第7讲三角恒等变换、三角函数的图象与性质
重点:掌握三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用
难点:三角恒等变换及数形结合的应用
近两年高考考点:2010年:11题正余弦定理的应用
16题三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用
2011年:16题三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用
一、知识复习:
1.⑴角度制与弧度制的互化: 弧度 , 弧度, 弧度
⑵弧长公式: ;扇形面积公式: 。
2.三角函数定义:角 中边上任意一点 为 ,设 则:
3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦;
4.诱导公式记忆规律:“奇变偶不变,符号看象限”;
sin(2kπ+α)=________ , cos(2kπ+α)=________, tan(2kπ+α)=_________;
sin(-α)=_________ , cos(-α)=_________, tan(-α)=_________;
sin(π-α)=_________ , cos(π-α)=_________, tan(π-α)=_________;
sin(π+α)=________ , cos(π+α)=________, tan(π+α)=__________;
sin(2π-α)=_________ , cos(2π-α)=_________, tan(2π-α)=__________;
sin( -α)=_____ , cos( -α)=______, sin( +α)=_____ , cos( +α)=______,
sin( -α)=_____ , cos( -α)=______,sin( +α)=_____ ,cos( +α)=______,
5.同角三角函数的基本关系: , ;
6.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:① =
② = ③ = 。
④
7.二倍角公式:① ; =
②
, , ;
③ , = 。
8.常用降幂公式:
=__________, =__________, =__________, =___________.
=________ , =_________ ,
9.常用合一变形:
=__________________________.
=__________________ , =__________________ ,
=__________________ , =__________________ , =________________ , =_____________ .
10.三角函数的图像和性质
图像
定义域
值域
最小正周期
奇偶性
对称轴
对称中心
递增区间
递减区间
最大值
最小值
注意:⑴ 对称轴: ;对称中心: ;
⑵ 对称轴: ;对称中心: ;
二、体验高考
1.(2011东理6)若函数 (ω>0)在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,则ω=
A.3 B.2 C. D.
2.(2011全国新标理11)设函数 的最小正周期为 ,且 则
(A) 在 单调递减 (B) 在 单调递减
(C) 在 单调递增 (D) 在 单调递增
3.(2011辽宁理16)已知函数 =Atan( x+ )( ),y= 的部分图像如右图,则
4.(2011湖北理3)已知函数 ,若 ,则x的取值范围为
A. B.
C. D.
5.(2011江苏9)函数 是常数, 的部分图象如图所示,则f(0)=
6.(2011广东理16)已知函数
(1)求 的值;
(2)设 求 的值.
三、例题讲解
考向一:三角恒等变换及其求值
例1、已知 ,则
例2、(1).已知 . (I)求 的值; (II)求 的值。
(2). 已知 , 求 的值.
考向二:函数 的解析式及图象变换
例3:(1)(2011年浙江宁波模拟)设偶函数 ,其中 , 的部分图象如图所示。 为等腰直角三角形, ,L=1,则
A. B. C. D.
(2). (2011年揭阳一模)已知函数 的图象与 轴的两个相邻交点的距离等于 ,则为得到函数 的图象可以把函数 的图象上所有的点
A. 向右平移 ,再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原的2倍;
B. 向右平移 ,再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原的2倍;
C. 向左平移 ,再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原的 倍;
D. 向左平移 ,再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原的2倍.
例4:(2011年东潍坊一模)函数 (其中 )的部分图象如图所示。
(1)求 的解析式;
(2)设 ,求函数 在 上的最大值,并确定此时x的值。
考向三:三角函数的奇偶性与对称性
例5:(1)(2011年湖南长沙模拟)定义行列式运算a1 a2a3 a4=a1a4-a2a3.将函数f(x)=3 sinx1 cosx的图象向左平移n(n>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则n的最小值为________.
(2)(2011年安徽合肥质检)已知函数 的图象关于直线 对称,且 ,则 的最小值为
A.2 B.4 C.6 D.8
考向四:三角函数的周期性与单调性
例6:已知函数 在 时取得最大值,(1) 在 上的单调增区间为
A. B. C. D.
(2)若A=2,请画出 在 上的图象。
例7:已知 , , 。 设函数
(1)函数 的最小正周期
(2)函数 的单调区间;
(3)函数 的最大值及对应 的取值的集合,最小值及对应 的取值的集合
(4)当 时, 恒成立,求实数m的取值范围
四、巩固练习
1、已知函数 (其中 )的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 .
(Ⅰ)求 的解析式;(Ⅱ)当 ,求 的值域.
2、已知函数 (其中 , )的最大值为2,直线 、 是 图象的任意两条对称轴,且 的最小值为 .
⑴求 , 的值;⑵若 ,求 的值.
3、(2011广东省三校联考)
已知函数
(1)求 的值域;
(2)若 (x>0)的图象与直线 交点的横坐标由小到大依次是 ,求数列 的前2n项的和。
4.已知定义在区间 上的函数 的图象关于直线 对称,当
时,函数 ,其图象如图.
(1)求函数 在 的表达式;
(2)求方程 的解.
