2013届高中科数学高考复习辅导2
一、选择题:每小题只有一项是符合题目要求的,将答案填在题后括号内.
1.函数y=log2x-2的定义域是( )
A.(3,+∞) B.[3,+∞) C.(4,+∞) D.[4,+∞)
2.设集合A={(x,y) },B={(x,y)y=2x},则A∩B的子集的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知全集I=R,若函数f(x)=x2-3x+2,集合={xf(x)≤0},N={x <0},则∩∁IN=( )
A.[32,2] B.[32,2) C.(32,2] D.(32,2)
4.设f(x)是R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x+x,则当x<0时,f(x)=( )
A.-(-12)x-x B.-(12)x+x C.-2x-x D.-2x+x
5.下列命题①∀x∈R,x2≥x;②∃x∈R,x2≥x;③4≥3;④“x2≠1”的充要条件是“x≠1或x≠-1”.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6. 已知下图(1)中的图像对应的函数为 ,则下图(2)中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中,只可能是( )
7.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为( )
A.(1.4,2) B.(1,1.4) C.(1,32) D.(32,2)
8.点(a,b)在函数y=1x的图象上,点N与点关于y轴对称且在直线x-y+3=0上,则函数f(x)=abx2+(a+b)x-1在区间[-2,2)上( )
A.既没有最大值也没有最小值 B.最小值为-3,无最大值
C.最小值为-3,最大值为9 D.最小值为-134,无最大值
9.已知函数 有零点,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题:将正确答案填在题后横线上.
10.若全集U=R,A={x∈N1≤x≤10},B={x∈Rx2+x-6=0},
则如图中阴影部分表示的集合为_______ _.
11.若lga+lgb=0(a≠1),则函数f(x)=ax与g(x)=-bx的图象关于________对称.
12.设 ,一元二次方程 有正数根的充要条件是 = .
13.若函数f(x)在定义域R内可导,f(2+x)=f(2-x),且当x∈(-∞,2)时,(x-2) >0.设
a=f(1), ,c=f(4),则a,b,c的大小为 .
14、已知 。若 为真, 为假,则实数 的取值范围是 .
15.给出定义:若-12<x≤+12(其中为整数),则叫做离实数x最近的整数,记作{x}=.在此基础上给出下列关于函数f(x)=x-{x}的四个命题:
①函数y=f(x)的定义域为R,值域为[0,12];②函数y=f(x)的图象关于直线x=k2(k∈Z)对称;
③函数y=f(x)是周期函数,最小正周期为1;④函数y=f(x)在[-12,12]上是增函数.
其中正确的命题的序号是______ __.
三、解答题:解答须写出字说明、证明过程和演算步骤.
16.设集合A={xx2<4},B={x1<4x+3}.
(1) 求集合A∩B;
(2) 若不等式2x2+ax+b<0的解集为B,求a,b的值.
17.已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-2k2+4,若f(x)的单调减区间为(0,4).
(1) 求k的值;
(2) 对任意的t∈[-1,1],关于x的方程2x2+5x+a=f(t)总有实根,求实数a的取值范围.
18. 已知函数f(x)=log3(ax+b)的部分图象如图所示.
(1) 求f(x)的解析式与定义域;
(2) 函数f(x)能否由y=log3x的图象平移变换得到;
(3) 求f(x)在[4,6]上的最大值、最小值.
19. 已知以函数f(x)=x3-x的图象上一点N(1,n)为切点的切线倾斜角为π4.
(1) 求、n的值;
(2) 是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)≤k-1995,对于x∈[-1,3]恒成立?若存在,求出最小的正整数k,否则请说明理由.
20.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当 时,车流速度 是车流密度 的一次函数.
(1)当 时,求函数 的表达式;
(2)当车流密度 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时) 可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)
21.已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.
(1) 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程;
(2) 设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时,求其最小值φ(a)的解析式;
2013届高中科数学高考复习辅导2参考答案
一、选择题:
1.【解析】选D.y=log2x-2的定义域满足log2x-2≥0,x>0,解这个不等式得x≥4.
2.【解析】选D.集合A中的元素是焦点在y轴上的椭圆上的所有点,集合B中的元素是指数函数y=2x图象上的所有点,作图可知A∩B中有两个元素,∴A∩B的子集的个数是22=4个,故选D.
3.【解析】选A.由f(x)≤0解得1≤x≤2,故=[1,2]; <0,即2x-3<0,即x<32,故N=(-∞,32),∁IN=[32,+∞).故∩∁IN=[32,2].
4.【解析】选B.当x<0时,则-x>0,∴f(-x)=2-x-x.又f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-(12)x+x.故选B.
5.【解析】选C.①当x=12时,x2<x,故该命题错误;②解x2≥x得x≤0或x≥1,故该命题正确;
③为真命题;④“x2≠1”的充要条件是“x≠1且x≠-1”.
6.选D
7.【解析】选D.令f(x)=x3-2x-1,则f(1)=-2<0,f(2)=3>0,f(32)=-58<0.故下一步可断定该根所在区间为(32,2).
8.【解析】选D.由已知b=1a,即ab=1,又N点(-a,b)在x-y+3=0上,
∴-a-b+3=0,即a+b=3.∴f(x)=abx2+(a+b)x-1=x2+3x-1=(x+32)2-134.
又x∈[-2,2),由图象知:f(x)in=-134,但无最大值.
