2013年高考数学总复习 5-2 平面向量基本定理及向量的坐但因为测试 新人教B版

1.()(2011•合肥二模)设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝(　　)
A．(7,3)　　　 　　　　B．(7,7)
C．(1 ,7) D．(1,3)
[答案]　A
[解析]　依题意得a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)，选A.
(理)(2011•宁波十校联考)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，)，且a∥b，则2a＋3b＝(　　)
A．(－2，－4)　　　　 　B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
[答案]　C
[解析]　由a＝(1,2)，b＝(－2，)，且a∥b，得1×＝2×(－2)⇒＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．
2．(2011•蚌埠二中质检)已知点A(－1,0)，B(1,3)，向量a＝(2k－1,2)，若AB→⊥a，则实数k的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[答案]　B
[解析]　AB→＝(2,3)， ∵AB→⊥a，
∴2(2k－1)＋3×2＝0，
∴k＝－1，∴选B.
3．(2011•嘉兴模拟)已知a，b是不共线的向量，AB→＝λa＋b，AC→＝a＋μb，λ，μ∈R，那么A、B、C三点共线的充要条件为(　　)
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
[答案]　D
[解析]　∵AB→与AC→共线，a与b不共线，
∴λμ－1＝0，故选D.
4．(2011•西安质检)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　)
A．(79，73) B．(－73，－79)
C．(73，79) D．(－79，－73)
[答案]　D
[解析]　不妨设c＝(，n)，则a＋c＝(1＋,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，因为(c＋a)∥b，则有－3×(1＋)＝2×(2＋n)．又c⊥(a＋b)，则有3－n＝0，解得＝－79，n＝－73.
5．(2011•东高考调研)已知平行四边形ABCD，点P为四边形内部或者边界上任意一点，向量AP→＝xAB→＋yAD→，则“0≤x≤12，0≤y≤23”的概率是(　　)
A.13 B.23
C.14 D.12
[答案]　A
[解析]　

根据平面向量基本定理，点P只要在如图所示的区域AB1C1D1内即可，这个区域的面积是整个四边形面积的12×23＝13，故所求的概率是13.
6．()(2010•合肥市质检)如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设AB→＝a，AC→＝b，AF→＝xa＋yb，则(x，y)为(　　)

A.12，12 B.23，23
C.13，13 D.23，12
[答案]　C
[解析]　设CF→＝λCD→，∵E、D分别为AC、AB的中点，
∴BE→＝BA→＋AE→＝－a＋12b，
BF→＝BC→＋CF→＝(b－a)＋λ(12a－b)
＝12λ－1a＋(1－λ)b，
∵BE→与BF→共线，∴12λ－1－1＝1－λ12，∴λ＝23，
∴AF→＝AC→＋CF→＝b＋23CD→＝b＋2312a－b
＝13a＋13b，故x＝13，y＝13.
(理)在平行四边形ABCD中，AE→＝13AB→，AF→＝14AD→，CE与BF相交于G点．若AB→＝a，AD→＝b，则AG→＝(　　)
A.27a＋17b B.27a＋37b
C.37a＋17b D.47a＋27b
[答案]　C
[解析]　∵B、G、F三点共线，
∴AG→＝λAF→＋(1－λ)AB→＝14λb＋(1－λ)a.
∵E、G、C三点共线，
∴AG→＝μAE→＋(1－μ)AC→＝13μa＋(1－μ)(a＋b)．
由平面向量基本定理得，λ4＝1－μ1－λ＝1－23μ，
∴λ＝47μ＝67，∴AG→＝37a＋17b.
7． ()(2011•杭州模拟)已知向量a＝(sinx,1)，b＝(cosx，－3)，且a∥b，则tanx＝________.
[答案]　－13
[解析]　∵a∥b，∴sinxcosx＝1－3，
∴tanx＝－13.
(理)已知a＝(2，－3)，b＝(sinα，cos2α)，α∈－π2，π2，若a∥b，则tanα＝________.
[答案]　－33
[解析]　∵a∥b，∴sinα2＝cos2α－3，∴2cos2α＝－3sinα，
∴2sin2α－3sinα－2＝0，
∵sinα≤1，∴sinα＝－12，
∵α∈－π2，π2，∴cosα＝32，∴tanα＝－33.
8．(2011•海南质检)在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8，6)，则D点的坐标为________．
[答案]　(0，－2)
[解析]　由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形．设D(x，y)，则有AB→＝DC→，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2)．
9．()(2011•北京朝阳区模拟)如图，在△ABC中，D、E 分别是BC、AC的中点，F为AB上一点，且AB→＝4AF→，若AD→＝xAF→＋yAE→，则x＝________，y＝________.

