2013年高考数学总复习 10-7 二项式定理(理)但因为测试 新人教B版
1.(2011•三门峡模拟)若二项式(x－2x)n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为(　　)
A．6　　　　B．10　　　　
C．12　　　　D．15
[答案]　C
[解析]　∵T5＝C4n(x)n－4•(－2x)4＝24•C4nxn－122 是常数项，∴n－122＝0，∴n＝12.
2．(2011•北京模拟)(x2－1x)n的展开式中，常数项为15，则n＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案]　D
[解析]　Tr＋1＝Crn(x2)n－r•(－1x)r
＝(－1)r•Crnx2n－3r，令2n－3r＝0得，r＝2n3，
∴n能被3整除，结合选项，当n＝3时，r＝2，此时常数项为(－1)2•C23＝3，不合题意，当n＝6时，r＝4，常数项为(－1)4C46＝15，∴选D.
3．(2011•烟台月考) 如果(3x－13x2)n的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x3的系数是(　　)
A．7 B．－7
C．21 D．－21
[答案]　C
[解析]　∵2n＝128，∴n＝7，
∴Tr＋1＝Cr7(3x)7－r•(－13x2)r
＝(－1)r•37－r•Cr7•x7－5r3 ，令7－5r3＝－3得r＝6，
∴1x3的系数为(－1)6•3•C67＝21.
4．(2011 •重庆理，4)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
[答案]　B
[解析]　展开式通项：Tr＋1＝Crn(3x)r＝3rCrnxr
由题意：35C5n＝36C6n即C5n＝3C6n，
∴n！5！n－5！＝3•n！6！n－6！
∴1n－5＝36
∴n＝7.选B.
5．(2011•银川模拟)在(x2－13x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是(　　)
A．－7 B．7
C．－28 D．28
[答案]　B
[解析]　由条件知n＝8，∴Tr＋1＝Cr8(x2)8－r•(－13x)r
＝(－1)r•2r－8•Cr8•x8－4r3
令8－4r3＝0得，r＝6，
∴展开式的常数项为(－1)6•26－8•C68＝7.
6．(2011•河北石家庄一模)多项式x10＝a0＋a1(x－1)＋a2•(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为(　　)
A．10 B．45
C．－9 D．－45
[答案]　B
[解析]　x10＝[1＋(x－1)]10＝1＋C110(x－1)＋C210(x－1)2＋…＋C1010(x－1)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10对任意实数x都成立，∴a8＝C810＝C210＝45.
7．(2011•广东理，10)x(x－2x)7的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答)
[答案]　84
[解析]　x4的系数，即(x－2x)7展开式中x3的系数，
Tr＋1 ＝Cr7•x7－r•(－2x)r
＝(－2)r•Cr7•x7－2r，
令7－ 2r＝3得，r＝2，
∴所求系数为(－2)2C27＝84.
8．(2011•广东六校联考)若(x－a)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，且a5＝56，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝________.
[答案]　256
[解析]　(x－a)8的展开式的通项公式为
Tr＋1＝Cr8•x8－r•(－a)r＝(－1)rCr8•ar•x8－r，
令8－r＝5，则r＝3，
于是a5＝(－1)3C38•a3＝56，解得a＝－1，
即(x＋1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28＝256.
9．若x2＋1ax6的二项展开式中，x3的系数为52，则二项式系数最大的项为________．
[答案]　52x3
[解析]　∵Tr＋1＝Cr6(x2)6－r1axr＝Cr6a－rx12 －3r，
令12－3r＝3，得r＝3，∴C36a－3＝52，解得a＝2.
故二项式系数最大的项为T4＝C36(x2)3(12x)3＝52x3.
10．(2011•上海十三校第二次联考)在二项式(x＋3x)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝________.
[答案]　3
[解析 ]　由题意可知，B＝2n，A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，∴2n＝8，∴n＝3.

