高二年级期末考试选修2-2一、选择题1.曲线y=ex在点A（0，1）处的切线斜率为（ ） A．1B．2C．eD．2.曲线y=x3+2在点P（1，3）处的切线与y轴交点的纵坐标是（ ） A．-1B．-2C．0D．53.f（x）=x3-3x2+2在区间[-1，1]上的最大值是（ ） A．-2B．0C．2D．44.设f（x）=xlnx，若f′（x）=2，则x=（ ） A．e2B．eC．D．ln25.i是虚数单位1+i3等于（ ） A．iB．-iC．1+iD．1-i6.复数的共轭复数是（ ） A．i+2B．i-2C．-2-iD．2-i7.用反证法证明命题：“若，那么，，中至少有一个不小于”时，反设正确的是 （ ），，都不小于B．假设，，都小于C．假设，，至多有两个小于D．假设，，至多有一个小于8.关于综合法和分析法说法错误的是?（）B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．分析法又叫逆推证法或执果索因法D．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法9.不等式的解集为 （ ）A．（，1）∪（1，） B．（－∞，）∪（，+∞）C．（－∞，1）∪（，+∞） D．（，1）∪（，+∞）10.若曲线在点处的切线方程为，则B．C．D．不存在二、填空题11.函数f（x）=2x+lnx在x=1处的切线方程为 ．12.由直线x+y-2=0，曲线y=x3以及x轴所围成的封闭图形的面积为 ．13. 设是实数，且是实数，则 。14.表示虚数单位，则的值是 .15.观察下列等式1=1，2+3+4=9，3+4+5+6+7=25，4+5+6+7+8+9+10=49，…照此规律，第六个等式是 ．三、解答题16.已知在数列{an}中，．（1）试求a2，a3，a4，a5的值；（2）归纳猜想数列的通项公式．17.已知复数z1满足（z1-2）i=1+i，复数z2的虚部为2，且z1?z2是实数，求复数z2的模．18.已知函数．（1）求函数的极值；（2）求函数f（x）的单调区间．19.定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件： ①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；?②f′（x）是偶函数；③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）=4lnx-m，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．20.的图象过点，且在和上为增函数，在上为减函数.（I）的解析式；（II）在上的极值.21.（本小题满分12分）用数学归纳法证明： 参考答案一、选择题1.分析：由曲线的解析式，求出导函数，然后把切点的横坐标x=0代入，求出对应的导函数的函数值即为切线方程的斜率． 解答：解：由y=ex，得到y′=ex， 把x=0代入得：y′x=0=1， 则曲线y=ex在点A（0，1）处的切线斜率为1． 故选A． 点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题．2.分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，最后令x=0解得的y即为曲线y=x3+2在点P（1，3）处的切线与y轴交点的纵坐标． 解答：解：∵y=x3+2，∴y'=3x2 则y'x=1=3x2x=1=3 ∴曲线y=x3+2在点P（1，3）处的切线方程为y-3=3（x-1）即3x-y=0 令x=0解得y=0 ∴曲线y=x3+2在点P（1，3）处的切线与y轴交点的纵坐标是0． 故选C． 点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及直线与坐标轴的交点坐标等有关问题，属于基础题．3.分析：由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已知函数，判断函数在区间上的增减性，比较函数值的大小，求出最大值，从而求解． 解答：解：f'（x）=3x2-6x=3x（x-2）， 令f'（x）=0可得x=0或2（2舍去）， 当-1＜x＜0时，f'（x）＞0， 当0＜x＜1时，f'（x）＜0， ∴当x=0时，f（x）取得最大值为f（0）=2． 故选C 点评：此题考查导数的定义及利用导数来求闭区间函数的最值，解题的关键是求导要精确．4.分析：利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f'（x）=2解方程即可． 解答：解：∵f（x）=xlnx ∴ ∵f′（x0）=2 ∴lnx+1=2 ∴x=e， 故选B． 点评：本题考查两个函数积的导数及简单应用．导数及应用是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．5.分析：由复数单位的定义，我们易得i2=-1，代入即可得到1+i3的值． 解答：解：∵i是虚数单位 ∴i2=-1 1+i3=1-i 故选D 点评：本题考查的知识点是虚数单位i及其性质，属简单题，其中熟练掌握虚数单位i的性质i2=-1是解答本类问题的关键．6.分析：首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部变为相反数，得到要求的共轭复数． 解答：解：∵复数==-2-i， ∴共轭复数是-2+i 故选B． 点评：复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．7.B【解析】试题分析：根据题意，由于反证法证明命题：“若，那么，，中至少有一个不小于”时，即将结论变为否定就是对命题的反设，因此可知至少有一个的否定是一个也没有，或者说假设，，都小于，故答案为B.考点：反证法点评：主要是考查了反证法的运用，属于基础题。8.D【解析】试题分析：根据题意，由于综合法和分析法分别是从条件入手推出结论和从结论入手得到结论成立的充分条件法，同时综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，故可知综合法又叫顺推证法或由因导果法，分析法又叫逆推证法或执果索因法。因此可知答案为D.考点：综合法和分析法点评：主要是考查了综合法和分析法的概念的运用，属于基础题。