第五 平面向量
【知识网络】

【学法点拨】
向量是沟通代数与几何的重要工具，它在日常生活、生产实践以及其他相关学科中有着广泛的应用．学习和理解向量有关知识时，建议：
1.注意比较与分析．向量的有关概念与我们学习过的有关知识既有联系又有区别，如：平行、相等、乘积等等．留心比较分析，可防止学习过的有关知识对现学知识的负面影响．
2.能画图时尽可能多画草图．数离形时少直观，形离数时欠入微．向量具有数与形的双重特征，加减法以三角形法则、平行四边形法则为背景，平行、垂直都对应着一个方程，数形结合考察问题，常常事半功倍．
3.学会联想与化归．向量知识是从日常生活、生产实践中抽象出的，求解向量综合题，常需要适当联想，并将应用问题数学化，复杂问题熟悉化、简单化．

第29 向量的基本运算
【考点指津】
1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量、相等向量等
概念．
2．掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则．
3掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算．
4．理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算．
【知识在线】
1．（2a＋8b）－（4a－2b）=
2．在△ABC中，BC→ =a， CA→ =b，则AB→ =
3．设a表示向东3km，b表示向北偏东30º走3km，则a＋b表示的意义为
4．画出不共线的任意三个向量，作图验证a－b－c=a－（b＋c）．
5．向量a、b满足a=8，b=10，求a＋b的最大值、最小值．
【讲练平台】
例1 化简以下各式：①AB→ +BC→ +CA→ ；②AB→ －AC→ ＋BD→ －CD→ ；③OA→ －OD→ ＋AD→ ；④NQ→ ＋QP→ ＋N→ －P→ ．结果为０的个数为　　　　　　　　　　　　　（　　　）
　　Ａ．１　　 Ｂ．２　　 Ｃ．３　　 Ｄ．４
　　分析　题设条中多处涉及首尾相接的两个向量求和以及同起点的两个向量相减，对此，我们可以运用向量加减的定义进行合并，当最终形式出现两相反向量之和或相等向量之差时，结果为０．
　　答　Ｄ．
点评 本题巩固了向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识．求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律．注意：AB→ = －BA→ ， +CB→ =AB→ ．
变题 作图验证 A1A2→ ＋A2A3→ ＋A3A4→ ＋…＋An－1An→ =A1An→ （n≥2，n∈N）．
例2 如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等分点，CA→ =3a，CB→ =2b，求CD→ ，CE→ ．
分析 本题中的已知向量都集中体现在三角形中．为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解．如已知CA→ 、CB→ 可求AB→ ，根据AD→ 、AE→ 、AB→ 均为共线向量，故又可求得AD→ 、DE→ 、．由CA→ 、AD→ 又可求CD→ ，由DE→ 、CD→ 又可求CE→ ．
解 AB→ =AC→ +CB→ = －3a+2b，
因D、E为AB→ 的两个三等分点，
故AD→ = AB→ =－a＋ b =DE→ ，
CD→ =CA→ ＋AD→ =3a－a＋ b =2a＋ b，
CE→ =CD→ ＋DE→ =2a＋ b－a＋ b=a＋ b．
点评 三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量．值得注意的是，向量的方向不能搞错．
当向量运算转化成基底向量的代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行．
例3 已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条是存在一对实数m、n，使PC→ =mPA→ +nPB→ ，且m+n=1．
分析 A、B、C 三点共线的一个充要条是存在 实数λ，使得AC→ =λAB→ ．很显然，题设条中向量表达式并未涉及AC→ 、AB→ ，对此，我们不妨利用 PC→ =PA→ ＋AC→ 转化，以便进一步分析求证．
证明 充分性，由PC→ =mPA→ ＋nPB→ ， m＋n=1， 得
PA→ ＋AC→ =mPA→ ＋n（PA→ ＋AB→ ）
=（m＋n）PA→ ＋nAB→ =PA→ ＋nAB→ ，
∴AC→ =nAB→ ．
∴A、B、C三点共线．
必要性:由A、B、C 三点共线知，存在常数λ，使得AC→ =λAB→ ，
即 AP→ +PC→ =λ（AP→ +PB→ ）．
PC→ =（λ－1）AP→ ＋λPB→ =（1－λ）PA→ ＋λPB→ ，
m=1－λ，n=λ，m＋n=1，
PC→ =mPA→ ＋nPB→ ．
点评 逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便，值得一提的是，一个向量拆成两个向量的和，一定要强化目标意识．
变题 在ΔABC 所在平面上有一点P ，满足PA→ ＋PB→ ＋PC→ =AB→ ，试确定点 P的位置．
答：P在 AC边上，且 P为 AC的一个三等分点（距 A点较近）
例4 （1）若点 O是三角形ABC的重心，求证：OA→ ＋OB→ ＋OC→ =0；（2）若 O为正方形ABCD的中心，求证：OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＋OD→ =0；（3）若O 为正五边形ABCDE 的中心，求证：OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＋OD→ ＋OE→ =0．
若 O为正n边形A1A2A3…A n的中心，OA1→ ＋OA2→ ＋OA3→ ＋…＋OAn→ =0 还成立吗？说明理由．
分析 本题四问构成一个题链，条相似，结论相似，求证方法可望相似．
正三角形、正方形性质特殊，我们十分熟悉，求证方法多，不容易发现那一种方更有利于推广，我们选定正五边形研究．
看着结论，联想一个相似的并且已经解决的问题，本例1的变题A1A2→ ＋A2A3→ ＋A3A4→ ＋…＋An－1An→ +AnA1→ =0 ，这里的向量首尾相接，我们能不能将OA→ 、OB→ 、OC→ 、OD→ 、OE→ 也转化成首尾相接的形式呢？运用向量相等的定义试试看．
解 证（3）以 A为起点作AB′→ =OB→ ，以 B′为起点作B′C′→ =OC→ ，以C′为起点作C′D′→ =OD→ ，以D′为起点作D′E′→ =OE→ ．
∵∠AOB=72º，
∴∠OAB′=108º．
同理∠AB′C′=∠B′C′D′=∠C′D′E′=108º，故∠D′E′A=108º．
OA→ =AB′→ =?B′C′→ =C′D′→ =D′E′→ ，
故 E′与 O重合，OAB′C′D′为正五边形．
OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＋OD→ ＋OE→ =OA→ ＋AB′→ ＋B′C′→ ＋C′D′→ ＋D′E′→ =0．
正三角形，正方形、正n边形可类似获证．
点评 本题不仅揭示了正多边形的一类共同性质，而且巩固了“以退为进”的数学思想．面对一般的问题，我们经常先考虑其特殊的情况；面对陌生的问题，经常去联想熟悉的模型．注意退是为了进，退到特殊简单情形后，要在求解中悟出一般的规律．如退到正方形情况，发现OA→ ＋OB→ 与OC→ ＋OD→ 正好互为相反向量，结论成立．这一方法却不具一般性．
【知能集成】
1．基础知识：向量加减的代数形式运算与几何形式运算．
2．基本技能：向量运算中的合二为一与拆一为二．
3．基本思想：向量表达式运算与几何式运算的相互结合思想，联想熟悉的类似的模型，化归转化思想．
【训练反馈】
1．下列各式正确的是： （ ）
A．?a－b?≤?a?+?b? B． a+b?>?a?+?b?