[答案]　2　1
[解析]　

(如图)因为AD→＝AE→＋ED→
＝AE→＋12AB→＝AE→＋12×4AF→
＝AE→＋2AF→.
所以x＝2 ，y＝1.
(理)(2011•江苏徐州市质检)在△ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交AB，AC于，N两点，若A→＝xAB→，AN→＝yAC→，则4x＋y的最小值为________．
[答案]　94
[解析]　

如图所示，由题意知AD→＝12(AB→＋AC→)，AE→＝12AD→，
又，E，N三点共线，
所以AE→＝λA→＋(1－λ)AN→(其中0<λ<1)，
又A→＝xAB→，AN→＝yAC→，
所以14(AB→＋AC→)＝λxAB→＋(1－λ)yAC→，
因此有4λx＝1，41－λy＝1，解得x＝14λ，y＝141－λ，
令1λ＝t，∴t>1，
则4x＋y＝1λ＋141－λ＝t＋t4t－1
＝(t－1)＋14t－1＋54≥94，
当且仅当t＝32，即λ＝23时取得等号．
10．()已知O(0,0)、A(2，－1)、B(1,3)、OP→＝OA→＋tOB→，求
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第四象限？
(2)四点O、A、B、P能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．
[解析]　(1)OP→＝OA→＋tOB→＝(t＋2,3t－1)．
若点P在x轴上，则3t－1＝0，∴t＝13；
若点P在y轴上，则t＋2＝0，∴t＝－2；
若点P在第四象限，则t＋2>03t－1<0，∴－2<t<13.
(2)OA→ ＝(2，－1)，PB→＝(－t－1，－3t＋4)．
若四边形OABP为平行四边形，则OA→＝PB→.
∴－t－1＝2－3t＋4＝－1无解．
∴ 四边形OABP不可能为平行四边形．
同理可知，当t＝1时，四边形OAPB为平行四边形，当t＝－1时，四边形OPAB为平行四边形．
(理)(2011•杭州市质检)已知向量a＝(1,2)，b＝(cosα，sinα)，设＝a＋tb(t为实数)．
(1)若α＝π4，求当取最小值时实数t的值；
(2)若a⊥b，问：是否存在实数t，使得向量a－b和向量的夹角为π4，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)∵α＝π4，∴b＝(22，22)，a•b＝322，
∴＝a＋tb2＝5＋t2＋2ta•b
＝t2＋32t＋5＝t＋3222＋12，
∴当t＝－322时，取到最小值，最小值为22.
(2)由条件得cosπ4＝a－b•a＋tba－ba＋tb，
∵a－b＝a－b2＝6，a＋tb＝a＋tb2＝5＋t2，(a－b)•(a＋tb)＝5－t，
∴5－t65＋t2＝22，且t<5，
∴t2＋5t－5＝0，∴存在t＝－5±352满足条件.

11.()(2011•辽宁，3)已知向量a＝ (2,1)，b＝(－1，k)，a•(2a－b)＝0，则k＝(　　)
A．－ 12 B．－6
C．6 D．12
[答案]　D
[解析]　∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)
∴a•(2a－b)＝(2,1)•(5,2－k)＝10＋2－k＝0
∴k＝12.
(理)(2011•湖南十二校第二次联考)平面上有四个互异的点A、B、C、D，满足(AB→－BC→)•(AD→－CD→)＝0，则三角形ABC是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
[答案]　B
[解析]　(AB→－BC→)•(AD→－CD→)
＝(AB→－BC→)•(AD→＋DC→)
＝(AB→－BC→)•AC→＝(AB→－BC→)•(AB→＋BC→)
＝AB→2－BC→2＝0，
故AB→＝BC→，即△ABC是等腰三角形．
12．(2011•青岛模拟)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，记向量AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝(　　)