9.【解析】略10.B【解析】试题分析：由导数的几何意义知：，所以。考点：导数的几何意义。点评：直接考查导数的几何意义，属于基础题型。二、填空题11.分析：由f（x）=2x+lnx，知f（1）=2，，k=f′（1）=3，由此能求出f（x）在x=1处的切线方程． 解答：解：∵f（x）=2x+lnx， ∴f（1）=2，， ∴k=f′（1）=3， ∴f（x）在x=1处的切线方程为y-2=3（x-1），即3x-y-1=0． 故答案为：3x-y-1=0． 点评：本题考查函数的切线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．12.分析：先求出两曲线的交点坐标（1，1），再由面积与积分的关系将面积用积分表示出来，由公式求出积分，即可得到面积值． 解答：解：由题意令 解得交点坐标是（1，1） 故由直线x+y-2=0，曲线y=x3以及x轴围成的图形的面积为： ∫1x3dx+∫12（2-x）dx=x4 +（2x-x2） =+=． 故答案为： 点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解答本题关键是根据题设中的条件建立起面积的积分表达式，再根据相关的公式求出积分的值，用定积分求面积是其重要运用，掌握住一些常用函数的导数的求法是解题的知识保证．13.【解析】解：因为14.0【解析】15.分析：由图知，第n个等式的等式左边第一个数是n，共2n-1个连续整数的和，右边是奇数2n-1的平方，即可得结果． 解答：解：观察下列等式 1=1 2+3+4=9 ? 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 … 由图知，第n个等式的等式左边第一个数是n，共2n-1个连续整数的和，右边是奇数2n-1的平方， 故有n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2． ∴照此规律，第六个等式是6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=112=121． 故答案为：6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=121． 点评：本题考查归纳推理的运用，关键是从所给的式子中，发现变化的规律．三、解答题16.分析：（1）把n=1及a1=3代入已知的等式即可求出a2的值，把n=2及a2的值代入已知的等式即可求出a3的值，把n=3及a3的值代入已知等式即可求出a4的值，把n=4及a4的值代入已知的等式即可求出a5的值； （2）然后把求出的五项的值观察规律，即可归纳总结得到这个数列的通项公式an． 解答：解：（1），两边取倒数， 可变形为：， 把n=1及a1=3代入，即可求出a2=， 把n=2及a2的值代入，即可求出a3=1， 依次得到：a4=，a5=． （2）从上面的式子中归纳猜想数列的通项公式为：，n∈N*． 点评：此题考查数列的概念及简单表示法、归纳推理，会根据一组数据的特点归纳总结得出一般性的规律，是一道基础题．17.分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z1，设出z2=a+2i，根据z1?z2是实数，求得a的值，即可求复数z2的模． 解答：解：由（z1-2）i=1+i，可得 z1=+2=3-i． 由于复数z2的虚部为2，可设z2=a+2i，再根据 z1?z2=（3-i）（a+2i）=（3a+2）+（6-a）i 为实数， 可得 6-a=0，故 a=6， ∴z2==2． 点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．18.分析：（1）求出f′（x），根据函数单调性及极值的定义即可求得； （2）借助（1）问的结论可求． 解答：解：（1）f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2）， 当x＜-2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当-2＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增． 所以当x=-2时，f（x）有极大值f（-2）=-+8+4=， 当x=2时，f（x）有极小值f（2）=-8+4=-． （2）由（1）知，f（x）的单调增区间为：（-∞，-2），（2，+∞）；单调减区间为：（-2，2）． 点评：本题考查导数与函数的极值及单调性问题，属基础题．19.分析：（Ⅰ）求出f′（x）=3ax2+2bx+c，由f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，得到f′（1）=3a+2b+c=0，再由函数的奇偶性和切线方程能够求出函数y=f（x）的解析式． （Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使4lnx-m＜x2-1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx-x2+1，由此入手，结合题设条件，能够求出实数m的取值范围． 解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2+2bx+c ∵f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数， ∴f′（1）=3a+2b+c=0…①…（1分） 由f′（x）是偶函数得：b=0②…（2分） 又f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，f′（0）=c=-1③…（3分） 由①②③得：， 即…（4分） （Ⅱ）由已知得： 若存在x∈[1，e]，使4lnx-m＜x2-1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx-x2+1 设h（x）=4lnx-x2+1 m＞hmin，对h（x）求导，导数在（0，）大于零，（高二年级下学期期末考试选修2-2（中）
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