C．?a+b?>?a－b? D．? a－b?=?a?－?b?
2．下面式子中不能化简成AD→ 的是 （ ）
A．OC→ －OA→ ＋C D→ B．PB→ －DA→ －BP→
C．AB→ －DC→ ＋BC→ D．（AD→ －B→ ）＋（BC→ －C→ ）
3．正方形ABCD的边长为1，AB→ =a，BC→ =b，AC→ =c，则a＋b＋c、a－b＋c、－a－b＋ c 的摸分别等于 ．
4．设a、b 为已知向量，若3x＋4y=a，2x－3y=b ， 则 x= ．
y= ．
5．已知 e1、e2 不共线，AB→ =2e1＋ke2，CB→ =e1＋3e2，C D→ =2e1－e2，且A、B、D 三点在同一条直线上，求实数k ．
6．在正六边形ABCDEF中，O 为中心，若OA→ =a，OE→ =b，用a、b 表示向量OB→ ，OC→ ，OD→ ，结果分别为 （ ）
A．－b，－b－a，－a B． b，－a，b－a
C．－b，a，a－b D．－b，－a，a＋b
7． 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
8．已知P为△ABO 所在平面内的一点，满足OP→ = ，则P在 （ ）
A．∠AOB的平分线所在直线上 B． 线段AB的中垂线上
C． AB边所在的直线上 D． AB边的中线上．
9．设O是平面正多边形A1A2A3…A n 的中心，P
为任意点，求证：
PA1→ ＋PA2→ ＋PA3→ ＋…＋PAn→ =nPO→ ．
10．如图设O为△ABC内一点，PQ∥BC，且PQ→ ∶
BC→ =2∶3， OA→ =a，OB→ =b，OC→ =c，
则 OP→ ，OQ→ ．

11．P为△ABC所在平面内一点，PA→ ＋PB→ ＋PC→ =0 ，则P为△ABC的 （ ）
A．重心 B．垂心 C． 内心 D．外心
12．在四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点．求证：EF→ = （AB→
＋DC→ ）．
第30 向量的坐标运算
【考点指津】
1．理解平面向量的坐标表示法，知道平面向量和一对有序实数一一对应．
2．掌握平面向量的和、差、实数与向量积的坐标运算，能利用向量的坐标运算解题．
3．掌握平面向量平行的充要条的坐标表示，并利用它解决向量平行（共线）的有关问题，弄清向量平行和直线平行的区别．
【知识在线】
1．若向量a的起点坐标为 （－2，1），终点坐标为（2，－1），则向量a的坐标为

2．若O为坐标原点，向量a=（－3，4），则与a共线的单位向量为
3．已知a=（－1，2），b=（1，－2），则a＋b与a－b的坐标分别为 （ ）
A．（0，0），（－2，4） B．（0，0），（2，－4）
C．（－2，4），（2，－4） D．（1，－1），（－3，3）
4．若向量a=（x－2，3），与向量b=（1，y＋2）相等，则 （ ）
A.x=I，y=3， B． x=3，y=1
C． x=1，y=－5 D． x=5，y=－1
5．已知A（0，0），B（3，1），C（4，3），D（1，2），、N分别为DC、AB的中点．
（1）求证四边形ABCD为平行四边形；
（2）试判断A→ 、CN→ 是否共线？为什么？
【讲练平台】
例1 已知a=（1，2），b=（－3，2），当k为何值时，ka+b与a－3b平行？
分析 已知a、b的坐标，可求a－3b的坐标，ka＋b的坐标也可用含k的表达式表示．运用两向量平行的充要条x1y2－x2y1=0可求k值．
解 由已知a=（1，2），b=（－3，2）， 得
a－3b=（10，－4）， ka＋b=（k－3，2k＋2）．
因（ka＋b）∥（a－3b），
故10（2k＋2）＋4（k－3）=0．
得k=－ ．
点评 坐标形式给出的两个向量，其横坐标之和即为和向量的横坐标；其纵坐标之和即为和向量的纵坐标．实数与向量的积其横、纵坐标分别等于实数与该向量的横、纵坐标的积．
向量的平行用坐标形式表达即为一个方程．
例2 已知向量a=（ ， ），b=（－1，2），c=（2，－4）．求向量d，使2a，－b＋ c及4（c－a）与d四个向量适当平移后，能形成一个顺次首尾相接的封闭向量链．
分析 四个向量适当平移后，形成一个顺次首尾相接的封闭向量链，说明这四个向量之和为0．即四个向量的纵横坐标之和均为0．据此列出关于向量d（x，y）的方程组，不难求得x、y．
简解 设向量d的坐标为（x，y），由2a＋（－b＋ c）＋4（c－a）＋d=0，
可解得d=（－9，23）．
点评 数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求解的关键．本题以几何特征语言形式出现，最终落足点要变式成方程的语言求解，这一思想方法在求解向量问题时经常用到．
例3 已知平面上三点P（2，1），Q（3，－1），R（－1，3）．若点S与这三点可以为一个平行四边形的四个顶点，求S的坐标．
分析 平行四边形对边对应向量相等或相反，由此可求得S点的坐标．但由于题设四点构成四边形的四个顶点，那一组边是对边不明显，需要分类讨论．
简解 设S的坐标为（x，y）．
（1）当PQ→ 与RS→ 是一组对边时，
若PQ→ =RS→ ，则（3，－1）－（2，1）=（x＋1，y－3），
即 （1，－2）=（x＋1，y－3），得S点坐标为（0，1）．
若PQ→ =SR→ ，则S点坐标为（－2，5）．
（2）当PR→ 与SQ→ 是一组对边时，
若PR→ =SQ→ ，则S点的坐标为（6，－3）．
若PR→ =QS→ ，则S点的坐标为（0，1）．
（3）当PS→ 与RQ→ 是一组对边时，
若PS→ =RQ→ ，则S点的坐标为（6，－3）．
若PS→ =QR→ ，则S点的坐标为（－2，5）．
