2013届高考数学圆锥曲线的综合问题复习课件和测试题

编辑: 逍遥路 关键词: 高三 来源: 高中学习网


2013年高考数学总复习 8-7 圆锥曲线的综合问题(理)但因为测试 新人教B版

1.(2011•宁波十校联考 )已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则AB等于(  )
A.3          B.4
C.32 D.4 2
[答案] C
[解析] 设A(x1,3-x21),B(x2,3-x22),由于A、B关于直线x+y=0对称,∴x1=x22-33-x21=-x2,解得x1=-2x2=1或x1=1x2=-2,设直线AB的 斜率为kAB,
∴AB=1+k2ABx1-x2=32.故选C.
2.(2011•南昌检测(二))过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为(  )
A.22 B.33
C.12 D.13
[答案] B
[解析] 记F1F2=2c,则PF1=2c3,PF2 =4c3,所以椭圆的离心率为F1F2PF1+PF2=2c2c3+4c3=33,选B.
3.(2011•长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线x2-y23=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则PA1→•PF2→的最小值为(  )
A.-2 B.-8116
C.1 D.0
[答案] A
[解析] 由已知得A1(-1,0),F2(2,0).设P(x,y)(x≥1),则PA1→•PF2→=(-1-x,-y)•(2-x,-y)=4x2-x-5.令f(x)=4x2-x-5,则f(x)在x≥1上单调递增,所以当x=1时,函数f(x)取最小值,即PA1→•PF2→取最小值,最小值为-2.
4.(2011•大纲全国理,10)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=(  )
A.45 B.35
C.-35 D.-45
[答案] D
[解析] 方法一:联立y2=4xy=2x-4,
解得x=4y=4或x=1y=-2,不妨设A在x轴上方,
∴A(4,4),B(1,-2),
∵F点坐标为(1,0),∴FA→=(3,4),FB→=(0,-2),
cos∠AFB=FA→•FB→FA→•FB→=-85×2=-45.
方法二:同上求得A(4,4),B(1,-2),AB=35,AF=5,BF=2,
由余弦定理知,
cos∠AFB=AF2+BF2-AB22•AF•BF=-45.
5.(2011•台州二模)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点,则AFBF的值为(  )
A.5    B.4    
C.3    D.2
[答案] C
[解析] 由题意设直线l的方程为y=3(x-p2),即x=y3+ p2,代入抛物线方程y2=2px中,整理得3y2-2py-3p2=0,设A(xA,yA),B(xB,yB),则yA=3p,yB=-33p,所以AFBF=yAyB=3.
6.(2011•海南一模)若AB是过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中心的一条弦,是椭圆上任意一点,且A、B与两坐标轴均不平行,kA、kB分别表示直线A、B的斜率,则kA•kB=(  )
A.-c2a2 B.-b2a2
C.-c2b2 D.-a2b2
[答案] B
[解析] 解法一(直接法):设A(x1,y1),(x0,y0),则B(-x1,-y1),
kA•kB=y0-y1x0-x1•y0+y1x0+x1=y20-y21x20-x21
=-b2a2x20+b2--b2a2x21+b2x20-x21
=-b2a2.
解法二(特殊值法):因为四个选项为确定值,取A(a,0),B(-a,0),(0,b),可得kA•kB=-b2a2.
7.(2010•吉林省调研)已知过双曲线x2a2-y2b2=1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点,则双曲线的离心率e的取值范围是________.
[答案] (1,2)
[解析] 由条件知,渐近线的倾斜角小于45°,即ba<1,∴c2-a2a2<1,∴c2a2<2,
即e2<2,∵e>1,∴1<e<2.
8.(2010•安徽安庆联考)设直线l:y=2x+2,若l与椭圆x2+y24=1的交点为A、B,点P为椭圆上的动点,则使△PAB的面积为2-1的点P的个数为________.
[答案] 3
[解析] 设与l平行且与椭圆相切的直线方程为y=2x+b,代入x2+y24=1中消去y得,8x2+4bx+b2-4=0,
由Δ=16b2-32(b2-4)=0得,b=±22,
显见y=2x+2与两轴交点为椭圆的两顶点A(-1,0),B(0,2),
∵直线y=2x+22与l距离d=22-25,
∴欲使S△ABP=12AB•h=52h=2-1,须使h=22-25,∵d=h,∴直线y=2x+22与椭圆切点,及y=2x+4-22与椭圆交点均满足,∴这样的点P有3个.
9.(2011•海南五校联考)已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线与y轴的交点为,N为抛物线上的一点,且NF=32N,则∠NF=________.
[答案] 30°
[解析] 作NH垂直于准线于H,由抛物线的定义得
NH=NF,
∴NHN=NFN=32=sin∠HN,得∠HN=60°,
∴∠NF=90°-60°=30°.
10.(2011•安徽模拟)点A、B分别为椭圆x236+y220=1长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.
(1)求点P的坐标;
(2)设是椭圆长轴AB上的一点,到直线AP的距离等于B,求椭圆上的点到点的距离d的最小值.
[解析] (1)由已知可得点A(-6,0),F(4,0),设点P的坐标是(x,y),则AP→=(x+6,y),FP→=(x-4,y).
由已知得x236+y220=1x+6x-4+y2=0
消去y得,2x2+9x-18=0,∴x=32或x=-6
由于y>0,只能x=32,于是y=523
所以点P的坐标是(32,523).
(2)直线AP的方程是x-3y+6=0
设点的坐标是(,0),则到直线AP的距离是
+62,于是+62=-6,
又-6≤≤6,解得:=2
∵椭圆上的点(x,y)到点的距离是d,
∴d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-59x2
=49(x-92)2+15,
由于-6≤x≤6,所以当x=92时d取最小值15.

