第十三 排列组合与概率

一、基础知识
1．加法原理：做一事有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这事一共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
2．乘法原理：做一事，完成它需要分n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，……，第n步有mn种不同的方法，那么完成这事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
3．排列与排列数：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用 表示， =n(n-1)…(n-m+1)= ,其中m,n∈N,m≤n,
注：一般地 =1，0！=1， =n!。
4．N个不同元素的圆周排列数为 =(n-1)!。
5．组合与组合数：一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用 表示：

6．组合数的基本性质：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 。
7．定理1：不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解的个数为 。
[证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B中每一个解(x1,x2,…,xn),将xi作为第i个盒子中球的个数，i=1,2,…,n，便得到A的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n份，共有 种。故定理得证。
推论1 不定方程x1+x2+…+xn=r的非负整数解的个数为
推论2 从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合，其组合数为
8．二项式定理：若n∈N+,则(a+b)n= .其中第r+1项Tr+1= 叫二项式系数。
9．随机事：在一定条下可能发生也可能不发生的事叫随机事。在大量重复进行同一试验时，事A发生的频率 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事A发生的概率，记作p(A),0≤p(A)≤1.
10.等可能事的概率，如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事A包含的结果有m种，那么事A的概率为p(A)=
11.互斥事：不可能同时发生的两个事，叫做互斥事，也叫不相容事。如果事A1，A2，…，An彼此互斥，那么A1，A2，…，An中至少有一个发生的概率为
p(A1+A2+…+An)= p(A1)+p(A2)+…+p(An).
12．对立事：事A，B为互斥事，且必有一个发生，则A，B叫对立事，记A的对立事为 。由定义知p(A)+p( )=1.
13．相互独立事：事A（或B）是否发生对事B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事叫做相互独立事。
14．相互独立事同时发生的概率：两个相互独立事同时发生的概率，等于每个事发生的概率的积。即p(A•B)=p(A)•p(B).若事A1，A2，…，An相互独立,那么这n个事同时发生的概率为p(A1•A2• … •An)=p(A1)•p(A2)• … •p(An).
15.独立重复试验:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.
16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,这个事恰好发生k次的概率为pn(k)= •pk(1-p)n-k.
17．离散型随机为量的分布列：如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数ξ就是一个随机变量，ξ可以取的值有0,1,2,…,10。如果随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。
一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,xi,…,ξ取每一个值xi(i=1,2,…)的概率p(ξ=xi)=pi，则称表
ξx1x2x3…xi…
pp1p2p3…pi…
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列，称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望或平均值、均值、简称期望，称Dξ=(x1-Eξ)2•p1+(x2-Eξ)2•p2+…+(xn-Eξ)2pn+…为ξ的均方差，简称方差。 叫随机变量ξ的标准差。
18．二项分布：如果在一次试验中某事发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，这个事恰好发生k次的概率为p(ξ=k)= , ξ的分布列为
ξ01…xi…N
p

…
…

此时称ξ服从二项分布，记作ξ～B(n,p).若ξ～B(n,p)，则Eξ=np,Dξ=npq,以上q=1-p.
19.几何分布：在独立重复试验中，某事第一次发生时所做试验的次数ξ也是一个随机变量，若在一次试验中该事发生的概率为p，则p(ξ=k)=qk-1p(k=1,2,…)，ξ的分布服从几何分布，Eξ= ，Dξ= (q=1-p).
二、方法与例题
1．乘法原理。
例1 有2n个人参加收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？
[解] 将整个结对过程分n步，第一步，考虑其中任意一个人的配对者，有2n-1种选则；这一对结好后，再从余下的2n-2人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者，有2n-3种选择，……这样一直进行下去，经n步恰好结n对，由乘法原理，不同的结对方式有
(2n-1)×(2n-3)×…×3×1=
2．加法原理。
例2 图13-1所示中没有电流通过电流表，其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种？
[解] 断路共分4类：1）一个电阻断路，有1种可能，只能是R4；2）有2个电阻断路，有 -1=5种可能；3）3个电阻断路，有 =4种；4）有4个电阻断路，有1种。从而一共有1+5+4+1=11种可能。
3．插空法。
例3 10个节目中有6个演唱4个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱，有多少种不同的安排节目演出顺序的方式？
[解] 先将6个演唱节目任意排成一列有 种排法，再从演唱节目之间和前后一共7个位置中选出4个安排舞蹈有 种方法，故共有 =604800种方式。
4．映射法。
例4 如果从1，2，…，14中，按从小到大的顺序取出a1,a2,a3使同时满足：a2-a1≥3,a3-a2≥3，那么所有符合要求的不同取法有多少种？
[解] 设S={1,2,…,14}， ={1，2，…，10}；T={(a1,a2,a3) a1,a2,a3∈S,a2-a1≥3,a3-a2≥3}, ={( )∈ },若 ，令 ，则(a1,a2,a3)∈T,这样就建立了从 到T的映射，它显然是单射，其次若(a1,a2,a3)∈T,令 ，则 ，从而此映射也是满射，因此是一一映射，所以T= =120，所以不同取法有120种。
5．贡献法。
例5 已知集合A={1，2，3，…，10}，求A的所有非空子集的元素个数之和。
[解] 设所求的和为x，因为A的每个元素a，含a的A的子集有29个，所以a对x的贡献为29，又A=10。所以x=10×29.