综上所述，S点坐标可以为（0，1），（6，－3），（－2，5）．
点评 本题求解需运用分类讨论思想．上述解法思路自然、条理清晰，但很显然不是最简方案，如何数形结合，避免重复劳动，读者不妨思考．
例4 向量PA→ =（k，12），PB→ =（4，5），PC→ =（10，k），当k为何值时，A、B、C三点共线．
分析 三点共线问题前一已涉及，A、B、C三点共线的充要条是AB→ =λBC→ ，本题所不同的是向量用坐标形式给出，对此，我们可以将坐标代入运算．
解 AB→ =PB→ －PA→ =（4－k，－7），BC→ = PC→ －PB→ =（6，k－5）．
当A、B、C三点共线时，存在实数λ，使得AB→ =λBC→ ，将坐标代入，得
4－k=6λ，且 －7=λ（k－5），
故（4－k）（k－5）=－42．
解得k=11，或k=－2．
点评 向量的几何运算与向量的坐标运算，可以从不同角度去求解（证）同一个问题．只不过两套工具各有适用范围，即便两套工具都适用，也可能繁简不一，应用时要注意前瞻性选择．
变题 求证：互不重合的三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）共线的充要条是（x2－x1）（y3－y1）=（x3－x1）（y2－y1）．
证明 必要性（略）．
充分性 若（x2－x1）（y3－y1）=（x3－x1）（y2－y1），由A、B、C互不重合，得（x2－x1）、（y3－y1）、（x3－x1）、（y2－y1）中至少有一个不为零，不妨设x3－x1≠0．令x2－x1=λ（x3－x1），若λ=0，则x2－x1=0，此时y2≠y1（否则A、B重合）．而已知等式不成立，故λ≠0．于是（x3－x1）（y2－y1）=λ（x3－x1）（y3－y1）．
因x3－x1≠0 ，故 （y2－y1）=λ（y3－y1）．
于是（x2－x1，y2－y1）=λ（x3－x1，y3－y1），即 AB→ =λAC→ ，且AC→ ≠0 ．
又因AB→ 与AC→ 有相同起点，所以A、B、C三点共线．
【知能集成】
基础知识：坐标形式的向量的加减运算，实数与向量坐标的积．
基本技能：向量平行的充要条及向量相等的充要条用坐标形式描述和应用．
基本思想：将向量等式转化成方程的思想；对几何图形的分类讨论思想．
【训练反馈】
1．若a=（2，3），b=（4，y－1），且a∥b，则y= （ ）
A．6 B．5 C．7 D． 8
2．已知点B的坐标为（m，n），AB→ 的坐标为（i，j），则点A的坐标为 （ ）
A．（m－i，n－j） B．（i－m，j－n）
C．（m＋i，n＋j） D．（m＋n，i＋j）
3．若A（－1，－1），B（1，3），C（x，5）三点共线，则x= ．
4．已知a=（5，4），b=（3，2），则与2a－3b平行的单位向量为
5．有下列说法
①已知向量PA→ =（x，y），则A点坐标为（x，y）；
②位置不同的向量，其坐标有可能相同；
③已知i=（1，0），j=（0，1），a=（3，4），a=3i－4j ；
④设a=（m，n），b=（p，q），则a=b的充要条为m=p，且n=q．
其中正确的说法是 （ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．下列各向量组中，不能作为表示平面内所有向量的基底的一组是 （ ）
A．a=（－1，2），b=（0，5） B．a=（1，2），b=（2，1）
C．a=（2，－1）b=（3，4） D．a=（－2，1），b=（4，－2）
7．设a=（－1，2），b=（－1，1），c=（3，－2），用a、b作基底，可将向量c表示为c=pa＋qb，则 （ ）
A．p=4， q=1 B．p=1， q=－4 C．p=0 ， q=4 D．p=1， q=4
8．设i=（1，0），j=（0，1），在平行四边形ABCD中，AC→ =4i＋2j，BD→ =2i＋6j，则AB→ 的坐标为 ．
9．已知3sinβ=sin（2α＋β），α≠kπ＋ ，β≠kπ，k∈z，a=（2，tan（α+β）），b=（1，tanα），求证：a∥b．
10．已知A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC与OB的交点P的坐标（x，y）．
11．已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），且OP→ =OA→ ＋tAB→ ．
（1）当t变化时，点P是否在一条定直线上运动？
（2）当t取何值时，点P在y轴上？
（3）OABP能否成为平行四边形？若能求出相应的t值；若不能，请说明理由．

第31 平面向量的数量积
【考点指津】
1．掌握平面向量的数量积及其几何意义．
2．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题．
3．掌握向量垂直的条．
【知识在线】
1．若?a?=4，?b?=3，a•b=－6，则a与b的夹角等于 （ ）
A．150º B 120º C．60º D．30 º
2．若a=（－2，1），b=（1，3），则2a2－a•b= （ ）
A，15 B．11． C．9 D．6
3．已知向量 i=（1，0），j=（0，1），则与向量2i＋j垂直的一个向量为 （ ）
A． 2i－j B． i－2j C． i＋j D． i－j
4．已知a=（1，2），b=（1，1），c=b－ka，且c⊥a，则C点坐标为
5．已知?a?=3，?b?=4，且a与b夹角为60º，?ka－2b?=13，求k的值
【讲练平台】
例1（1）在直角三角形ABC中，∠C=90º，AB=5，AC=4，求AB→ •BC→
（2）若a=（3，－4），b=（2，1），试求（a－2b）•（2a＋3b）
