第 节 数列的概念与简单表示法
【选题明细表】
知识点、方法题号
数列的概念3、7
由数列的前几项求数列的通项4、10
递推公式的应用2、6
an与Sn的关系1、8、11
数列与函数5、9、12
一、
1.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为( A )
(A)15(B)16(C)49(D)64
解析:由a8=S8-S7=64-49=15,故选A.
2.(2015乐山市调研试题)在数列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+2(n∈N+),则a10等于( C )
(A)34(B)36
(C)38(D) 40
解析:由题意知 = + ,
即 - = - ,
通过累加法可得, = ,
所以an=4n-2,
所以a10=38,
故选C.
3.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( C )
(A)1, , , ,…
(B)-1,-2,-3,-4,…
(C)-1,- ,- ,- ,…
(D)1, , ,…,
解析:根据定义,属于无穷数列的是选项A、B、C(用省略号),属于递增数列的是选项C、D,故同时满足要求的是选项C.故选C.
4.中国的刺绣有着悠久的历史,如图中(1)、(2)、(3)、(4)为刺绣时最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成的,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形,则f(6)=( A )
(A)61(B)64(C)65(D)66
解析:根据所给图形的规律得,
f(1)=1,f(2)-f(1)=4×1,f(3)-f(2)=4×2,…,f(n)-f(n-1)=4(n-1),再用累加法,
可得f(n)=2n2-2n+1,
所以f(6)=61.
故选A.
5.下面五个结论:①数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点;②数列的项数是无限的;③数列的通项公式是唯一的;④数列不一定有通项公式;⑤将数列看做函数,其定义域是N*(或它的有限子集{1,2,…,n}).其中正确的是( B )
(A)①②④⑤(B)①④⑤
(C)①③④(D)②⑤
解析:②中数列的项数也可以是有限的,③中数列的通项公式不唯一,故选B.
6.若数列{an}满足a1=1,a2=2015,且an= (n≥3,n∈N*),则a2015等于( B )
(A)1(B)2015
(C) (D)-1
解析:因为a1=1,a2=2015,
所以a3= = =2015;
a4= = =1;a5= = ;
a6= = = ;a7= = =1,
a8= = =2015,显然a7=a1,a8=a2,
根据递推关系,逐步代入,则得a9=a3,a10=a4,….
故该数列的项周期性出现,其周期为6,a2015=a335×6+3=a3=2015,故选B.
二、题
7.在数列-1,0, , ,…, ,…中,0.08是它的第 项.
解析:令 =0.08,得2n2-25n+50=0,
即(2n-5)(n-10)=0.解得n=10或n= (舍去).
∴a10=0.08.
答案:10
8. (2015吉林高三期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=n2+2n,则a4+a5+a6= .
解析:法一 n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1,
当n=1时,a1=S1=3,符合公式,
∴数列{an}是等差数列.
∴a4+a5+a6=3a5=3×11=33.
法二 a4+a5+a6=S6-S3=33.
答案:33
9.已知{an}是递增数列,且对于任意的n∈N*,an=n2+λn恒成立,则实数λ的取值范围是 .
解析:因为{an}是递增数列,
故对任意的n∈N*,
都有an+1>an,
即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,
整理,得2n+1+λ>0,
即λ>-(2n+1)(*).
因为n≥1,故-(2n+1)≤-3,
要使不等式(*)恒成立,只需λ>-3.
答案:λ>-3
三、解答题
10.已知有限数列 , , , ,…, (≥7,且∈N*).
(1)指出这个数列的一个通项公式;
(2)判断0.98是不是这个数列中的项?若是,是第几项?
解:(1)因为前n项分子依次为4,9,16,25,…,可看成与序号n的关系式为(n+1)2;
而每一项的分母恰好比分子大1,
所以通项公式分母可为(n+1)2+1,
所以数列的一个通项公式为
an= (n=1,2,…,-1).
(2)是,因为数列的通项公式为an= ,
所以设0.98是这个数列的第n项,
即 =0.98,
解得n=6∈N*(n=-8舍去),
所以0.98是数列中的第6项.
11.已知下列数列{an}的前n项和Sn,求数列{an}的通项公式.
(1)Sn=3n-2;
(2)Sn=n2an(n≥2),a1=1.
解:(1)当n=1时,a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2×3n-1,
∴an=
(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1,
即(n2-1)an=(n-1)2an-1,
∴ = ,
∴ = • • •…• • • = • • •…• × × = ,
∴an= .又当n=1时a1= =1,
适合an= .
∴an= .
12.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-30.
(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?
(2)n为何值时,an=0,an>0,an<0?
(3)该数列前n项和Sn是否存在最值?说明理由.
解:(1)由an=n2-n-30,得
a1=1-1-30=-30,
a2=22-2-30=-28,
a3=32-3-30=-24.
设an=60,则60=n2-n-30.
解之得n=10或n=-9(舍去).
∴60是此数列的第10项.
(2)令an=n2-n-30=0,
解得n=6或n=-5(舍去).
∴a6=0.
令n2-n-30>0,
解得n>6或n<-5(舍去).
∴当n>6(n∈N*)时,an>0.
令n2-n-30<0,解得0<n<6.
∴当0<n<6(n∈N*)时,an<0.
(3)Sn存在最小值,不存在最大值.
由an=n2-n-30= -30 ,(n∈N*)
知{an}是递增数列,且
a1<a2<…<a5<a6=0<a7<a8<a9<…,
故Sn存在最小值S5=S6,不存在Sn的最大值.
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