2013届全国高校自主招生数学模拟试题(附答案)

编辑: 逍遥路 关键词: 高三 来源: 高中学习网


2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二

一、填空题(64分)
1.设集合 ,若 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 ,则集合 .
2.函数 的值域为 .
3.设 为正实数, , ,则 .
4.如果 , ,那么 的取值范围是 .
5.现安排7名同学去参加5个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为 .(用数字作答)
6.在四面体 中,已知 , , ,则四面体 的外接球的半径为 .
7.直线 与抛物线 交于 两点, 为抛物线上的一点, ,则点 的坐标为 .
8.已知 C ,则数列 中整数项的个数为 .
二、解答题(56分)
9.(16分)设函数 ,实数 满足 , ,求 的值.

10.(20分)已知数列 满足: R且 ,
N .
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 ,试比较 与 的大小.


11.(20分)作斜率为 的直线 与椭圆 : 交于 两点(如图所示),且 在直线 的左上方.
(1)证明:△ 的内切圆的圆心在一条定直线上;
(2)若 ,求△ 的面积.

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二
参考答案
1. . 提示:显然,在 的所有三元子集中,每个元素均出现了3次,所以

故 ,于是集合 的四个元素分别为5-(-1)=6,5-3=2,5-5=0,5-8=-3,因此,集合 .
2. . 提示:设 ,且 ,则

设 ,则 ,且 ,所以 .

3.-1. 提示:由 ,得 .又


. ①
于是
. ②
再由不等式①中等号成立的条件,得 .与②联立解得 或
故 .
4. . 提示:不等式

等价于
.
又 是 上的增函数,所以 ,故
Z).
因为 ,所以 的取值范围是 .
5.15000. 提示:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形:
(1)有一个项目有3人参加,共有 种方案;
(2)有两个项目各有2人参加,共有 种方案;
所以满足题设要求的方案数为 .

6. . 提示:设四面体 的外接球球心为 ,则 在过△ 的外心 且垂直于平面 的垂线上.由题设知,△ 是正三角形,则点 为△ 的中心.设 分别为 的中点,则 在 上,且 , .
因为 ,设 与平面 所成角为 ,可求得 .
在△ 中, .
由余弦定理得

故 .四边形 的外接圆的直径

故球 的半径 .
7. 或 .提示: 设 ,由 得 ,则 , .
又 ,所以


因为 ,所以 ,即有







显然 ,否则 ,则点 在直线 上,从而点 与点 或点 重合.所以 ,解得 .
故所求点 的坐标为 或 .

8.15. 提示: C .
要使 为整数,必有 均为整数,从而 .
当 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时, 和 均为非负整数,所以 为整数,共有14个.
当 时, C ,在C 中, 中因数2的个数为

同理可计算得 中因数2的个数为82, 中因数2的个数为110,所以C 中因数2的个数为 ,故 是整数.
当 时, C ,在C 中,同样可求得 中因数2的个数为88, 中因数2的个数为105,故C 中因数2的个数为 ,故 不是整数.
因此,整数项的个数为 .

9.因为 ,所以

所以 或 ,又因为 ,所以 ,所以 .
又由 有意义知 ,从而

于是

所以

从而



所以

故 .解得 或 (舍去).
把 代入 解得 .
所以 , .

10.(1)由原式变形得



记 ,则 , .
又 ,从而有

故 ,于是有 .
(2)



显然在 时恒有 ,故 .

11.(1)设直线 : , .
将 代入 中,化简整理得

于是有 , . 则

上式中,
分子



从而, .
又 在直线 的左上方,因此, 的角平分线是平行于 轴的直线,所以△ 的内切圆的圆心在直线 上.
(2)若 时,结合(1)的结论可知 .
直线 的方程为: ,代入 中,消去 得

它的两根分别是 和 ,所以 ,即 .所以

同理可求得 .
所以




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