分析 （1）中两向量AB→ 、BC→ 的模及夹角容易求得，故可用公式
a•b=abcosθ求解．
（2）中向量a、b坐标已知，可求a2、b2、a•b，也可求a－2b与2a＋3b的坐标，进而用（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2＋y1y2求解．
解（1） 在△ABC中，∠C=90º，AB=5，AC=4，故BC=3，且cos∠ABC= ，AB→ 与BC→ 的夹角θ=π－∠ABC，
∴AB→ •BC→ =－?AB→ ??BC→ ?cos∠ABC=－5×3× =－9．
（2）解法一 a－2b=（3，－4）－2（2，1）=（－1，－6），
2a－3b=2（3，－4）＋3（2，1）=（12，－5），
（a－2b）•（2a＋3b）=（－1）×12＋（－6）×（－5）=18．
解法二 （a－2b）•（2a＋3b）=2a2－a•b－6b2
=2[32＋（－4）2]－[3×2＋（－4）×1]－6（22＋12）=18．
点评 向量的数量积有两种计算方法，一是依据模与夹角计算，二是依据坐标计算．具体应用时可根据已知条的特征选择．
值得注意的是，向量的夹角与向量的方向相关，（1）中∠ABC并非AB→ 与BC→ 的夹角．
从第（2）问的解法二可以看到，向量数量积的运算律，类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算．如：a•（b＋c）=a•b＋b•c，而（a•b）c≠a（b•c）．
例2．已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足OA2+BC2=OB2+CA2，试用向量方法证明AB⊥OC ．
分析 要证AB→ ⊥OC→ ，即证AB→ •OC→ =0，题设中不涉及AB→ ，我们用AB→ =AO→ +OB→ 代换，于是只需证AO→ •OC→ =BO→ •OC→ ．至此，我们可以尝试将已知等式转化成只含有OA→ 、OB→ 、OC→ 的形式．
证明 由已知得OA→ 2+BC→ 2=OB→ 2+CA→ 2，即OA→ 2+（BO→ +OC→ ）2=OB→ 2+（CO→ +OA→ ）2，整理得AO→ •OC→ =BO→ •OC→ ，即 OC→ •（BO→ +OA→ ）=0，
故 OC→ •AB→ =0．所以 AB→ ⊥OC→ ．
点评 用向量方法证明垂直问题，通常转化为证两个向量的数量积为0．本题已知式与求证式中向量的表达形式不统一，针对差异进行有目标的化归，是求解的关键所在．
例3．设OA→ =a=（ ＋1， －1），OB→ =b=（ ，3），试求∠AOB及ΔAOB的面积．
分析 已知a、b可以求a、b及a•b，进而求得∠AOB（即a与b的夹角），在求到三角形的两边及夹角后，可用公式：S= ?a??b?sinθ求面积．
解 设∠AOB=θ，ΔAOB的面积为S，由已知得：
?OA→ ?=?a?= =2 ，?OB→ ?=?b?=2 ，
∴cosθ= = = ．∴θ= ．
又S= ?a??b?sinθ= •2 =2 ，
即∠AOB= ，ΔAOB的面积为2 ．
点评 向量的数量积公式a•b=?a??b?cosθ不仅可以用求数量积，也可以用求模与夹角．要注意该公式与三角形的面积公式的区别．此外，本题的解题方法可适用于更一般的情况（见变题）．
变题 设ΔABC的面积为S，AB→ =a，AC→ =b，求证S=
例4．已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角．
分析 要求夹角θ，必需求出cosθ；求cosθ需求出a•b与?a??b?的比值（不一定要求出?a?、?b?的具体值）．由已知的两个向量的垂直关系，可以得到?a??b?与a•b的关系．
解 ∵（a+3b）⊥（7a-5b），（a-4b）⊥（7a-2b），
∴ （a+3b）•（7a-5b）=0，
（a-4b）•（7a-2b）=0．
即 7a2+16a•b-15b2=0，
7a2-30a•b+8b2=0．
两式相减，得 b2=2a•b．
故 a2=b2 ， 即 ?a?=?b?．
∴cosθ= = ．
∴θ=60º ， a与b的夹角为60º ．
点评 从基本量思想考虑，似乎没有具体的a与b，无法求出a与b的夹角，其实不然，cosθ是一个a•b与?a??b?的比值，并不需要具体分别求出．类似于本题的条表明，向量的数量积公式、向量的垂直关系都揭示了一种数量积与模的关系，就此意义而言，它们的本质是一致的相通的，可以相互转化和利用．
在本题求解过程中注意，b2=2a•b不能得出b=2a，同样a2=b2也不能得到a=±b．
【知能集成】
基础知识：向量数量积的两种计算公式，向量垂直的充要条．
基本技能：求向量数量积、模及向量的夹角，向量垂直问题的论证与求解．
基本思想：向量表达式的数量积与多项式乘法进行类比的思想，将线的垂直这一图形特征转化成方程解决的思想．求向量夹角时的设而不求的思想．
【训练反馈】
1．已知 =5，a与b的夹角的正切值为 ，a•b=12，则b的模为（ ）
A．4 B．3 C． D．
2．已知 =2，向量a在单位向量e方向上的投影为－ ，则向量a与e向量的夹角为（ ）
A．30º B．60º C．120º D．150º
3．已知a=（1，－2），b=（5，8），c=（2，3），则a•（b•c）为 （ ）
A．34 B．（34，－68） C ．－68 D．（－34，68）
4．边长为 的正三角形ABC中，设AB→ =c，BC→ =a，CA→ =b，则a•b＋b•c＋c•a等于（ ）
A． －3 B． 0 C． 1 D． 3
5．已知a=（1，2），b=（x，1），当（a＋2b）⊥（2a－b）时，实数x的值为 ．
6．已知m=（－5，3），n=（－1，2），当（λm＋n）⊥（2n＋m）时，实数λ的值为 ．
