教案部分
16．6 用动量概念表示牛顿第二定律

【教学目标】
（一）知识与技能
1．理解动量定理的确切含义和表达式，知道动量定理适用于变力。
2．会用动量定理解释有关物理现象，并能掌握一维情况下的计算问题。
（二）过程与方法
运用牛顿运动定律和运动学公式推导出动量定理表达式。
（三）情感、态度与价值观
通过运用所学知识推导新的规律，培养学生学习的兴趣。激发学生探索新知识的欲望。
【教学重点】
理解动量定理的确切含义和表达式
【教学难点】
会用动量定理解释有关物理现象，并能掌握一维情况下的计算问题
【教学方法】
教师启发、引导，学生讨论、交流。
【教学用具】
生鸡蛋、铺有较厚的海绵垫的白铁桶、细线、金属小球、橡皮筋、铁架台等，投影片，多媒体辅助教学设备
【时安排】
1 时
【教学过程】
（一）引入新
小实验引入新：
演示实验1：鸡蛋落地
【演示】事先在一个白铁桶的底部垫上一层海绵（不让学生知道），让一个鸡蛋从一米多高的地方下落到白铁桶里，事先让学生推测一下鸡蛋的“命运”，然后做这个实验。结果发现并没有象学生想象的那样严重：发现鸡蛋不会被打破！
演示实验2：缓冲装置的模拟
【演示】用细线悬挂一个重物，把重物拿到一定高度，释放后重物下落可以把细线拉断，如果在细线上端拴一段皮筋，再从同样的高度释放，就不会断了。
【让学生在惊叹中开始新内容】
在日常生活中，有不少这样的事例：跳远时要跳在沙坑里；跳高时在下落处要放海绵垫子；从高处往下跳，落地后双腿往往要弯曲；轮船边缘及轮渡的码头上都装有橡皮轮胎等，这样做的目的是为了什么呢？而在某些情况下，我们又不希望这样，比如用铁锤钉钉子。这些现象中的原因是什么呢？通过我们今天的学习探究其中的奥秘。
（二）进行新
1．用动量概念表示牛顿第二定律
师：给出问题
假设一个物体在恒定的合外力作用下，做匀变速直线运动，在t时刻初速度为v，在t′时刻的末速度为v′，试推导合外力的表达式。
学生：用牛顿第二定律F=ma以及匀变速直线运动的公式自己推导。
（教师巡回指导，及时点拨、提示）
推导过程：如图所示，由牛顿第二定律得，物体的加速度
合力F=ma
由于 ，
所以， （1）
结论：上式表示，物体所受合外力等于物体动量的变化率。这就是牛顿第二定律的另一种表达式。
2．动量定理
教师：将（1）式写成 （2）
（师生讨论上式的物理意义）
总结：表达式左边是物体从t时刻到t′时刻动量的变化量，右边是物体所受合外力与这段时间的乘积。（2）式表明，物体动量的变化量，不仅与力的大小和方向有关，还与时间的长短有关，力越大、作用时间越长，物体动量的变化量就越大。 这个量反映了力对时间的积累效应。
教师（讲解）：物理学中把力F与作用时间的乘积，称为力的冲量，记为I，即
，单位：N•s，读作“牛顿秒”。
将（2）式写成 （3）
（3）式表明，物体动量的变化量等于物体所受合外力的冲量，这个结论叫做动量定理。
讨论：如果物体所受的力不是恒力，对动量定理的表达式应该怎样理解呢？
教师：引导学生选修3－5教材24页第一段，理解动量定理的过程性。
总结：尽管动量定理是根据牛顿第二定律和运动学的有关公式在恒定合外力的情况下推导
出的。可以证明： 动量定理不但适用于恒力，也适用于随时间变化的变力。对于变力情况，动量定理中的F应理解为变力在作用时间内的平均值。
在实际中我们常遇到变力作用的情况，比如用铁锤钉钉子，球拍击乒乓球等，钉子和乒乓球所受的作用力都不是恒力，这时变力的作用效果可以等效为某一个恒力的作用，则该恒力就叫变力的平均值，如图所示，是变力与平均力的F-t图象，其图线与横轴所围的面积即为冲量的大小，当两图线面积相等时，即变力与平均力在t0时间内等效。
利用动量定理不仅可以解决匀变速直线运动的问题，还可以解决曲线运动中的有关问题，将较难计算的问题转化为较易计算的问题。
3．动量定理的方向性