11.(2011•新标全国,9)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,AB=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为(  )
A.18    B.24    
C.36    D.48
[答案] C
[解析] 设抛物线为y2=2px,则焦点Fp2,0,准线x=-p2,由AB=2p=12,知p=6,所以F到准线距离为6,所以三角形面积为S=12×12×6=36.
12.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0) ,过椭圆的右焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点,若OA→•OB→=0,则椭圆的离心率e等于(  )
A.-1+52 B.-1+32
C.12 D.32
[答案] A

[解析] 如上图,F2(c,0)把x=c代入椭圆x2a2+y2a2=1得A(c,b2a).
由OA→•OB→=0结合图形分析得
OF2=AF2,
即c=b2a⇒b2=ac⇒a2-c2=ac
⇒(ca)2+ca-1=0⇒e2+e-1=0⇒e=5-12.
13. (2011•辽宁沈阳二中检测)已知曲线C:y=2x2,点A(0,-2)及点B(3,a),从点A观察点B,要使视线不被曲线C挡住,则实数a的取值范围是(  )
A.(4,+∞) B.(-∞,4]
C.(10,+∞) D.(-∞,10]
[答案] D
[解析] 过点A(0,-2)作曲线C:y=2x2的切线,设方程为y=kx-2,代入y=2x2得,

2x2-kx+2=0,令Δ=k2-16=0得k=±4,
当k=4时,切线为l,
∵B点 在直线x=3上运动,直线y=4x-2与x=3的交点为(3,10),当点B(3, a)满足a≤10时,视线不被曲线C挡住,故选D.
14.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,坐标原点到直线AB的距离为32,其中A(0,-b),B(a,0).
(1)求双曲线的标准方程;
(2)设F是双曲线的右焦点,直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q,点为线段PQ的中点.若点在直线x=-2上的射影为N,满足PN→•QN→=0,且PQ→=10,求直线l的方程.
[解析] (1)依题意有ca=2,aba2+b2=32,a2+b2=c2.
解得a=1,b=3,c=2.
所以,所求双曲线的方程为x2-y23=1.
(2)当直线l⊥x轴时,PQ→=6,不合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2).
由x2-y23=1x>0y=kx-2得,
(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0. ①
因为直线与双曲线的右支交于不同两点,所以3-k2≠0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),(x0,y0),则x1、x2是方程①的两个正根,于是有
x1+x2=4k2k2-3>0,x1x2=4k2+3k2-3>0,Δ=4k22-43-k2-4k2-3>0,
所以k2>3. ②
因为PN→•QN→=0,则PN⊥QN,又为PQ的中点,PQ→=10,所以P=N=Q=12PQ=5.
又N=x0+2=5,∴x0=3,
而x0=x1+x22=2k2k2-3=3,
∴k2=9,解得k=±3.
∵k=±3满足②式,∴k=±3符合题意.
所以直线l的方程为y=±3(x-2).
即3x-y-6=0或3x+y-6=0.
15.(2010•北京崇区)已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.

(1)求椭圆的方程;
(2)当直线l的斜率为1时,求△POQ的面积;
(3)在线段OF上是否存在点(,0),使得以P,Q为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
[解析] (1)由已知,椭圆方程可设为x2a2+y2b2=1(a>b>0).∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点,且短轴长为2,∴b=c=1,a=2.
所求椭圆方程为x22+y2=1.
(2)右焦点F(1,0),直线l的方程为y=x-1.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由x2+2y2=2y=x-1得,3y2+2y-1=0,
解得y1=-1,y2=13.
∴S△POQ=12OF•y1-y2=12y1-y2=23.
(3) 假设在线段OF上存在点(,0)(0<<1),使得以P、Q为邻边的平行四边形是菱形.因为直线与x轴不垂直,所以设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0).
由x2+2y2=2y=kx-1可得,(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.
∴x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-21+2k2.
P→=(x1-,y1),Q→=(x2-,y2),PQ→=(x2-x1,y2-y1).其中x2-x1≠0以P,Q为邻边的平行四边形是菱形
⇔(P→+Q→)⊥PQ→⇔(P→+Q→)•PQ→=0
⇔(x1+x2-2,y1+y2)•(x2-x1,y2-y1)=0
⇔(x1+x2-2)(x2-x1)+(y1+y 2)(y2-y1)=0
⇔(x1+x2-2)+k(y1+y2)=0
⇔4k21+2k2-2+k24k21+2k2-2=0
⇔2k2-(2+4k2)=0⇔=k21+2k2(k≠0).
∴0<<12.