7．已知a=b=1，a与b夹角为90º，c=2a＋3b，d=ka－4b，且c⊥d，则k=
8．已知A、B、C、D是平面上给定的四个点，则AB→ •CD→ ＋AC→ •DB→ ＋AD→ •BC→ = ．
9．已知a＋b=（2，－8），a－b=（－8，16），则a与b夹角的余弦值为 ．
10．设两向量e1、e2满足 e1=2， e2=1， e1、e2的夹角为60º，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
11．设向量a=（cos23º，cos67º），b=（cos68º，cos32º），u=a＋tb (t∈R)．
（1）求a•b；
（2）求u的模的最小值．
12．设a=（1＋cosα，sinα）， b=（1－cosβ，sinβ）， c=（1，0）， α∈（0，π），β∈（π，2π），a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1－θ2= ，求sin 的值．

第32 线段的定比分点、平移
【考点指津】
1．掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且熟练运用．
2．掌握平移公式，并能运用平移公式化简函数解析式．
3．理解公式的推导过程，必要时能回到定义去，用向量运算的相关知识，解决定比分点问题和平移问题．
【知识在线】
1．若P分AB→ 所成的比为 ，则A分BP→ 的比为 （ ）
A． B．－ C．－ D．
2．设点P在线段AB的延长线上，P分AB→ 所成的比为λ，则 （ ）
A．λ＜－1 B．－1＜λ＜0 C．0＜λ＜1 D．λ＞1
3．按向量a将点（2，3）平移到（0，1），则按向量a将点（7，1）平移到点 （ ）
A．（9，－3） B．（9，3） C．（5，－1） D．（－5，－3）
4．若函数y=f（1－2x）的图象，按向量a平移后，得到函数y=f（－2x）的图象，则向量a= ．
5．设三个向量OA→ =（－1，2），OB→ =（2，－4），OC→ 的终点在同一条直线上（O为坐标原点）．
（1）若点C内分AB→ 所成的比为 ，求C点坐标；
（2）若点C外分AB→ 所成的比为－ ，求C点坐标．
【讲练平台】
例1已知P（1，1），A（2，3），B（8，－3），且C、D顺次为AB的三等分点（C靠近A），求PC→ 和PD→ 的坐标．
分析 已知A、B两点坐标，可求AB的两个三等分点C、D的坐标，进而结合已知P点坐标，可求PC→ ，PD→ ．
解 解法一 由题知，点C、D分AB所成的比分别为λ1= ，λ2=2 ，
设C（x，y），则
即C（4，1），同理可得D（6，－1）．
故PC=（4，1）－（1，1）=（3，0），PD=（6，－1）－（1，1）=（5，－2）．
解法二 因A、B、C、D四点共线，由已知得 ，AD→ =23 AB→ ，
故PC→ =PA→ ＋AC→ =（2－1，3－1）＋ （8－2，－3－3）=（3，0），
PD→ =PA→ ＋AD→ =（2－1，3－1）＋23 （8－2，－3－3）=（5，－2）．
点评 定比分点公式涉及起点坐标、终点坐标、分点坐标、定比七个量，它们之间固有的联系有两个方程，故已知其中五个量能求其余两个量，若是只考察其中一个方程（如横坐标关系式），只须已知其中三个，可求第四个．对此，我们不仅要考察公式的原形，还需掌握公式的变形．
本题的解法二，回归到最基础的向量加减处理定比分点问题，运算量小，出错率低．
例2 将函数 的图象按向量a平移后得到函数 的图形，求a和实数k．
分析 平移前后的函数表达式已知，可以通过恒等变形，求得整体结构一致，再比较变量x、y的变化，确定平移公式，得向量a，而k则可通过比较系数法求得．
解
令 x′ = x－ ，
y′=y－ ．
原函数解析式变形为y′=－ ，
∴ a=（－ － ）， k=－ ．
点评 图形的平移变换，实质是图形上任意一点的变换，求解平移变换问题至关重要的是确定关于点的坐标的平移公式．
面对较为复杂的函数表达式，为了画出其图形，并讨论其性质，常采纳平移变换化繁为简．
变题 通过平移变换，化简 （ad－bc≠o ， c≠o），并作出图形．
提示： = ，
令
并记 =k≠0， 则原方程化简为 ．
因此，原函数的图象按向量a= 平移后得 的图象，故其图象是以 为中心的，以x= 为渐近线的双曲线．
例3．将函数 的图象，按向量a平移后得到的函数图象关于原点对称．这样的向量是否唯一？若唯一，求出向量a；若不唯一，求a模的最小值．
分析 正弦函数是周期函数，其图象关于原点对称时，表达式不唯一．就本题而言，平移后的函数解析式可以是y=2sin2x ， 也可以是y=2sin（2x＋π），y=2sin（2x－π）等等．因此，向量a不唯一．
要求?a?的最小值，首先必需确定平移后函数表达式的一般式，并在此基础上建立关于?a?的目标函数．
解 向量a不唯一．平移后的图象对应解析式可以为y=2sin（2x＋kπ）， k∈Z
考察原函数表达式 ，
可令 （k∈Z）
即 ，
∴ a=（－ ，－1）， ( k∈Z)，
a （k∈Z）．
∴ 当k=2 时，?a?取最小值，最小值为 ．
点评 常见向量平移变换应用于三角函数式化简，多数问题思路单一，结论唯一．本题突破常规，开放性的设计，要求解题者具有更深刻的思维能力．
例4．设A（1，1），B（5，5），且P在直线AB上，若AB→ =λAP→ ，AP→ =λPB→ ，P点是否可能落在线段AB的延长线上 ？若能，求出P点坐标；若不能；说明理由．
分析 由AB→ =λAP→ 知，要使P落在线段AB的延长线上，只需λ∈（0，1）．为此，我们设法将两个已知向量等式转化成关于λ的方程，解出λ，检验λ∈（0，1）是否成立．