9.C
二、填空题:
10.【解析】∵A={1,2,3,4,5,…,10},B={-3,2},∴A∩B={2}.即阴影部分表示的集合为{2}.
【答案】{2}
11.【解析】由lga+lgb=0⇒ab=1⇒b=1a,所以g(x)=-a-x,故f(x)与g(x)关于原点对称.
【答案】原点
12【答案】3或4
13.【解析】选D.由f(2+x)=f(2-x)可得函数f(x)的对称轴为x=2,故a=f(1)=f(3),
c=f(4), .又由x∈(-∞,2)时,(x-2)f′(x)>0,可知f′(x)<0,即f(x)在(-∞,2)上是减函数,所以f(x)在(2,+∞)上是增函数于是f(4)>f(3)>f( ),即c>a>b.故选D.
14.【答案】
15.【解析】①由定义知:-12<x-{x}≤12,∴0≤x-{x}≤12 ∴f(x)的值域为[0,12],
∴①对,②对,③对,④错. 【答案】①②③
三、解答题:
16.【解】(1)A={xx2<4}={x-2<x<2},B={x1<4x+3}={xx-1x+3<0}={x-3<x<1},
A∩B={x-2<x<1}.
(2)因为2x2+ax+b<0的解集为B={x-3<x<1},所以-3和1为2x2+ax+b=0的两根.
故-a2=-3+1b2=-3×1,所以a=4,b=-6.
17.【解】(1)f′(x)=3kx2-6(k+1)x,又∵f′(4)=0,∴k=1.
(2)由(1)得f(x)=x3-6x2+2,∴f′(t)=3t2-12t.
∵当-1<t<0时,f′(t)>0;当0<t<1时,f′(t)<0,且f(-1)=-5,f(1)=-3,∴f(t)≥-5.
∵2x2+5x+a≥8a-258,∴8a-258≤-5,解得a≤-158.
18.【解】(1)由图象中A、B两点坐标得2a+b=35a+b=9,解得a=2b=-1.故f(x)=log3(2x-1),定义域为(12,+∞).
(2)可以.由f(x)=log3(2x-1)=log3[2(x-12)]=log3(x-12)+log32,
∴f(x)的图象是由y=log3x的图象向右平移12个单位,再向上平移log32个单位得到的.
(3)最大值为f(6)=log311,最小值为f(4)=log37.
19.【解】(1)f′(x)=3x2-1,f′(1)=tanπ4=1,∴3-1=1,∴=23.
从而由f(1)=23-1=n,得n=-13,∴=23,n=-13.
(2)存在.f′(x)=2x2-1=2(x+22)(x-22),令f′(x)=0得x=±22.
在[-1,3]中,当x∈[-1,-22]时,f′(x)>0,f(x)为增函数,
当x∈[-22,22]时,f′(x)<0,f(x)为减函数,此时f(x)在x=-22时取得极大值.
当x∈[22,3]时,此时f′(x)>0,f(x)为增函数,比较f(-22),f(3)知f(x)ax=f(3)=15.
∴由f(x)≤k-1995,知15≤k-1995,∴k≥2010,即存在最小的正整数k=2010,
使不等式在x∈[-1,3]上恒成立.
20.本题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.
解析:(Ⅰ)由题意:当 时, ;当 时,设 ,显然 在 是减函数,由已知得 ,解得
故函数 的表达式为 =
(Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得
当 时, 为增函数,故当 时,其最大值为 ;
当 时, ,
当且仅当 ,即 时,等号成立.
所以,当 时, 在区间 上取得最大值 .
综上,当 时, 在区间 上取得最大值 ,
即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时.
21.【解】(1)f′(x)=12x,g′(x)=ax(x>0),由已知得x=alnx,12x=ax,解得a=e2,x=e2,
∴两条曲线交点的坐标为(e2,e).切线的斜率为k=f′(e2)=12e,
∴切线的方程为y-e=12e(x-e2).
(2)由条件知h(x)=x-alnx(x>0),∴h′(x)=12x-ax=x-2a2x,
①当a>0时,令h′(x)=0,解得x=4a2.∴当0<x<4a2时,h′(x)<0,h(x)在(0,4a2)上单调递减;
当x>4a2时,h′(x)>0,h(x)在(4a2,+∞)上单调递增.
∴x=4a2是h(x)在(0,+∞)上的惟一极值点,且是极小值点,从而也是h(x)的最小值点.
∴最小值φ(a)=h(4a2)=2a-aln(4a2)=2a[1-ln (2a)].
②当a≤0时,h′(x)=x-2a2x>0,h(x)在(0,+∞)上单调递增,无最小值.
故h(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)=2a[1-ln (2a)](a>0).
(3) 对(2)中的φ(a),证明:当a∈(0,+∞)时,φ(a)≤1.
(3)证明:由(2)知φ(a)=2a(1-ln 2-ln a),则φ′(a)=-2ln (2a).令φ′(a)=0,解得a=12.
当0<a<12时,φ′(a)>0,∴φ(a)在(0,12)上单调递增;
当a>12时,φ′(a)<0,∴φ(a)在(12,+∞)上单调递减.∴φ(a)在a=12处取得极大值φ(12)=1.
∵φ(a)在(0,+∞)上有且只有一个极值点,∴φ(12)=1也是φ(a)的最大值.
∴当a∈(0,+∞)时,总有φ(a)≤1.
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