A.2a－(1＋22)b
B．－2a＋(1＋22)b
C．－2a＋(1－22)b
D.2a＋(1－22)b
[答案 ]　B
[解析]　

根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，由∠BCD＝13 0°，得∠ACD＝135°－45°＝90°，以B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE⊥y轴于点E，则△CDE也为等腰直角三角形，由CD＝1，得CE＝ED＝22，则A(1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D(22，1＋22)，∴AB→＝(－1,0)，AC→＝(－1,1)，AD→＝(22－1,1＋22)，令AD→＝λAB→＋μAC→，
则有－λ－μ＝22－1μ＝1＋22，得λ＝－2μ＝1＋22，
∴AD→＝－2a＋(1＋22)b.
13.如图所示，设P、Q为△ABC内的两点，且AP→＝25AB→＋15AC→，AQ→＝23AB→＋14AC→，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为________．
[答案]　45
[分析]　因三角形的面积与底和高有关，所以可利用“同底三角形面积比等于高之比”的结论计算待求三角形的面积比．题设条件中用AB→和AC→给出了点P和点Q，故可利用AP→和AQ→构造平行四边形将面积比转化为向量长度的比解决．
[解析]　根据题意，设A→＝25AB→，AN→＝15AC→，则由平行四边形法则，得AP→＝A→＋AN→，且APN为平行四边形，于是NP∥AB，所以S△ABPS△ABC＝AN→AC→＝15，同理，可得S△ABQS△ABC＝14.故S△ABPS△ABQ＝ 45.
14．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c＝2b，向量＝sinA，32，n＝(1，sinA＋3cosA)，且与n共线．
(1)求角A的大小；
(2)求ac的值．
[解析]　(1)∵∥n，∴sinA(sinA＋3cosA)－32＝0，即sin2A－π6＝1.
∵A∈(0，π)，∴2A－π6∈－π6，11π6.
∴2A－π6＝π2.∴A＝π3.
( 2)由余弦定理及c＝2b、A＝π3得，
a2＝c22＋c2－2•c2•ccosπ3，
a2＝34c2，∴ac＝32.
15．()已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及定点A(1,1)，为圆C上任意一点，点N在线段A上，且A→＝2AN→，求动点N的轨迹方程．
[解析]　设N(x，y)，(x0，y0)，则由A→＝2AN→得
(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，
∴1－x0＝2x－21－y0＝2y－2，即x0＝3－2xy0＝3－2y，
代入(x－3)2＋(y－3)2＝4，得x2＋y2＝1.
(理)已知⊙C：(x＋2)2＋(y－1)2＝9及定点A(－1,1)，是⊙C上任意一点，点N在射线A上，且A＝2N，动点N的轨迹为C，求曲线C的方程．
[解析]　设N(x，y)，(x0，y0)，∵N在射线A上，且A＝2N，∴A→＝2N→或A→＝－2N→，
A→＝(x0＋1，y0－1)，N→＝(x－x0，y－y0)，
∴x0＋1＝2x－x0y0－1＝2y－y0或x0＋1＝－2x－x0y0－1＝－2y－y0，
∴x0＝132x－1y0＝132y＋1或x0＝2x＋1y0＝2y－1，
代入圆方程中得(2x＋5)2＋(2y－2)2＝81或
(2x＋3)2＋(2y－2)2＝9.
16．设a、b是不共线的两个非零向量，
(1)若OA→＝2 a－b，OB→＝3a＋b，OC→＝a－3b，求证：A、B、C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值；
(3)设O→＝a，ON→＝nb，OP→＝αa＋βb，其中、n、α、β均为实数，≠0，n≠0，若、P、N三点共线，求证：α＋βn＝1.
[证明]　(1)∵AB→＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b. 而BC→＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2AB→，
∴AB→与BC→共线，且有公共端点B，∴A、B、C三点共线．
(2)∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ使得
(8a＋kb)＝λ(ka＋2b)⇒(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，
∵a与b不共线，∴8－λk＝0，k－2λ＝0⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，
∴k＝2λ＝±4.
(3)解法1：∵、P、N三点共线，∴存在实数λ，使得P→＝λPN→，∴OP→＝O→＋λON→1＋λ＝1＋λa＋λn1＋λb
∵a、b不共线，
∴α＝1＋λ，β＝λn1＋λ∴α＋βn＝11＋λ＋λ1＋λ＝1.
解法2：∵、P、N三点共线，∴OP→＝xO→＋yON→且x＋y＝1，
由已知可得：xa＋ynb＝αa＋βb，
∴x＝α，y＝βn，∴α＋βn＝1.