解 AB→ =（5，5）－（1，1）=（4，4），
设P（x，y），则AB→ =λAP→ =λ2 PB→ ．
（4，4）=λ2（5－x，5－y）=λ（x－1，y－1），
且
依据两个方程组的第一个方程，消去x，得
5λ2－λ（4＋λ）=4，即λ2－λ－1=0，
∴ λ= ．
数形结合知，在AB→ =λAP→ 时，要P落在线段AB的延长线上，则需λ∈（0，1），所求两个λ的值均不符合题意，故P不可能落在AB延长线上．
【知能集成】
基础知识：向量的平移公式，定比分点定义、公式及中点坐标公式．
基本技能：求平移公式，求点关于向量平移后的坐标，求函数图象关于向量平移后对应的函数解析式．运用定比分点公式，求端点、分点坐标及定比．
基本思想：①回到定义去，回避定比分点公式的繁琐运算．②用基本量思想看定比分点公式．③运用整体分析、比较观点，确定平移公式．
【训练反馈】
1．点（4，3）关于点（5，－3）的对称点坐标是 （ ）
A．（4，－3） B．（6，－9） C．（ ，0） D．（ 12 ，3）
2．点A（0，m）按向量a平移后得到点B（m，0），则向量a的坐标是 （ ）
A．（m ， m） B．（m ， －m） C．（－m ， m） D．（－m ， －m）
3． 按向量a可把点（2，0）平移到点（－1，2），则点（－1，2）按向量a平移后得到的点是（ ）
A．（2，0） B．（－3，2） C．（2，4） D．（－4，4）
4．将函数 的图象，按向量a平移后得到的图象对应函数y=f（x）是奇函数，则a可以是 （ ）
A． （－ ，－4） B． （－ ，4） C． （ ，4） D． （－ ，－4）
5．已知点P（2，3），分P1P2所成的比为2，且点P2（1，2），则点P1的坐标为（ ）
A．（4，5） B．（0，1） C．（3，4） D．（5，6）
6．将函数y=x2＋mx＋n图象的顶点P按向量a平移到原点O，则a= ．
7． 函数 的图象按向量a=（2，1）平移后得到函数 的图象．
8．已知A（2，2），B（－3，4），C（4，－1），则ΔABC的重心坐标为 ．
9．若?P1P2?=5 cm，点P在线段P1P2的反向延长线上，且?P1P?=1 cm，则P分P1P2所成的比为 ．
10． 已知O为原点，m∈R且m≠0，OA=（m，2m），OB=（2，2），求点B关于直线OA的对称点C的坐标．
11． 已知关于x的一次函数y=ax+b的图象C按向量p =（1，2）平移后，得到的图象仍然是C，问这样的一次函数是否唯一？若唯一，求出该函数的解析式；若不唯一，说明这类函数的表达式的共同特征．
12．已知A、B、C三点在一条直线上，且OA→ －3OB→ ＋2OC→ =0 ，求点A分BC→ 所成的比λ．
第33 平面向量的应用
【考点指津】
1．在阅读、理解具有实际意义的字的基础上，能准确、清晰、有条理地用向量的语言表述问题．
2．能从实际问题中提炼、概括抽象出数学模型．
3．能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法，求出数学模型的解．
4．能结合实际意义，正确表述问题的解．
5．能用向量知识简捷地处理其它数学分支相关问题．
【知识在线】
1．下列各个量：①物体的位移；②汽车的速度；③物体的质量；④某液体的温度．其中能称为向量的有 ．
2．已知三个力F1=（1，3），F2（－2，1），F3=（x，y），某物体在这三个力的同时作用下保持平衡，则力F3= ．
3．设某人向东走3 km后，又改变方向向北偏东30º走3 km，该人行走的路程是 ，他的位移是 ．
4．用向量方法证明勾股定理．
5．一条东西方向的河流，水流速度为2 km/h，方向正东．一船从南岸出发，向北岸横渡，船速为4 km/h，试求船的实际航行速度，并画出图形（角度可用反三角函数表示）．
【讲练平台】
例1 某一天，一船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度3km/h，
方向正东，风向北偏西30º，受风力影响，静水中船的飘行速度大小也为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以23 km/h．的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．

分析 撇开题设情境，提炼出四个速度，即水流速度v1，风的速度v2，船本身的速度v3，船的实际航行速度v，并且有v1＋v2＋v2=v，在这一等式中，v1、v2、v已知，v3可求．
略解：设水的速度为v1 ，风的速度v2，v1＋v2=a，
易求得a的方向是北偏东 30º，a的大小为 3 km/h ．
设船的实际航行速度v，方向南向北，大小 23 km/h．．船本身的速度v3，则a+v3=v ， 即 v3=v-a ， 数形结合知，v3方向是北偏西60º，大小为3 km/h．．
点评 这是一个与“知识在线”第5题相似的问题，熟悉的情境以及简单情况下的解题经验为本题求解奠定了基础．
四种速度融为一体，我们采纳分步合成，步步为营的策略．每一次合成只相当于求解了一个简单题．
例2 已知O为ΔABC所在平面内一点，满足
OA→ 2＋ BC→ 2=CA→2＋OB→2=OC→2＋AB→2．试证明O是ΔABC的垂心．
分析 已知等式是关于线段长度平方和的等式，OA→ 与BC→ 、OB→与CA→、OC→与AB→ 都不是同一个直角三角形中的线段，用纯平面几何知识证明相当困难．
但线段长度平方和即向量模的平方，要证O是ΔABC的垂心，只需证得OA→ ⊥BC→ ，OB→⊥CA→，联想向量的数量积，只需证OA→ •BC→ =OB→•CA→=0．
OA→ 2＋ BC→ 2=CA→2＋OB→2 ，得
