的等比数列 的首项为1，若 成等差数列，则数列 的前5项和为( )
A. 12181 B. 3116 C. 121 D. 31
10. 点A、B、C、D均在同一球面上，其中 是正三角形， ，
,则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
11. 求形如 的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得： ,再两边同时求导得 ，于是得到： ，运用此方法求得函数 的一个单调递增区间是( )
A．(e,4) B．(3,6) C．(0,e) D．(2,3)
12． 是双曲线 的左焦点, 是抛物线 上一点,直线 与 圆 相切于点 ，且 ，若双曲线的焦距为 ,则双曲线的实轴长为( )
A.4B.2C. D.
二．题（共4小题，每小题5分，计20分）
13． 的展开式中 的系数等于
14.将6位志愿者分成4组，其中有2个组各2人，另两个组各1人，分赴2012年伦敦奥运会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种.（用数字作答）
15. 设实数 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为8，则 的最小值为
16. 已知 ,数列 的前n项和为 ，数列 的通项公式为 ,则 的最小值为
三. 解答题（本大题共6小题，共70分；解答写出字说明、 证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）已知 ，且
（1）求 的最小正周期及单调递增区间.
（2）在△ABC中，a,b,c,分别是A ,B,C的对边，若 成立 ，求 的取值范围.

18. （本小题满分12分）在四棱锥 中， 底面 ， ,
.(1)求证：面 ⊥面 ；（2）求二面角 的余弦值.

19. （本小题满分12分）某校高二年级共有学生1000名,
其中走读生750名, 住宿生250名,现从该年级采用
分层抽样的方法从该年级抽取n名学生进行问卷调
查.根据问卷取得了这n名同学每天晚上有效学习时
间(单位:分钟)的数据,按照以下区间分为八组
①[0,30),②[30,60),③[60,90),④[90,120),
⑤[120,150),⑥[150,180),⑦ [180,210),⑧[210,240),
得到频率分布直方图如下.已知抽取的学生中每天晚上
有效学习时间少于60分钟的人数为5人；
（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；
（2）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，下列2×2列联表：

是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？
参考公式：
参考列表：

(3）若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望；

20. （本小题满分12分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，其中 也是抛物线 的焦点 ，点 为 与 在第一象限的交点，且 .（1） 求 的方程；（2）平面上的点 满足 ，直线 ，且与 交于 两点，若 ，求直线 的方程.

21.（本小题满分12分）已知函数 .（1） 讨论函数 的单调性；（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；（3）证明： .

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，A，B，C，D四点在同一个圆上，BC与AD的延长线交于点E，
点F在BA的延长线上。（1）若 ,则 ；
23.选修4—4：坐标系与参数方程。在平面直角坐标系中，曲线 的参数方
程为 ，以 为极点， 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线 是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线 上的点 对应的参数 射线 与曲线 交于点 .（1）曲线 的方程为 .
24.选修 4- 5 ：不等式选讲 已知函数 .（1）若 恒成立，则 的取值范围为 .

高三年级数学答案（理科）


设 ，所以
因为 ，所以 ，



故 ……………………9分
（3）由（2）知当 时，有 ，当 时， 即 ，
令 ，则 ，即 …10分

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