11.已知xy<0，且x＋y＝1，而(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，那么x的取值范围是(　　)
A.－∞，15 B.45，＋∞
C．(1，＋∞) D.－∞，－45
[答案]　B
[解析]　由题设条件知，C 19x8y≤C29x7y2，
∵xy<0，∴x≥4y，
∵x＋y＝1，∴x≥4(1－x)，∴x≥45.
12．(2011•新标全国理，8)(x＋ax)(2x－1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(　　)
A．－40 B．－20
C．20 D．40
[答案]　D
[解析]　因(x＋ax)(2x－1x)5的展开式中各项系数和为2，即令x＝1时，(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1.
∵(2x－1x)5展开式的通项为Tr＋1＝Cr5•(2x)5－r•(－1x)r＝(－1)r•25－r•Cr5•x5－2r，当5－2r＝－1或1时r＝3 或2，此时展开式为常数项，∴展开式的常数项为(－1)3•25－3•C35＋(－1)2•25－2•C25＝40.
13．(2011•安徽宣城模拟)在(x－2)5(2＋y)4的展开式中x3y2 的系数为________．
[答案]　480
[解析]　(x－2)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cr5x5－r(－2)r，
令5－r＝3得r＝2，得x3的系数C25(－2)2＝40；
(2＋y)4的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr4(2)4－ryr，
令r＝2得y2的系数C24(2)2＝12，
于是展开式中x3y2的系数为40×12＝480.
14．在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数是________．
[答案]　－15
[解析]　从4个因式中选取x，从余下的一个因式中选取常数，即构成x4项，即－5x4 －4x4－3x4－2x4－x4，所以x4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15.
15．(2011•安徽理，12)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.
[答案]　0
[解析]　a10＝C1021(－1)11＝－C1021，a11＝C1121(－1)10＝C1021，所以a10＋a11＝C1121－C1021＝C1021－C1021＝0.
16．已知数列{an}满足an＝n•2n－1(n∈N*)，是否存在等差数列{bn}，使an＝b1C1n＋b2 C2n＋b3C3n＋…＋bnCnn对一切正整数n成立？并证明你的结论．
[解析]　假设等差数列{bn}使等式n•2n－1＝b1C1n＋b2C2n＋b3C3n＋…＋bnCnn对一切正整数n成立，
当n＝1时，得1＝b1C11，∴b1＝1，当n＝2时，得4＝b1C12＋b2C22，∴b2＝2，当n＝3时，得12＝b1C13＋b2C23＋b3C33，∴b3＝3，可猜想bn＝n时，n•2n－1＝C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn.
∵kCkn＝k•n！k！n－k！
＝n •n－1！k－1！n－k！＝nCk－1n－1.
∴C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn＝n(C0n－1＋C1n－1＋…＋Cn－1n－1)＝n•2n－1.故存在等差数列{bn}(bn＝n)，使已知等式对一切n∈N*成立．

1．(2010•浙江嘉兴质检)若(x＋1)5＝a5(x－1)5＋…＋a1(x－1)＋a0，则a1的值为(　　)
A．80 B．40
C．20 D．10
[答案]　A
[解析]　由于x＋1＝x－1＋2，因此(x＋1)5＝[(x－1)＋2]5，故展开式中x－1的系数为C4524＝80.
2．(2011•辽宁沈阳质检)若(3x－1x)n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为(　　)
A．－5 B．5
C．－405 D．405
[答案]　C
[解析]　令x＝1得2n＝32，所以n＝5，
于是(3x－1x)5展开式的通项为
Tr＋1＝(－1)rCr5(3x)5－r(1x)r＝(－1)rCr535－rx5－2r，
令5－2r＝3，得r＝1，
于是展开式中含x3的项的系数为
(－1)1C1534＝－405，故选C.
3．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[答案]　A
[解析]　依题意，令x＋2＝1，等式右边为a0＋a1＋a2＋…＋a11.把x＝－1代入等式左边，得[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝2×(－1)9＝－2，即a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.
4．若(2x＋3)3＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3，则a0＋a1＋2a2＋3a3＝________.
[答案]　5
[解析]　法1：令x＝－2得a0＝－1.
令x＝0得27＝a0＋2a1＋4a2＋8a3.
因此a1＋2a2＋4a3＝14.
∵C03(2x )3•30＝a3•x3.
∴a3＝8.
∴a1＋2a2＋3a3＝14－a3＝6.
∴a0＋a1＋2a2＋3a3＝－1＋6＝5.
法2：由于2x＋3＝2(x＋2)－1，故(2x＋3)3＝[2(x＋2)－1]3
＝8(x＋2)3－4C13(x＋2)2＋2C23(x＋2)－1，
故a3＝8，a2＝－12，a1＝6，a0＝－1.
故a0＋a1＋2a2＋3a3＝－1＋6－24＋24＝5.
5．(2010•重庆中学)已知x2＋ax6展开式中x6项的系数为60，其中a是小于零的常数，则展开式中各项的系数之和是________．
[答案]　1
[解析]　x2＋ax6展开式中的第r＋1项
Tr＋1＝Cr6(x2)6－r•axr＝arCr6x12－3r，
令12－3r＝6得，r＝2，∴a2C26＝60，∴a2＝4.
∵a<0，∴a＝－2，
令x＝1得展开式各项系数之和为1＋－216＝1.
6．(2010•聊城市模拟)将1－1x2n(n∈N*)的展开式中x－4的系数记为an，则1a2＋1a3＋…＋1a2010＝________.
[答案]　20091005
[解析]　第r＋1项Tr＋1＝Crn•－1x2r
＝(－1)rCrnx－2r，令－2r＝－4，∴r＝2，
∴an＝(－1)2C2n＝nn－12，
∴1a2＋1a3＋…＋1a2010＝21×2＋22×3＋…＋22009×2010
＝2×1－12＋12－13＋…＋12009－12010
＝2×1－12010＝20091005.


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