哈师大附中2013届高三第二次月考数学（）试题
考试说明：
1．本试卷分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）两部分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必写好姓名、并将考号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上．
3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置．
4．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各组中的两个集合 和 ，表示同一集合的是 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为 （ ）
A． B． C． D．
3． ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．“ ”是“ ”的 （ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设函数 对任意 满足 ，且 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
6．若函数 的零点与 的零点之差的绝对值不超过 ，则 可以是
（ ）
A． B．
C． D．
7．函数 的值域是 （ ）
A． B． C． D．
8．曲线 ： 在点 处的切线 恰好经过坐标原点，则 点的坐标为 （ ）
A． 　 B． C． D．
9．在“家电下乡”活动中，某厂要将 台洗衣机运往邻近的乡镇，现有 辆甲型货车和 辆
乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用 元，可装洗衣机 台；每辆乙型货车运输费用 元，可装洗衣机 台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
10．已知 是定义在实数集 上的增函数，且 ，函数 在 上为增函数，在 上为减函数，且 ，则集合 = （ ）
A． B．
C． D．
11．已知定义在 上的函数 满足： ，当 时， ．
下列四个不等关系中正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数 ，其导函数为 ．
① 的单调减区间是 ；
② 的极小值是 ；
③当 时，对任意的 且 ，恒有
④函数 满足
其中假命题的个数为 （ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知集合 ， ，则 （ ） ______．
14．命题“ ，使得 ．”的否定是___________________．
15．函数 则函数 的零点是 ．
16．函数 对于 总有 ≥0 成立，则 = 　 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）
已知 是三个连续的自然数，且成等差数列， 成等比数列，求 的值．

18．（本题满分12分）
已知集合 ， ，
（1） 若 且 ，求 的值；
（2） 若 ，求 的取值范围．
19．（本题满分12分）
已知函数 ，其中
（1） 若 为R上的奇函数，求 的值；
（2） 若常数 ，且 对任意 恒成立，求 的取值范围．
20．（本题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中， 为圆 上的一动点，点 ，点 是
中点，点 在线段 上，且
（1）求动点 的轨迹方程；
（2）试判断以 为直径的圆与圆 的位置关系，
并说明理由．

21．（本题满分12分）
已知函数 （ 为非零常数, 是自然对数的底数）,曲线
在点 处的切线与 轴平行．
（1）判断 的单调性；
（2）若 , 求 的最大值．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如多选，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．

22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在正 中，点 , 分别在边 上,
且 ， 相交于点 ,
求证：（1） 四点共圆；
（2） ．

23．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 轴非负半轴重合．直线 的参数方程为： （ 为参数），曲线 的极坐标方程为： ．
（1）写出曲线 的直角坐标方程，并指明 是什么曲线；
（2）设直线 与曲线 相交于 两点，求 的值．

24．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知关于 的不等式 （其中 ）．
（1）当 时，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求实数 的取值范围．

参考答案

三、解答题
17．（本题满分12分）
解：因为 是三个连续的自然数，且成等差数列，故设 ，--3分
则 ，
由 成等比数列，
可得 ，解得 ，-----9分
所以 ------12分

当 时， ，需 ，解得 ；----9分
当 时， ，不合题意；----10分
当 时， ，需 ，无解；----11分
综上 ．----12分
19．（本题满分12分）
解：（Ⅰ） 若 为奇函数， ， ，即 ，---2分
由 ，有 ， ---4分
此时， 是R上的奇函数，故所求 的值为
（Ⅱ） ① 当 时， 恒成立， ----6分
对（1）式：令 ，当 时， ，
则 在 上单调递减，
对（2）式：令 ，当 时， ，
则 在 上单调递增， ---11分
由①、②可知，所求 的取值范围是 ．---12分

可知动点P的轨迹方程为 ----4分
（2）设点 的中点为 ，则

即以PB为直径的圆的圆心为 ，
半径为 又圆 的圆心为O（0，0），半径
又
-----8分

设 ，则
于是 在区间 内为增函数;在 内为减函数．
所以 在 处取得极大值，且
所以 ,故 所以 在 上是减函数．----4分

设 ; 则 -------9分

当 时, ，当 时, 的最大值为 ---12分
22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
证明：（I）在 中，由
知： ≌ ，
即 ．
所以四点 共圆；---5分
（II）如图，连结 ．在 中， , ,由正弦定理知 由四点 共圆知， ,所以 ---10分

（2）把 代入 ，整理得 ，---6分
设其两根分别为 则 ，---8分
所以 ．----10分
24．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（1）当 时， ，
时， ，得

（1）设 ，---7分
（2）故 ，----8分
（3）即 的最小值为 ．所以若使 有解，只需 ，即

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