a2＋（c－b）2=b2＋（a－c）2 ， c•b=a•c ，即（b－a）•c=0．
OC→•AB→=0， 故 AB→⊥OC→．
同理 CA→⊥OB→，BC→ ⊥OA→ ．
故O是ΔABC的垂心．
点评 向量知识的应用领域很宽泛，中学数学所涉及的平几、立几、解几、函数、方程、数列、不等式等等，都可以与向量综合，求解这类问题的关键在于揭去伪装，合理转化．
例3．如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮A、B，用一条足够长的绳子跨过它们，并在两端分别挂有质量为m1和m2的物体（m1≠m2），
另在两滑轮中间的一段绳子的O点处悬挂质量为m的另一物体，已知m1∶m2=OB∶OA，且系统保持平衡（滑轮半径、绳子质量均忽略不计）．求证：
（1）∠AOB为定值；
（2） ＞2．
分析 依据题意，我们可以作出物体的受力图，
引用平衡条可列出方程组，在方程组的变形中，探索∠AOB的大小，在求出∠AOB后，再向第2问结论努力．
解（1）设两绳子AO、BO对物体m的拉力分别为
F1、F2，物体m向下的重力为F，由系统平衡条知F1+F2+F=0．
如图，设∠BAO=α，∠ABO=β，根据平行四边形法则，得
F2cosβ+F1cos（π－α）=0，
F2sinβ+F1sin（π－α）＋F=0．
即 m2cosβ－m1 cosα=0 ， ①
m2sinβ＋m1 sinα=m． ②
在ΔAOB中，由正弦定理，得OB∶OA= sinα∶sinβ，将m1∶m2= sinα∶sinβ代入①，得
sinβcosβ= sinαcosα，即sin2β= sin2α．
∵m1≠m2 ，∴OA≠OB． ∴α≠β，2α＋2β=180º．
∴α＋β=90º， 即∠AOB=90º．
（２）由α＋β=90º，得　cosβcosα＝sinβsinα．　　
将①②平方相加，得m2=m12＋m22 ．
由m2－2m1m2=m12＋m22－2m1m2=（m1－m2）2>0 ，得m2>2m1m2．
∴ ＞2．
点评　　向量在物理中的应用最常见的是力学问题，物体处于平衡状态即所受各力的合力为０，亦即向量之和为零向量，运用三角形法则、平行四边形法则及解斜三角形的基础知识可望得到问题的解．本题所列方程组，是根据物体水平方向、竖直方向所受各力的合力分别为０得到．
【知能集成】
向量知识是一种基础性、工具性知识，在跨学科内分支、跨学科范畴、跨认知领域的广泛应用中，我们应逐步增强阅读理解能力，数学建模、解模能力，和分析问题解决问题能力．
【训练反馈】
１．如果一架向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则 （ ）
A． s>a B． s<a C． s=a D． s与a不能比大小
２．当两人同提重G的书包时，用力都为F，夹角为θ，则F、G、θ之间的关系为F = G2cosθ2；当θ= 时，F取得最小值；当F=G时，θ= ．
３．一条河宽为d，水流速度为v2，一船从岸边A处出发，垂直河岸线航行到河的正对岸B处，船在静水中的速度为v1，则船在航行过程中，船的实际航行速度大小为 （ ）
A． v1 B． v12＋ v22 C． v12－ v22 D． v1－ v2
4．一艘船以4km/h的速度，沿着与水流方向成120º的方向航行，已知河水流速为2 km/h，该船若航行6 km，所须时间为 （ ）
A．3 h B．23 h C．3 h D．2 h
5.已知向量OA1→ =3i＋2j，AnAn＋1→ =2i＋2j（n∈N＋），则OAn→= ．
6.已知A（k，12），B（4，5），C（10，k），若点C在线段AB上，则k值等于 （ ）
A．11 B．－2 C．－11或2 D．485 或252
7．已知ΔABC中，AB→=c，BC→=a，CA→=b，则下列推理不正确的是 （ ）
A．若a•b=b•c，则ΔABC为等腰三角形
B．若a•b>0，则ΔABC为钝角三角形
C．若a•b=0，则ΔABC为直角三角形
D．若c•（a＋b＋c）=0，则ΔABC为正三角形
8．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行．此时，风向是北偏东30º，风速是20 km/h．；水的流向是正东，流速为20 km/h．，若不考虑其它因素，救生艇在洪水中漂行的速度为 ．
9．已知a=（sinα， sinα－cosα），b=（cosα，0），O为坐标原点，OP→=a＋b，
则OP→= ．
10．一个30º的斜面上放有一个质量为1kg的球，若要保持球在斜面上静止不动，应沿斜面方向给球多大的力？若表示球的重力的向量为p，球对斜面的压力为ω，则球的重力沿斜面方向的分力f如何表示？保持球在斜面上静止不动的推力f′又如何表示？
11． 已知点A（1，2）和B（4，－1），问能否在y轴上找一点C，使∠ACB=90º，若能，求出C点坐标；若不能，说明理由．
12． 已知O为坐标原点，OA→ =（3，0），OB→ =（ ），两个质点甲、乙分别从A、B两点同时出发，速度均为4km/h，且甲沿AO→方向运动，乙沿OB→方向运动．
（1）甲乙两个质点之间的初始距离是多少？
（2）用包含t的式子f（t）表示t小时后，两个质点之间的距离；
（3）什么时候两个质点之间相距最近．

单元练习五 （平面向量）
（考试时间120分钟 总分150分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．向量a=（1，－2），向量a与b共线，且b=4a．则b= （ ）
A．（－4，8） B．（－4，8）或（4，－8）
C．（4，－8） D．（8，4）或（4，8）
2．已知a=（2，1），b=（x，1），且a＋b与2a－b平行，则x等于 （ ）