例如：匀加速运动合外力冲量的方向与初动量方向相同，匀减速运动合外力冲量方向与初动量方向相反，甚至可以跟初动量方向成任何角度。在中学阶段，我们仅限于初、末动量的方向、合外力的方向在同一直线上的情况（即一维情况），此时公式中各矢量的方向可以用正、负号表示，首先要选定一个正方向，与正方向相同的矢量取正值，与正方向相反的矢量取负值。
如图所示，质量为m的球以速度v向右运动，与墙壁碰撞后反弹的速度为v’，碰撞过程中，小球所受墙壁的作用力F的方向向左。若取向左为正方向，则小球所受墙壁的作用力为正值，初动量取负值，末动量取正值，因而根据动量定理可表示为Ft=p′一p=mv′一（一mv）=mv′十mv。此公式中F、v、v′均指该物理量的大小（此处可紧接着讲本上的例题）。
小结：公式Ft= p′一P=△p是矢量式，合外力的冲量的方向与物体动量变化的方向相同。合外力冲量的方向可以跟初动量方向相同，也可以相反。
演示实验3：小钢球碰到坚硬大理石后返回
4．应用举例
下面，我们应用动量定理解释鸡蛋下落是否会被打破等有关问题。
鸡蛋从某一高度下落，分别与石头和海绵垫接触前的速度是相同的，也即初动量相同，碰撞后速度均变为零，即末动量均为零，因而在相互作用过程中鸡蛋的动量变化量相同。而两种情况下的相互作用时间不同，与石头碰时作用时间短，与海绵垫相碰时作用时间较长，由Ft=△p知，鸡蛋与石头相碰时作用大，会被打破，与海绵垫相碰时作用力较小，因而不会被打破。
接着再解释用铁锤钉钉子、跳远时要落入沙坑中等现象。在实际应用中，有的需要作用时
间短，得到很大的作用力而被人们所利用，有的需要延长作用时间（即缓冲）减少力的作用。请同学们再举些有关实际应用的例子。加强对周围事物的观察能力，勤于思考，一定会有收获。
接着再解释缓冲装置。
在实际应用中，有的需要作用时间短，得到很大的作用力，而被人们所利用；有的要延长作用时间而减少力的作用，请同学们再举出一些有关实际应用的例子，加强对周围事物的观察，勤于思考，一定会有收获。
（三）例题讲解
例 1、甲、乙两个物体动量随时间变化的图象如图所示，图象对应的物体的运动过程可能是 ( )
A．甲物体可能做匀加速运动
B．甲物体可能做竖直上抛运动
C．乙物体可能做匀变速运动
D．乙物体可能与墙壁发生弹性碰撞
[解析] a甲物体的动量随时间的变化图象是一条直线，其斜率Δp/Δt恒定不变，说明物体受到恒定的合外力作用；
b由图线可以看出甲物体的动量先减小然后反向增大。综合a、b知甲物体做匀减速直线运动，与竖直上抛运动类似，所以B选项正确。
c．乙物体的动量随时间变化规律是一条曲线，曲线的斜率先增大后减小。根据动量的变化率就是物体受到的合外力(F合=Δp/Δt)知，乙物体在运动过程中受到的合外力先增大后
减小。
d．由图线还可以看出，乙物体的动量先正方向减小到零，然后反方向增大。
综合c、d可知乙物体的运动是一个变加速运动，与水平面上的小球和竖直墙壁发生弹性碰撞相类似(弹性小球与竖直墙壁弹性碰撞的过程，小球受到的弹力随着形变量的增大而增大，随形变量的减小而减小，是一个变力，且小球与墙壁达到最大压缩量时，其速度等于零)，所以D选项正确。
[答案] BD
[变式训练]水平推力F1和F2分别作用在水平面上等质量的a、b两物体上，作用一段时间后撒去推力，物体将继续运动一段时间后停下，两物体的v—t图象如图所示，图中AB／／CD，
则 ( )
A．F1的冲量大于F2的冲量
B．Fl的冲量等于F2的冲量
C．两物体受到的摩擦力大小相等
D．两物体受到的摩擦力大小不等
[解析] 题目中给出了速度一时间图象，由图象告诉我们很多隐含条，如图象的斜率表示加速度的大小，我们可以根据斜率的大小关系确定加速度的大小关系，从而确定力的大小
关系，同时也可以从图上直接找出力作用时间的长短。
设F1、F2的作用时间分别为t1、t2，则由图知t1<t2，当只有摩擦力Ff作用时，由AB//CD知图线斜率相同，则加速度相同，由牛顿第二定律知，摩擦力Ff相同，故C选项正确，D
