安徽省阜阳市第一中学2013届高三上学期第二次模拟考试
数学（）试题

一、单选题（每小题5分，共50分）
1.已知集合 ， ，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.已知 的图像在 上连续，则“ ”是“ 在 内有零点”的（ ）条件。
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
3. 下列函数中周期为 且在 上为减函数的是（ ）
A. B. C. D.
4.设 为定义R上在的奇函数，当 时， （ 为常数），则 （ ）
A. B. C. 1 D. 3
5.若非零向量 ， 满足 ，且 ，则向量 ， 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6. 等差数列 中，已知 ，则 （ ）
A. B. 24 C. 22 D. 20
7.已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若 ∥ ， ，则 ∥ ； B.若 ∥ ， ， ，则 ∥ ；
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 ∥ ； D. 若 ∥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ∥ .
8.直线 的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.已知定义在 上的函数 满足 ，且 的导函数 在上 恒有 ，则不等式
的解集为（ ）
A. B. C. D.
10.若直角坐标平面内的两个点P和Q满足条件：①P和Q都在函数 的图像上；②P和Q关于原点对称,则称点对 是函数 的一对“友好点对”（ 与 看作同一对“友好点对”）。已知函数 ，则此函数的“友好点对”有（ ）
A. 0对 B. 1对 C.2对 D. 3对
二．题（每小题5分，共25分）
11. 已知i是虚数单位， 为实数,且复数 在复平面内对应的点在虚轴上，则 =_______.
12. 空间直角坐标系中，已知点 ，P点关于 平面的对称点为 ，则 =_________
13.设 满足 ，则 的最小值为_________
14. 已知数列 满足 ， ， 则 的最小值是_________.
15.下列命题中正确命题的序号是：___________
①两条直线 ， 和两条异面直线 ， 相交，则直线 ， 一定异面；
② ，使 ；
③ 都有 ；
④ ，使 是幂函数，且在 上递减；
⑤ 函数 都不是偶函数。
三．解答题（共75分，解答应写出字说明，证明过程或演算步骤）
16.已知函数 ，
（1）若 的解集是 ，求 ， 的值；
（2）若 = ，解关于 的不等式 .

17．如图，四棱锥 中, ⊥平面 ，底面四边形 为矩形， 为 中点，
（1）求证： ⊥ ;
（2）在线段 上是否存在一点 ，使得 ∥平面 ，若存在，指出 的位置；若不存在，说明理由。

18.如图，一艘轮船在A处正沿直线返回港口B，接到气象台的台风预报，台风中心O位于轮船正西40k处，受影响的范围是半径为20k的圆形区域。已知港口B位于台风中心正北30k处。
（1）建立适当的坐标系，写出直线AB的方程;
(2)如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？(不考虑台风中心的移动)

19. A，B,C是△ABC的内角， ， , 分别是其对边，已知 ， ,且 ∥ ，B为锐角，
（1）求B的大小；（2）如果 ，求△ABC的面积的最大值。

20.已知函数 ，数列 的前n项和为 ，点 ，（ ）都在函数 的图像上，
（1）求 的通项公式；
（2）令 ，求 的前n项和 ；
（3）令 ，证明： ， 。

21.已知 ,函数 ， ， ，(其中e是自然对数的底数，为常数),
(1)当 时，求 的单调区间与极值；
（2）在（1）的条件下，求证： ；
（3）是否存在实数 ，使得 的最小值为3. 若存在，求出 的值，若不存在，说明理由。

阜阳一中高三第二次月考数学答案（科）
一、（共10小题，每小题5分，每小题只有一个正确答案）
12345678910
BABACBCCBB
二、题：(共5小题，每小题5分)
11 3 12. 32 13. 14. 15.
三、解答题：
16、（12分）(1) 的增区间是
（2） 由于 为第二象限角所以

17、（12分） 函数 为奇函数，且在 上为增函数， 在 上的最大值为 .若 . 令 看成一条直线 上恒成立，

且 或t=0或 故t的范围
18、（12分）（1）连 在 中,、N分别为线段 的中点 平面 故N//平面
(2) 为直三棱柱，
方法一： 取 面上一点P作 . 又平面 面 且交线为AB
同理 BC 平面
方法二：过C作 同理 与CT重合为CB BC 平面
方法三：在面ABC内，作 ,在面
同理 BC 平面
19、（12分）证法一

证法二：令

满足 的区域，


目标函数Z= ，由线性规划可求 的最小值为

20、（13分）（1） 令 两根为
（2）原命题等价于证明
方法一用数学归纳法证明
方法二由（1）知
令 得


只需证 即可，即

21、（14分）（1）证明： 。
（2）由（1）的
由错位相减法得
（3）

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