[另解] A的k元子集共有 个，k=1,2,…,10，因此，A的子集的元素个数之和为 10×29。
6．容斥原理。
例6 由数字1，2，3组成n位数(n≥3)，且在n位数中，1，2，3每一个至少出现1次，问：这样的n位数有多少个？
[解] 用I表示由1，2，3组成的n位数集合，则I=3n，用A1，A2，A3分别表示不含1，不含2，不含3的由1，2，3组成的n位数的集合，则A1=A2=A3=2n，A1 A2=A2 A3=A1 A3=1。A1 A2 A3=0。
所以由容斥原理A1 A2 A3= =3×2n-3.所以满足条的n位数有I-A1 A2 A3=3n-3×2n+3个。
7．递推方法。
例7 用1，2，3三个数字构造n位数，但不允许有两个紧挨着的1出现在n位数中，问：能构造出多少个这样的n位数？
[解] 设能构造an个符合要求的n位数，则a1=3，由乘法原理知a2=3×3-1=8.当n≥3时：1）如果n位数的第一个数字是2或3，那么这样的n位数有2an-1；2）如果n位数的第一个数字是1，那么第二位只能是2或3，这样的n位数有2an-2，所以an=2(an-1+an-2)(n≥3).这里数列{an}的特征方程为x2=2x+2，它的两根为x1=1+ ,x2=1- ,故an=c1(1+ )n+ c2(1+ )n,由a1=3,a2=8得 ，所以
8．算两次。
例8 m,n,r∈N+，证明： ①
[证明] 从n位太太与m位先生中选出r位的方法有 种；另一方面，从这n+m人中选出k位太太与r-k位先生的方法有 种，k=0,1,…,r。所以从这n+m人中选出r位的方法有 种。综合两个方面，即得①式。
9．母函数。
例9 一副三色牌共有32张，红、黄、蓝各10张，编号为1，2，…，10，另有大、小王各一张，编号均为0。从这副牌中任取若干张牌，按如下规则计算分值：每张编号为k的牌计为2k分，若它们的分值之和为2004，则称这些牌为一个“好牌”组，求好牌组的个数。
[解] 对于n∈{1,2,…,2004},用an表示分值之和为n的牌组的数目，则an等于函数f(x)=(1+ )2•(1+ )3••••…•(1+ )3的展开式中xn的系数（约定x<1），由于f(x)= [ (1+ )(1+ )•…•(1+ )]3= 3 = 3。
而0≤2004<211，所以an等于 的展开式中xn的系数，又由于 = • =(1+x2+x3+…+x2k+…)[1+2x+3x2+…+(2k+1)x2k+…],所以x2k在展开式中的系数为a2k=1+3+5++(2k+1)=(k+1)2,k=1,2,…,从而，所求的“好牌”组的个数为a2004=10032=1006009.
10．组合数 的性质。
例10 证明： 是奇数(k≥1).
[证明] = 令i= •pi(1≤i≤k)，pi为奇数，则 ，它的分子、分母均为奇数，因 是整数，所以它只能是若干奇数的积，即为奇数。
例11 对n≥2,证明：
[证明] 1）当n=2时，22< =6<42；2）假设n=k时，有2k< <4k,当n=k+1时，因为
又 <4，所以2k+1< .
