湖北省部分重点中学2015届高三第一次联考数学理科试题一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑.1.已知两个集合，，则（ ）.A. B. C. D. 2.若是纯虚数，则=（ ）A. B. C. D. 3.已知命题:所有素数都是偶数，则是（ ）A.所有的素数都不是偶数 B.有些素数是偶数 C.存在一个素数不是偶数 D. 存在一个素数是偶数4.设，函数的导函数为，且是奇函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 5.三个实数成等差数列，首项是9，若将第二项加2、第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列，则的所有取值中的最小值是（ ）A. 1 B. 4 C. 36 D. 496.已知函数的定义域为，值域为.下列关于函数的说法：①当时，；②将的图像补上点，得到的图像必定是一条连续的曲线；③ 是上的单调函数；④的图象与坐标轴只有一个交点.其中正确命题的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 47.等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则其公比为 （ ）A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 109.设的内角A，B，C所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且，，则为（ ）A．4:3:2 B．5:4:3 C．6:5:4 D．7:6:5【答案】C【解析】试题分析：，，又、、为连续的三个正整数，设，，，（),由于，则，即，，解得，，，，由正弦定理得，选C.考点：正弦定理、余弦定理、二倍角的正弦公式.10.在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有， 则 （ ）A. B. C. D. ，，故需要，，即，为的中点，又是边上的高，是等腰三角形，故有,选C.考点：共线向量，向量的数量积.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.11.设球的半径为时间的函数，若球的体积以均匀速度增长，则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为 .12. 在△ABC中，边 角，过作，且，则 .【答案】【解析】试题分析：依题意， ，由余弦定理得，，由三角形的面积公式得13.已知两个实数满足且，则三个数从小到大的关系是 （用“”表示）.考点：函数、与、及的图象性质.14.已知，各项均为正数的数列满足，若，则 .15.已知函数.如果存在实数，使函数，在处取得最小值，则实数的最大值为 .【答案】【解析】试题分析：依题意，，令，在区间上恒成立，即 ①三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分）已知函数.（1）求的最小正周期和最小值；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.17.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点.（1）若，求证：平面平面；（2）点在线段上，，若平面平面，且，求二面角的大小.，18.（本小题满分12分）设等差数列的前项和为．且．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列满足：，求数列的前项和．19.（本小题满分12分）已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如图所示，能听到声音，当且仅当A与B中有一个工作，C工作，D与E中有一个工作；且若D和E同时工作则有立体声效果. （1）求能听到立体声效果的概率；（2）求听不到声音的概率.（结果精确到0.01）20.（本小题满分13分）已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,右准线且．(1)求椭圆的标准方程；（2）动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与右准线相交于点，试探究在平面直角坐标系内是否存在点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．21.（本小题满分14分）设．（1）若，求最大值；（2）已知正数，满足.求证：；（3）已知，正数满足.证明: ．（2）构造函数，利用导数法证明在在上递增，在上递减.由于函数的极大值为，时，（3）利用数学归纳法证明如下：当时，命题显然成立；假设当时，命题成立，即当时，.则当，即当时，，又假设湖北省部分重点中学2015届高三第一次联考数学（理）试题
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