第7讲三角恒等变换、三角函数的图象与性质
教学重点:掌握三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用
教学难点:三角恒等变换及数形结合的应用
近两年高考考点:2010年:11题正余弦定理的应用
16题三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用
2011年:16题三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用
一、知识复习:
1.⑴角度制与弧度制的互化: 弧度 , 弧度, 弧度
⑵弧长公式: ;扇形面积公式: 。
2.三角函数定义:角 中边上任意一点 为 ,设 则:
3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦;
4.诱导公式记忆规律:“奇变偶不变,符号看象限”;
sin(2kπ+α)=________ , cos(2kπ+α)=________, tan(2kπ+α)=_________;
sin(-α)=_________ , cos(-α)=_________, tan(-α)=_________;
sin(π-α)=_________ , cos(π-α)=_________, tan(π-α)=_________;
sin(π+α)=________ , cos(π+α)=________, tan(π+α)=__________;
sin(2π-α)=_________ , cos(2π-α)=_________, tan(2π-α)=__________;
sin( -α)=_____ , cos( -α)=______, sin( +α)=_____ , cos( +α)=______,
sin( -α)=_____ , cos( -α)=______,sin( +α)=_____ ,cos( +α)=______,
5.同角三角函数的基本关系: , ;
6.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:① =
② = ③ = 。
④
7.二倍角公式:① ; =
②
, , ;
③ , = 。
8.常用降幂公式:
=__________, =__________, =__________, =___________.
=________ , =_________ ,
9.常用合一变形:
=__________________________.
=__________________ , =__________________ ,
=__________________ , =__________________ , =________________ , =_____________ .
10.三角函数的图像和性质
图像
定义域
值域
最小正周期
奇偶性
对称轴
对称中心
递增区间
递减区间
最大值
最小值
注意:⑴ 对称轴: ;对称中心: ;
⑵ 对称轴: ;对称中心: ;
二、体验高考
1.(2011东理6)若函数 (ω>0)在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,则ω=
A.3 B.2 C. D.
【答案】C
2.(2011全国新标理11)设函数 的最小正周期为 ,且 则
(A) 在 单调递减 (B) 在 单调递减
(C) 在 单调递增 (D) 在 单调递增
【答案】A
3.(2011辽宁理16)已知函数 =Atan( x+ )( ),y= 的部分图像如下图,则 .
【答案】
4.(2011湖北理3)已知函数 ,若 ,则x的取值范围为
A. B.
C. D.
【答案】B
5.(江苏9)函数 是常数, 的部分图象如图所示,则f(0)=
【答案】
6.(2011广东理16)已知函数
(3)求 的值;
(4)设 求 的值.
解:(1)
故
三、例题讲解
考向一:三角恒等变换及其求值
例1、(2011年安徽八校联考)已知 ,则
例2、(1).已知 . (I)求 的值; (II)求 的值。
(2). 已知 , 求 的值.
考向二:函数 的解析式及图象变换
例3:(1)(2011年浙江宁波模拟)设偶函数 ,其中 , 的部分图象如图所示。 为等腰直角三角形, ,L=1,则
A. B. C. D.
(2). (2011年揭阳一模)已知函数 的图象与 轴的两个相邻交点的距离等于 ,则为得到函数 的图象可以把函数 的图象上所有的点
A. 向右平移 ,再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原的2倍;
B. 向右平移 ,再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原的2倍;
C. 向左平移 ,再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原的 倍;
D. 向左平移 ,再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原的2倍.
6. 依题意知 ,故 ,故选A.
例4:(2011年东潍坊一模)函数 (其中 )的部分图象如图所示。
(3)求 的解析式;
(4)设 ,求函数 在 上的最大值,并确定此时x的值。
考向三:三角函数的奇偶性与对称性
例5:(1)(2011年湖南长沙模拟)定义行列式运算a1 a2a3 a4=a1a4-a2a3.将函数f(x)=3 sinx1 cosx的图象向左平移n(n>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则n的最小值为________.
解析:f(x)=3 sinx1 cosx=3cosx-sinx=2cos(x+π6),
图象向左平移n(n>0)个单位,
得f(x+n)=2cos(x+n+π6),则当n取得最小值56π时,函数为偶函数.
答案:56π
(2)(2011年安徽合肥质检)已知函数 的图象关于直线 对称,且 ,则 的最小值为
A.2 B.4 C.6 D.8
考向四:三角函数的周期性与单调性
例6:已知函数 在 时取得最大值,则 在 上的单调增区间为
A. B. C. D.
例7:(2011年广东六校联考)已知 , , 。
(5)函数 的最大值和最小正周期;
(6)函数 的单调递增区间。
四、巩固练习
1 、设函数
(1)若 ,求 ①函数 的单调区间;
②求最大值及对应 的取值的集合,求最小值及对应 的取值的集合
③ 画出函数在此范围内的图像
(2)当 时, 恒成立,求实数m的取值范围
2、已知函数 (其中 )的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 .
(Ⅰ)求 的解析式;(Ⅱ)当 ,求 的值域.
3、已知函数 (其中 , )的最大值为2,直线 、 是 图象的任意两条对称轴,且 的最小值为 .
⑴求 , 的值;⑵若 ,求 的值.
4、(2011广东省三校联考)
已知函数
(1)求 的值域;
(2)若 (x>0)的图象与直线 交点的横坐标由小到大依次是 ,求数列 的前2n项的和。
5.已知定义在区间 上的函数 的图象关于直线 对称,当
时,函数 ,其图象如图.
(1)求函数 在 的表达式;
(2)求方程 的解.
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