选项错误；对a，由动量定理得：Flt1—F2t2=mvA；对b同理：F2t2—Fft2=mvc。
由图象知，vA=vc，tl<t2，所以有mvA=mvc知，即F1t1—Fftl=F2t2—Fft2，因此F2t2>F1t1，即A、B选项均错。[答案] C．
例2、 蹦床是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目。一名质量为60 kg的运动员，从离水平网面3．2m高处自由下落，触网后沿竖直方向蹦回到离水平面5．0 m高处，已知运动员与网接触的时间为1．2s，求这段时间内网对运动员的平均作用力大小。(g取10m／s2)
[解析] 运动员从高处落下做自由落体运动，与弹性网接触受到向上的弹力后，再做竖直上抛运动。可以分过程应用动量定理求解，也可整个过程应用动量定理求解，须注意的是各矢量的方向要明确。
[答案] 方法一：运动员刚接触网时速度的大小 v1=8m／s，方向向下。
刚离网时速度的大小 v2=10m／s，方向向上。
在运动员与网接触的过程中，设网对运动员的作用力为F，以运动员为研究着对象，由动量定理，以向上为正方向，有
(F—mg)Δt=mv2—mv1。
解得F=1．5X103N，方向向上。
方法二：对运动员下降、与网接触、上升的全过程应用动量定理。
从3．2m高处自由下落的时间为t1=0．8s，
运动员弹回到5．0m高处所用的时间为t2=1s
整个过程中运动员始终受重力作用，仅在与网接触的t2=1．2s的时间内受到网对他向上的弹力FN的作用，对全过程应用动量定理，有
FNt3—mg(t1十t2+t3)=0，
则F=1 500N，方向向上。
[点评] 解答本题时，容易出现以下错误：(1)未能正确地进行受力分析、漏算重力，误认为所求的平均力就是合外力；
(2)没有正确理解动量定理的矢量性，误将动量的变化写为mv2—mvl o
例3、 将质量m=1kg的小球，从距水平地面高h=5m处，以v。=10 m／s的水平速度抛出，不计空气阻力，g取10m／s2，求：
(1)平抛运动过程中小球动量的增量ΔP；
(2)小球落地时的动量P，；
(3)飞行过程中小球所受的合外力的冲量I
[解析] 这是一道动量、动量的增量及冲量的综合题目，在曲线运动中求动量增量Δp可直接用公式Δp= p2—p1，的方法，也可以用动量定理求解，应视情况而定。
[答案] 画出小球运动轨迹的示意图，如图所示。由于小球做平抛运动，故有h=gt2/2，小球落地时间t=1s
(1)因为水平方向是匀速运动，v。保持不变，所以小球的速度增量Δv=Δvy=gt= 10m／s。
所以Δp=Δpy=mΔv=10kg•m／s。
(2)由速度合成知，落地速度v=10 m／s。
所以小球落地时的动量大小为p，=mv=10 kg•m／s。
由图知tanθ=1，则小球落地的动量的方向与水平方向的夹角为450，斜向下。
(3)小球飞行过程中只受重力作用，所以合外力的冲量为
I=mgt=10N•s，方向竖直向下。
[点评] 此题考查动量、动量的增量和冲量等基本概念，要注意各概念在曲线运动的求解方法及矢量的使用。
（四）堂小结
教师活动：让学生概括总结本节的内容。请一个同学到黑板上总结，其他同学在笔记本上总结，然后请同学评价黑板上的小结内容。
学生活动：认真总结概括本节内容，并把自己这节的体会写下、比较黑板上的小结和自己的小结，看谁的更好，好在什么地方。
点评：总结堂内容，培养学生概括总结能力。
教师要放开，让学生自己总结所学内容，允许内容的顺序不同，从而构建他们自己的知识框架。
（五）作业：“问题与练习”1～4题
★教学体会
思维方法是解决问题的灵魂，是物理教学的根本；亲自实践参与知识的发现过程是培养学生能力的关键，离开了思维方法和实践活动，物理教学就成了无之水、无本之木。学生素质的培养就成了镜中花，水中月。