A．10 B．－10 C．2 D．－2
3．已知向量a和b满足a=1，b= ，a⊥（a－b）．则a与b的夹角为 （ ）
A．30º B．45º C．75º D．135º
4．设e1、e 2是两个不共线向量，若向量 a=3e1＋5e2与向量b=me1－3e2共线，
则m的值等于 （ ）
A．－ 53 B．－ 95 C．－ 35 D．－ 59
5．设□ABCD的对角线交于点O，AD→ =（3，7），AB→ =（－2，1），OB→ = （ ）
A．（ －52 ，－3） B．（52 ，3） C．（1，8） D．（12 ，4）
6．设a、b为两个非零向量，且a•b=0，那么下列四个等式①a=b；
②a＋b=a－b；③a•（b＋a）=0；④（a＋b）2=a2＋b2．
其中正确等式个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．将y=2x的图象 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （ ）
A．按向量（0，1）平移 B．按向量（0，－1）平移
C．按向量（1，0）平移 D．按向量（－1，0）平移
再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2（x＋1）的图象．
8．a=（－1，2），b=（1，－1），c=（3，－2）用a、b作基底可将c表示为c=pa＋qb，则实数p、q的值为 　　　　　　　　　　　 （ ）
A．p=4 q=1 B． p=1 q=4
C． p=0 q=4 D． p=1 q=0
9．将函数y=2sin2x的图象按向量a的方向平移得到函数y=2sin（2x＋π3 ）＋1的图象，则向量a的坐标为 　　　　　　　　 （ ）
A．（－π3 ，1） B．（－π6 ，1） C．（π3 ，－1） D．（－π6 ，－1）
10．设平面上四个互异的点A、B、C、D，已知（DB→ ＋DC→ －2DA→ ）•（AB→ －AC→ ）=0．则ΔABC的形状是 　　　　　　　　 （ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
11．将函数y=2x的图象按向量a平移后得到函数y=2x＋6的图象，给出以下四个命题：① a的坐标可以是（－３，０）；　② a的坐标可以是（０，6）；
③a的坐标可以是（6，０）； ④ a的坐标可以有无数种情况．
其中真命题的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．设F1、F2是双曲线 x24 －y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且PF1→ •PF2→ =0，则PF1→ •PF2→ 的值为 （ ）
A．2 B．22 C．4 D．8
二、填空题：每小题4分，共16分．
13．设线段P1P2的长为10cm，P在P1P2的延长线上，且P2P=20cm，则P分P1P2→ 所成的比为 ．
14．已知向量a=（2 ，－2 ），b=（3 ，1）那么（a＋b）•（a－b）的值是 ．
15．若a=（2，3），b=（－4，7），a＋c=0，则c在b方向上的投影为 ．
16．若对n个向量 a1，a2，a3，…，an，存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1 a1＋k2a2＋…＋knan=0成立，则称a1，a2，…，an为“线性相关”．依此规定，能使a1=（1，0），a2=（1，－1），a3=（2，2）“线性相关”的实数k1，k2，k3 依次可以取 ．
三、解答题
17．（本题满分12分）
如图，一艘船从点A出发以23 km/h的速度向垂直于对岸
的方向AD→ 行驶，同时河水的流速为2 km/h．求船实际航行
速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）．
18．（本题满分12分）
已知△OFQ的面积为S，且OF→ • FQ→ =1 ，若12 ＜S＜ ，求向量OF→ 与 FQ→ 的夹角θ的范围．
19．（本题满分12分）
已知点H（－3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点在直线PQ上，且满足 ，当点P在y轴上移动时，求点的轨迹C．
20． （本题满分12分）
已知向量OA→ =3i－4j，OB→ =6i－3j，OC→ =（5－m）i－（4＋m）j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量．
（1）若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条；
（2）若ΔABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．
21．（本题满分12分）
已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120º．
（1）求证(a－b)⊥c；
（2）若│ka＋b＋c│>1(k∈R)，求k的取值范围．
22． （本题满分14分）
已知向量a、b、c、d，及实数x、y，且a=1，b=1，c=a＋（x2－3）b，d=－ya＋xb，如果a⊥b，c⊥d，且c≤10 ．
（1）求x、y的函数关系式y=f（x）及定义域；
（2）（供部分考生选做）判断f（x）的单调性，指出单调区间，并求出函数的最大值、最小值．

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