北京市朝阳区2015届高三上学期期末统一考试理科数学含答案

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试卷说明:

北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷(理工类) 2015.1(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.函数的定义域为 A. B. C. D. 2.点在以点为焦点的抛物线上,则 A. B. C.D.3.命题:;命题:,,则下列命题中为真命题的是A. B. C. D.4.△中,,,,则△的面积等于A. B. C.或 D.或5.如图所示程序框图,输出是.,则所有可能的取值为A. B. C. D. .已知正方形的四个顶点分别为,,,,点上运动,,设与交于点,则点的轨迹方程是A. B. C. D..,的夹角为,且,则的最小值为A. B. C. D.8.满足下面说法正确的是①当时,数列为递减数列;②当时,数列不一定有最大项; ③当时,数列为递减数列;④当为正整数时,数列必有两项相等的最大项.A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ②③第二部分(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.9.某校高学假期抽查100名同学时间绘频率分布直方图小时内的人数为_____.10.在各项均为正数的等比数列中,若,则 . 11.直线与圆相交于,两点,若,则实数的值是_____.12.一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 ;表面积是 .13.实数满足若恒成立,则实数的最大值是 .14.所有真约数(本身约数)的和等于它本身的叫做完全数;;.已经证明:若是质数,则是完全数,.请写出一个四位完全数 ;又,所以的所有正约数之和可表示为;,所以的所有正约数之和可表示为;按此规律,的所有正约数之和可表示为 .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.已知.()求的;(,求的值.第1次第2次第3次第4次第5次5855769288乙6582878595(Ⅰ)请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好?说明理由(不用计算);(Ⅱ)若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析,设抽到的两个成绩中,90分以上的个数为,求随机变量的分布列和期望.17.(本题满分14分)如图,在三棱锥中,平面,.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)设分别为的中点,点为△内一点,且满足,求证:∥面;(Ⅲ)若,,求二面角的余弦值.18.(本题满分13分)已知函数,.(Ⅰ)当时,求函数的极小值;(Ⅱ)若函数在上为增函数,求的取值范围.19.已知椭圆两焦点坐标分别为,,且经过点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)已知点,直线与椭圆交于两点.若△是以为直角顶点的等腰直角三角形,试求直线的方程.20.(本题满分13分)已知是正数, ,,.(Ⅰ)若成等差数列,比较与的大小;(Ⅱ)若,则三个数中,哪个数最大,请说明理由;(Ⅲ)若,,(),且,,的整数部分分别是求所有的值.北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学答案(理工类) 2015.1一、选择题题号12345678答案CCBDBAAC二、填空题题号91011121314答案三、解答题15.() , 又,所以当时,函数的.…… 6分(Ⅱ)由(Ⅰ)得, 所以.(舍)或..16.解:(Ⅰ)茎叶图如右图所示,由图可知,乙的平均成绩大于甲的平均成绩,且乙的方差小于甲的方差,因此应选派乙参赛更好. ……………… 6分(Ⅱ)随机变量的所有可能取值为.,,,随机变量的分布列是:. ……………… 13分17.证明:(Ⅰ)因为平面,平面, 所以. 又因为,且,所以平面.又因为平面,所以. ……………… 4分(Ⅱ)解法1:因为平面,所以,.又因为,所以建立如图所示的空间直角坐标系.设,,,则,,,,.又因为,所以.于是,,.设平面的一个法向量,则有 即 不妨设,则有,所以.因为,所以.又因为平面,所以∥平面. ……………… 9分解法2:取中点,连,则.由已知可得,则点在上.连结并延长交于,连.因为分别为的中点,所以∥,即为的中点.又因为为线段的中点,所以∥.又平面,平面,所以∥平面.……………… 9分(Ⅲ)由(Ⅱ)可知平面的一个法向量. 又因为面,所以面的一个法向量是. 又,由图可知,二面角为锐角, 所以二面角的余弦值为. ……………… 14分18. 解:(Ⅰ)定义域.当时,,.令,得.当时,,为减函数;当时,,为增函数.所以函数的极小值是. ……………… 5分(Ⅱ)由已知得.因为函数在是增函数,所以,对恒成立.由得,即对恒成立.设,要使“对恒成立”,只要.因为,令得.当时,,为减函数;当时,,为增函数.所以在上的最小值是.故函数在是增函数时,实数的取值范围是 …… 13分19.解:(Ⅰ)设椭圆标准方程为.依题意,所以.又,所以.于是椭圆的标准方程为. ……………… 5分(Ⅱ)依题意,显然直线斜率存在.设直线的方程为,则由得.因为,得. ……………… ①设,线段中点为,则于是.因为,线段中点为,所以.(1)当,即且时,,整理得. ………………②因为,,所以,整理得,解得或.当时,由②不合题意舍去.由①②知,时,.(2)当时,(?)若时,直线的方程为,代入椭圆方程中得.设,,依题意,若△为等腰直角三角形,则.即,解得或.不合题意舍去,即此时直线的方程为.(?)若且时,即直线过原点.依椭圆的对称性有,则依题意不能有,即此时不满足△为等腰直角三角形.综上,直线的方程为或或. ………………14分20.解:(Ⅰ)由已知得=.成等差数列,所以,则,因为,所以,即,则,即,当且仅当时等号成立. 4分(Ⅱ)解法1:令,,,依题意,且,所以.,即;且,即.且.三个数中,最大.,即.,所以,,.,,,所以,.在上为增函数,所以且.三个数中,最大.,,的整数部分分别是,则,所以.,则的整数部分是或.时,;当时,.时,,,的整数部分分别是,所以,,.,解得.,,所以此时.时,同理可得,,.,解得.,此时.时,同理可得,,,同时满足条件的不存在..11BOD5852755开始输出ia
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