1. (2010•安徽江南十校联考)已知椭圆C:x2a2+y2=1(a>1)的上顶点为A,左、右焦点为F1、F2,直线AF2与圆:x2+y2-6x-2y+7=0相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆内存在动点P,使PF1,PO,PF2成等比数列(O为坐标原点),求PF1→•PF2→的取值范围.
[解析] (1)圆:x2+y2-6x-2y+7=0化为(x-3)2+(y-1)2=3,
则圆的圆心为(3,1),半径r=3.
由A(0,1),F2(c,0),(c=a2-1),得直线AF2:
xc+y=1,
即x+cy-c=0,
由直线AF2与圆相切,得3+c-cc2+1=3,
解得c=2或c=-2(舍去).
则a2=c2+1=3,故椭圆C的方程为:x23+y2=1.
(2)由(1)知F1(-2,0)、F2(2,0),设P(x,y),
由题意知PO2=PF1•PF2,
即(x2+y2)2=x+22+y2•x-22+y2,
化简得:x2-y2=1,则x2=y2+1≥1.
因为点P在椭圆内,故x23+y2<1,即x23+x2-1<1,
∴x2<32,∴1≤x2<32,
又PF1→•PF2→=x2-2+y2=2x2-3,
∴-1≤PF1→•PF2→<32.
2.(2010•广州市质检)已知动点P到定点F(2,0)的距离与点P到定直线l:x=22的距离之比为22.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)设、N是直线l上的两个点,点E与点F关于原点O对称,若E→•FN→=0,求N的最小值.
[解析] (1)设点P(x,y),
依题意有,x-22+y2x-22=22,整理得x24+y22=1,
所以动点P的轨迹C的方程为x24+y22=1.
(2)∵点E与点F关于原点O对称,
∴点E的坐标为(-2,0).
∵、N是直线l上的两个点,
∴可设(22,y1),N(22,y2)(不妨设y1>y2).
∵E→•FN→=0,∴(32,y1)•(2,y2)=0,
∴6+y1y2=0,即y2=-6y1.
由于y1>y2,∴y1>0,y2<0.
∴N=y1-y2=y1+6y1≥2y1•6y1=26.
当且仅当y1=6,y2=-6时,等号成立.
故N的最小值为26.
3.(2011•浙江,22)如下图,设P是抛物线C1:x2=y上的动点,过点P做圆C2:x2+( y+3)2=1的两条切线,交直线l:y=-3于A,B,两点.

(1)求圆C2的圆心到抛物线C1准线的距离.
(2)是否存在点P,使线段AB被抛物 线C1在点P处的切线平分,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
[解析] (1)因为抛物线C1的准线方程为:y=-14,
所以圆心到抛物线C1准线的距离为:
-14- (-3)=114.
(2)设点P的坐标为(x0,x20),抛物线C1在点P处的切线交直线l于点D,再设A,B,D的横坐标分别为xA,xB,xD;
过点P(x0,x20)的抛物线C1的切线方程为:
y-x20=2x0(x-x0)     ①
当x0=1时,过点P(1,1)与圆C2的切线PA为:
y-1=158(x-1),
可得xA=-1715,xB=1,xD=-1,xA+xB≠2xD.
当x0=-1时,过点P(-1,1)与圆C2的切线PB为:
y-1=-158(x+1),
可得xA=-1,xB=1715,xD=1,xA+xB≠2xD.
所以x20-1≠0.
设切线PA,PB的斜率为k1,k2,则
PA:y-x20=k1(x-x0),    ②
PB:y-x20=k2(x-x0),    ③
将y=-3分别代入①,②,③得
xD=x20-32x0(x0≠0);
xA=x0-x20+3k1,xB=x0-x20+3k2(k1,k2≠0)
从而xA+xB=2x0-(x20+3)(1k1+1k2)
又-x0k1+x21+3k21+1=1
即(x20-1)k21-2(x20+3)x0k1+(x20+3)2-1=0.
同理,(x20-1)k22-2(x20+3)x0k2+(x20+3)2-1=0
所以k1,k2是方程(x20-1)k2-2(x20+3)x0k+(x20+3)2-1=0的两个不相等的根,从而k1+k2=23+x20x0x20-1,
k1•k2=3+x202-1x20-1,
因为xA+xB=2xD.
所以2x0-(x20+3)(1k1+1k2)=x20-3x0,即1k1+1k2=1x0.
从而23+x20x0x20+32-1=1x0,进而得,x40=8,x0=±48.
综上所述,存在点P满足题意,点P坐标为(±48,22).




本文来自:逍遥右脑记忆 http://www.jiyifa.net/gaosan/34282.html

相关阅读:2014高三数学一诊模拟考试文科试题(含答案)