北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（理工类） 2015.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．函数的定义域为 A． B． C． D． 2．点在以点为焦点的抛物线上，则 A． B． C．D．3．命题：；命题：，，则下列命题中为真命题的是A． B． C． D．4．△中，，，，则△的面积等于A． B． C．或 D．或5．如图所示程序框图，输出是．，则所有可能的取值为A． B． C． D． ．已知正方形的四个顶点分别为，，，，点上运动，，设与交于点，则点的轨迹方程是A． B． C． D．．，的夹角为，且，则的最小值为A． B． C． D．8．满足下面说法正确的是①当时，数列为递减数列；②当时，数列不一定有最大项； ③当时，数列为递减数列；④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项.A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．9．某校高学假期抽查100名同学时间绘频率分布直方图小时内的人数为_____．10．在各项均为正数的等比数列中，若，则 ． 11．直线与圆相交于,两点，若，则实数的值是_____．12．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ；表面积是 ．13．实数满足若恒成立，则实数的最大值是 ．14．所有真约数（本身约数）的和等于它本身的叫做完全数；；．已经证明：若是质数，则是完全数，.请写出一个四位完全数 ；又，所以的所有正约数之和可表示为；，所以的所有正约数之和可表示为；按此规律，的所有正约数之和可表示为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．已知．（）求的；（，求的值．第1次第2次第3次第4次第5次5855769288乙6582878595（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为，求随机变量的分布列和期望．17．（本题满分14分）如图，在三棱锥中，平面，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设分别为的中点，点为△内一点，且满足，求证：∥面；（Ⅲ）若，，求二面角的余弦值．18．（本题满分13分）已知函数，．（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）若函数在上为增函数，求的取值范围．19.已知椭圆两焦点坐标分别为,，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知点，直线与椭圆交于两点．若△是以为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线的方程．20．（本题满分13分）已知是正数， ，，．（Ⅰ）若成等差数列，比较与的大小；（Ⅱ）若，则三个数中，哪个数最大，请说明理由；（Ⅲ）若，，（），且，，的整数部分分别是求所有的值．北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学答案（理工类） 2015.1一、选择题题号12345678答案CCBDBAAC二、填空题题号91011121314答案三、解答题15．（） ， 又，所以当时，函数的.…… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得， 所以．（舍）或．．16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 6分（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为．，，，随机变量的分布列是：． ……………… 13分17．证明：（Ⅰ）因为平面，平面， 所以． 又因为，且，所以平面．又因为平面，所以． ……………… 4分（Ⅱ）解法1:因为平面，所以，．又因为，所以建立如图所示的空间直角坐标系．设，，，则，，，，．又因为，所以．于是，，．设平面的一个法向量，则有 即 不妨设，则有，所以．因为，所以．又因为平面，所以∥平面． ……………… 9分解法2：取中点，连，则.由已知可得,则点在上.连结并延长交于，连.因为分别为的中点，所以∥,即为的中点.又因为为线段的中点，所以∥.又平面,平面,所以∥平面．……………… 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面的一个法向量． 又因为面，所以面的一个法向量是． 又，由图可知，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． ……………… 14分18． 解：（Ⅰ）定义域．当时，，．令，得．当时，，为减函数；当时，，为增函数.所以函数的极小值是． ……………… 5分（Ⅱ）由已知得．因为函数在是增函数，所以，对恒成立．由得，即对恒成立．设，要使“对恒成立”，只要．因为，令得．当时，，为减函数；当时，，为增函数.所以在上的最小值是．故函数在是增函数时，实数的取值范围是 …… 13分19．解：（Ⅰ）设椭圆标准方程为．依题意，所以．又，所以．于是椭圆的标准方程为． ……………… 5分（Ⅱ）依题意，显然直线斜率存在.设直线的方程为，则由得．因为,得． ……………… ①设，线段中点为，则于是．因为，线段中点为，所以．（1）当，即且时，，整理得． ………………②因为，，所以，整理得，解得或．当时，由②不合题意舍去.由①②知，时，．（2）当时，（?）若时，直线的方程为，代入椭圆方程中得.设，,依题意，若△为等腰直角三角形，则.即，解得或.不合题意舍去，即此时直线的方程为.（?）若且时，即直线过原点.依椭圆的对称性有,则依题意不能有,即此时不满足△为等腰直角三角形.综上，直线的方程为或或. ………………14分20．解：（Ⅰ）由已知得=．成等差数列，所以，则，因为，所以，即，则，即，当且仅当时等号成立． 4分（Ⅱ）解法1：令，，，依题意，且，所以．，即；且，即．且．三个数中，最大．，即．，所以，，．，，，所以，．在上为增函数，所以且．三个数中，最大．，，的整数部分分别是，则，所以．，则的整数部分是或．时，；当时，．时，，，的整数部分分别是，所以，，．，解得．，，所以此时．时，同理可得，，．，解得．，此时．时，同理可得，，，同时满足条件的不存在．．11BOD5852755开始输出ia
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