所以结论对一切n≥2成立。
11．二项式定理的应用。
例12 若n∈N, n≥2，求证：
[证明] 首先 其次因为 ，所以 2+ 得证。
例13 证明：
[证明] 首先，对于每个确定的k，等式左边的每一项都是两个组合数的乘积，其中 是(1+x)n-k的展开式中xm-h的系数。 是(1+y)k的展开式中yk的系数。从而 • 就是(1+x)n-k•(1+y)k的展开式中xm-hyh的系数。
于是， 就是 展开式中xm-hyh的系数。
另一方面， = = • = (xk-1+xk-2y+…+yk-1)，上式中，xm-hyh项的系数恰为 。
所以
12．概率问题的解法。
例14 如果某批产品中有a次品和b正品，采用有放回的抽样方式从中抽取n产品，问：恰好有k是次品的概率是多少？
[解] 把k产品进行编号，有放回抽n次，把可能的重复排列作为基本事，总数为(a+b)n（即所有的可能结果）。设事A表示取出的n产品中恰好有k是次品，则事A所包含的基本事总数为 •akbn-k，故所求的概率为p(A)=
例15 将一枚硬币掷5次，正面朝上恰好一次的概率不为0，而且与正面朝上恰好两次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。
[解] 设每次抛硬币正面朝上的概率为p，则掷5次恰好有k次正面朝上的概率为 (1-p)5-k(k=0,1,2,…,5)，由题设 ，且0<p<1，化简得 ，所以恰好有3次正面朝上的概率为
例16 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问：在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大？
[解] （1）如果采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：A1—2：0（甲净胜二局），A2—2：1（前二局甲一胜一负，第三局甲胜）. p(A1)=0.6×0.6=0.36,p(A2)= ×0.6×0.4×0.6=0.288.
因为A1与A2互斥，所以甲胜概率为p(A1+A2)=0.648.
(2)如果采用五局三胜制，则甲在下列三种情况下获胜：B1—3：0（甲净胜3局），B2—3：1（前3局甲2胜1负，第四局甲胜），B3—3：2（前四局各胜2局，第五局甲胜）。因为B1，B2，B2互斥，所以甲胜概率为p(B1+B2+B3)=p(B1)+p(B2)+p(B3)=0.63+ ×0.62×0.4×0.6+ ×0.62×0.42×0.6=0.68256.
由（1），（2）可知在五局三胜制下，甲获胜的可能性大。
例17 有A，B两个口袋，A袋中有6张卡片，其中1张写有0，2张写有1，3张写有2；B袋中有7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2。从A袋中取出1张卡片，B袋中取2张卡片，共3张卡片。求：（1）取出3张卡片都写0的概率；（2）取出的3张卡片数字之积是4的概率；（3）取出的3张卡片数字之积的数学期望。
[解]（1） ；（2） ；（3）记ξ为取出的3张卡片的数字之积，则ξ的分布为
ξ0248
p

所以
三、基础训练题
1．三边长均为整数且最大边长为11的三角形有_________个。
2．在正2006边形中，当所有边均不平行的对角线的条数为_________。
3．用1，2，3，…，9这九个数字可组成_________个数字不重复且8和9不相邻的七位数。
4．10个人参加乒乓球赛，分五组，每组两个人有_________种分组方法。
5．以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_________。
6．今天是星期二，再过101000天是星期_________。
7．由 展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有_________项。
8．如果凸n边形(n≥4)的任意三条对角线不共点，那么这些对角线在凸n边形内共有_________个交点。
9．袋中有a个黑球与b个白球，随机地每次从中取出一球（不放回），第k(1≤k≤a+b)次取到黑球的概率为_________。
10．一个箱子里有9张卡片，分别标号为1，2，…，9，从中任取2张，其中至少有一个为奇数的概率是_________。
11．某人拿着5把钥匙去开门，有2把能打开。他逐个试，试三次之内打开房门的概率是_________。
12．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，要将其中三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条的关灯方法种数是_________。
13．a,b,c,d,e五个人安排在一个圆桌周围就坐，若a,b不相邻有_________种安排方式。
14．已知i,m,n是正整数，且1<i≤m≤n。证明：（1） ；（2）(1+m)n>(1+n)m.