1．(2011•长沙二检)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝(　　)
A．3a＋b B．3a－b
C．－a＋3b D．a＋3b
[答案]　B
[解析]　由已知可设c＝xa＋yb⇒4＝x－y2＝x＋y⇒x＝3y＝－1，故选B.
2．(2010•河南许昌调研，2011•深圳模拟)在平面直角坐标系中，O为原点，设向量OA→＝a，OB→＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若OC→＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，C点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是(　　)


[答案]　A
[解析]　OC→＝λa＋μb＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，
令OC→＝(x，y)，则x－y＝(3λ＋μ)－(λ＋3μ)
＝2(λ－μ)≤0，
∴点C对应区域在直线y＝x的上方，故选A.
3．已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB、AC分别交于点E、F，AE→＝αAB→，AF→＝βAC→，则1α＋1β＝________.
[答案]　3
[解析]　连结AG并延长交BC于D，∵G是△ABC的重心，∴AG→＝23AD→＝13(AB→＋AC→)，设EG→＝λGF→，
∴AG→－AE→＝λ(AF→－AG→)，∴AG→＝11＋λAE→＋λ1＋λAF→，
∴13AB→＋13AC→＝α1＋λAB→＋λβ1＋λAC→，
∴α1＋λ＝13λβ1＋λ＝13，∴1α＝31＋λ1β＝3λ1＋λ，∴1α＋1β＝3.
4．已知△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，、N是AB、AC的中点，D是BC的中点，N与AD交于点F，求DF→.
[解析]　因为A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)
所以AB→＝(－4，－3)，AC＝(－3，－5)．
又因为D是BC的中点，有AD→＝12(AB→＋AC→)＝(－3.5，－4)，而、N分别为AB、AC的中点，所以F为AD的中点，故有DF→＝12DA→＝－12AD→＝(1.75,2)．
[点评]　注意向量表示的中点公式，是A、B的中点，O是任一点，则O→＝12(OA→＋OB→)．
5.如图所示，△ABC中，点是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，A与BN相交于点P，求AP?P的值．
[解析]　设B→＝e1，CN→＝e2，则A→＝AC→＋C→＝－3e2－e1，BN→＝2e1＋e2，∵A、P、和B、P、N分别共线，
∴存在λ、μ∈R，使AP→＝λA→＝－λe1－3λe2，
BP→＝μBN→＝2μe1＋μe2.
故BA→＝BP→－AP→＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，
而BA→＝BC→＋CA→＝2e1＋3e2，
∴由平面向量基本定理得λ＋2μ＝23λ＋μ＝3，∴λ＝45μ＝35，
∴AP→＝45A→，即AP?P＝4?1.
6．(2011•衡阳期末)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题：
(1)求满足a＝b＋nc的实数，n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且d－c＝5，求d.
[解析]　(1)由题意得(3,2)＝(－1,2)＋n(4,1)，
所以－＋4n＝32＋n＝2，得＝59n＝89.
(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∵(a＋kc)∥(2b－a)，
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
∴k＝－1613.
(3)设d＝(x，y) ，则d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，
由题意得4x－4－2y－1＝0x－42＋y－12＝5，
解得x＝3y＝－1或x＝5y＝3，∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)．

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