16．6 用动量概念表示牛顿第二定律
东泰安英雄中学 谢龙
【目标引领】
（一）知识与技能
1．理解动量定理的确切含义和表达式，知道动量定理适用于变力。
2．会用动量定理解释有关物理现象，并能掌握一维情况下的计算问题。
（二）过程与方法
运用牛顿运动定律和运动学公式推导出动量定理表达式。
（三）情感、态度与价值观
通过运用所学知识推导新的规律，培养学生学习的兴趣。激发学生探索新知识的欲望。
【自学探究】
1、假设一个物体在恒定的合外力作用下，做匀变速直线运动，在t时刻初速度为v，在t′时刻的末速度为v′，试推导合外力的表达式。
2、冲量：
表达式：
3、动量定理：
【合作解疑】
1、光滑水平桌面上，一球在绳拉力作用下，做匀速圆周运动，已知球的质量为m，线速度为v，且绳长为L，试求球运动半圆周过程中绳拉力的冲量大小。

2、质量为50kg的体操运动员从高空落下，落到垫子前的速度为1．0 m／s，方向竖直向下，该运动员经垫子缓冲0．5s停下，求垫子对运动员的作用力?(g取10m／s2)

3、质量为m的钢球自高处落下，以速度v1碰地，竖直向上弹回，碰撞时间极短，离地的速度为v2。在碰撞过程中，地面对钢球冲量的方向和大小为 ( )
A．向下，m(v1—v2) B．向下，m(v1十v2)
C．向上，m(v1—v2) D．向上，m(v1+v2)

4、通过以上的三个题目讨论：在运用动量定理解题时应注意哪些问题？

【精讲点拨】
例 1、甲、乙两个物体动量随时间变化的图象如图所示，图象对应的物体的运动过程可能是 ( )
A．甲物体可能做匀加速运动
B．甲物体可能做竖直上抛运动
C．乙物体可能做匀变速运动
D．乙物体可能与墙壁发生弹性碰撞
[变式训练]水平推力F1和F2分别作用在水平面上等质量的a、b两物体上，作用一段时间后撒去推力，物体将继续运动一段时间后停下，两物体的v—t图象如图所示，图中AB／／CD，
则 ( )
A．F1的冲量大于F2的冲量
B．Fl的冲量等于F2的冲量
C．两物体受到的摩擦力大小相等
D．两物体受到的摩擦力大小不等
解题反思：
例2、 蹦床是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目。一名质量为60 kg的运动员，从离水平网面3．2m高处自由下落，触网后沿竖直方向蹦回到离水平面5．0 m高处，已知运动员与网接触的时间为1．2s，求这段时间内网对运动员的平均作用力大小。(g取10m／s2)

解题反思：运用动量定理解题的一般步骤？

例3、 将质量m=1kg的小球，从距水平地面高h=5m处，以v。=10 m／s的水平速度抛出，不计空气阻力，g取10m／s2，求：
(1)平抛运动过程中小球动量的增量ΔP；
(2)小球落地时的动量P，；
(3)飞行过程中小球所受的合外力的冲量I

【训练巩固】
1．质量为m的木箱在光滑的水平地面上，在与水平方向成θ角的恒定拉力F作用下由静止开始运动，经过时间t速度变为v，则在这段时间内拉力F与重力的冲量大小分别为( )
A．Ft，0 B．Ftcosθ，0 C．mv，mgt D．Ft，mgt
2．人从高处跳到低处时，为了安全，一般都是让脚尖先着地，且双腿要弯曲，这是为了
( )
A．减小冲量
B．使动量的变化减小
C．延长与地面的冲击时间，从而减小冲力
D．增大人对地的压强，起到安全作用
3．—质量为m的铁锤，以速度，竖直打在木桩上，经过Δt时间后停止，则在打击时间内，铁锤对木桩的平均冲力的大小是 ( )
A．mgΔt
B．mv/Δt
C．mv/Δt +mg
D．mv/Δt—mg
4．质量为60kg的建筑工人，不慎从高空跌下，由于弹性安全带的保护，使他悬挂起，已知弹性安全带的缓冲时间是1．2s，安全带长5m，g取10m／s2，则安全带所受的平均冲力的大小为 ( )
A．500N B．1 100N C．600N D．100N
【综合运用】
5．一辆轿车强行超车时，与另一辆迎面驶的轿车相撞，两车相撞后连为一体，两车车身因相互挤压，皆缩短了0．5m，据测算两车相撞前的速度约为30m／s，求：
(1)若人与车作用时间为1．0s，车祸中车内质量约60kg的人受到的平均冲力是多大?
(2)若此人系有安全带，安全带在车祸过程中与人体作用时间是1s，求这时人体受到的平均冲力为多大？

6．如图所示，长为L的轻绳一端系于固定点O，另一端系质
量为m的小球，将小球从O点正下方L/4处以一定初速度
水平向右抛出，经—定时间绳被拉直，以后小球将以O为
圆心在竖直平面内摆动。已知绳刚被拉直时，绳与竖直
方向成600角，求：
(1)小球水平抛出时的初速度。
(2)在绳被拉直的瞬间，圆心O受到的冲量。

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