15.一项“过关游戏”规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所得到的点数之和大于2n，则算过关。问：（1）某人在这项游戏中最多能过几关？（2）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体）
四、高考水平训练题
1．若n∈{1,2,…,100}且n是其各位数字和的倍数，则这种n有__________个。
2．从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取3个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c的系数，能组成过原点，且顶点在第一或第三象限的抛物线有___________条。
3．四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中任取4个不共面的点，有_________种取法。
4．三个人传球，从甲开始发球，每次接球后将球传给另外两人中的任意一个，经5次传球后，球仍回到甲手中的传法有_________种。
5．一条铁路原有m个车站（含起点，终点），新增加n个车站（n>1），客运车票相应地增加了58种，原有车站有_________个。
6．将二项式 的展开式按降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项有_________个。
7．从1到9这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数，共可得到_________种不同的对数值。
8．二项式(x-2)5的展开式中系数最大的项为第_________项，系数最小的项为第_________项。
9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根被划分成长度相同的5节，每节用红、黄、蓝三色之一涂色，可以有_________种颜色不同的圆棒？（颠倒后相同的算同一种）
10．在1，2，…，2006中随机选取3个数，能构成递增等差数列的概率是_________。
11．投掷一次骰子，出现点数1，2，3，…，6的概率均为 ，连续掷6次，出现的点数之和为35的概率为_________。
12．某列火车有n节旅客车厢，进站后站台上有m(m≥n)名旅客候车，每位旅客随意选择车厢上车，则每节车厢都有旅客上车的概率是_________。
13．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产= ）
五、联赛一试水平训练题
1．若0<a<b<c<d<500，有_________个有序的四元数组（a,b,c,d）满足a+d=b+c且bc-ad=93.
2.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线倾斜角为锐角，这样的直线条数是_________。
3．已知A={0，1，2，3，4，5，6，7}，映射f:A→A满足：（1）若i≠j，则f(i)≠f(j)；（2）若i+j=7，则f(i)+f(j)=7，这样的映射的个数为_________。
4．1，2，3，4，5的排列a1,a2,a3,a4,a5具有性质：对于1≤i≤4,a1,a2,…,ai不构成1，2，…，i的某个排列，这种排列的个数是_________。
5．骰子的六个面标有1，2，…，6这六个数字，相邻两个面上的数字之差的绝对值叫变差，变差的总和叫全变差V，则全变差V的最大值为_________，最小值为_________。
6．某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行50场，上述三名选手之间比赛场数为_________。
7．如果a,b,c,d都属于{1,2,3,4}且a≠b,b≠c,c≠d, d≠a；且a是a,b,c,d中的最小值，则不同的四位数 的个数为_________。
8．如果自然数a各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”，将所有的吉祥数从小到大排成一列a1,a2,a3,…,若an=2005，则an=_________。
9．求值： =_________。
10．投掷一次骰子，出现点数1，2，…，6的概率均为 ，连续掷10次，出现的点数之和是30的概率为_________。
11．将编号为1，2，…，9这九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球，设周围上所有相邻两球的号码之差的绝对值之和为S，求S达到最小值的放法的概率（注：如果某种放法经旋转或镜面反射后可与另一放法重合，则认为是相同的放法）。
12．甲、乙两人轮流向同一目标射击，第一次甲射击，以后轮流射击，甲每次击中的概率为p(0<p<1)，乙每次击中的概率为q(0<q<1)，求甲、乙首先击中的概率各是多少？
13．设m,n∈N,0<m≤n，求证： …+
六、联赛二试水平训练题
1．100张卡片上分别写有数字1到100，一位魔术师把这100张卡片放入颜色分别是红色、白色、蓝色的三个盒子里，每个盒子里至少放入一张卡片。
一位观众从三个盒子中挑出两个，并从中各选取一张卡片，然后宣布这两张卡片上的两个数的和数，魔术师知道这个和数之后，便能够指出哪一个是没有被观众取出卡片的盒子。问：共有多少种放卡片的方法，使得这个魔术师总能够成功？（如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子，两种方法被认为是不同的）
2．设S={1,2,…,10}，A1，A2，…，Ak是S的k个子集合，满足：（1）Ai=5,i=1,2,…,k;（2）Ai Aj≤2,1≤i<j≤k，求k的最大值。
3．求从集合{1,2,…,n}中任取满足下列条的k个数{j1,j2,…,jk}的组合数；（1）1≤j1<j2<…<jk≤n；（2）jh+1-jh≥m,h=1,2,…,k-1,其中m>1为固定的正整数；（3）存在h0,1≤h0≤k-1，使得 ≥m+1.
4.设 ,其中S1，S2，…，Sm都是正整数且S1<S2<…<Sm，求证组合数 中奇数的个数等于2m。
5． 个不同的数随机排成图13-2所示的三角形阵，设k是从上往下第k行中的最大数，求1<2<…<n的概率。
6．证明：

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