2012届高考数学数列的综合应用知识梳理复习教案

编辑: 逍遥路 关键词: 高三 来源: 高中学习网



教案67 数列的综合应用
一、前检测
1.猜想1=1,1-4= - (1+2), 1-4+9=1+2+3,……的第n个式子为 。
答案:

2.用数学归纳法证明 ,在验证 成立时,左边所得的项为( C )
A.1 B.1+ C. D.

二、知识梳理
1.等差、等比数列的应用题常见于:产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题,求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题。
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如,第一年产量为 ,年增长率为 ,则每年的产量成等比数列,公比为 .其中第 年产量为 ,且过 年后总产量为:

⑵银行部门中按复利计算问题. 例如:一年中每月初到银行存 元,利息为 ,每月利息按复利计算,则每月的 元过 个月后便成为 元. 因此,第二年年初可存款:
= .
注意:“分期付款”、“森林木材”型应用问题
⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中,务必“卡手指”,细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.
⑵利率问题:①单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:若每期存入本金 元,每期利率为 ,则 期后本利和为:
(等差数列问题);②复利问题:按揭贷款的分期等额还款(复利)模型:若贷款(向银行借款) 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分 期还清.如果每期利率为 (按复利),那么每期等额还款 元应满足:
(等比数列问题).

⑶分期付款应用题: 为分期付款方式贷款为a元;m为m个月将款全部付清; 为年利率.

2.将实际问题转化为数列问题时应注意:
(1)分清是等差数列还是等比数列;
(2)分清是求an还是求Sn,特别要准确地确定项数n.

3.数列与其他知识的综合也是常考的题型,如:数列与函数、不等式、解析几何知识相互联系和渗透,都是常见的题型。

4.强化转化思想、方程思想的应用.

三、典型例题分析
题型1 以等差数列为模型的问题
例1 由于美伊战争的影响,据估计,伊拉克将产生60~100万难民,联合国难民署计划从4月1日起为伊难 *** 送食品.第一天运送1000 t,第二天运送1100 t,以后每天都比前一天多运送100t,直到达到运送食品的最大量,然后再每天递减100 t,连续运送15天,总共运送21300 t,求在第几天达到运送食品的最大量.
剖析:本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题.
解:设在第n天达到运送食品的最大量.
则前n天每天运送的食品量是首项为1000,公差为100的等差数列.
an=1000+(n-1)•100=100n+900.
其余每天运送的食品量是首项为100n+800,公差为-100的等差数列.
依题意,得
1000n+ ×100+(100n+800)(15-n)+ ×(-100)=21300(1≤n≤15).
整理化简得n2-31n+198=0.
解得n=9或22(不合题意,舍去).
答:在第9天达到运送食品的最大量.

变式训练1 数列{an}中,a1=6,且an-an-1=an-1n+n+1(n∈N*,n≥2),则这个数列的通项an=________. 答案:(n+1)(n+2)
解:由已知等式得nan=(n+1)an-1+n(n+1)(n∈N*,n≥2),则ann+1-an-1n=1,所以数列{ann+1}是以a12=3为首项,1为公差的等差数列,即ann+1=n+2,则an=(n+1)(n+2).n=1时,此式也成立.

小结与拓展:对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。

题型2 以等比数列为模型的实际问题
例2 (2005年春季上海,20)某市2004年底有住房面积1200万平方米,计划从2005年起,每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.
(1)分别求2005年底和2006年底的住房面积;
(2)求2024年底的住房面积.(计算结果以万平方米为单位,且精确到0.01)
剖析:本题实质是一个等比数列的求和问题.
解:(1)2005年底的住房面积为
1200(1+5%)-20=1240(万平方米),
2006年底的住房面积为
1200(1+5%)2-20(1+5%)-20=1282(万平方米),
∴2005年底的住房面积为1240万平方米,2006年底的住房面积为1282万平方米.
(2)2024年底的住房面积为
1200(1+5%)20-20(1+5%)19-20(1+5%)18-…-20(1+5%)-20
=1200(1+5%)20-20×
≈2522.64(万平方米),
∴2024年底的住房面积约为2522.64万平方米.
评述:应用题应先建立数学模型,再用数学知识解决,然后回到实际问题,给出答案.

变式训练2 从2002年1月2日起,每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄,若年利率为p,且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款,到2008年1月1日将所有存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数为___ _万元.
答案: [(1+p)7-(1+p)]
解:存款从后向前考虑
(1+p)+(1+p)2+…+(1+p)5
= = [(1+p)7-(1+p)].
注:2008年不再存款.
小结与拓展:对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。

题型3 数列与函数、不等式等问题的综合应用
例3 ()在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N).
(1)试判断数列{1an}是否为等差数列;(2)设{bn}满足bn=1an,求数列{bn}的前n项为Sn;
(3)若λan+1an+1≥λ,对任意n≥2的整数恒成立,求实数λ的取值范围.
解:(1)∵a1≠0,∴an≠0,∴由已知可得1an-1an-1=3(n≥2),故数列{1an}是等差数列.
(2)由(1)的结论可得bn=1+(n-1)×3,所以bn=3n-2,
∴Sn=n(1+3n-2)2=n(3n-1)2.
(3)将an=1bn=13n-2代入λan+1an+1≥λ并整理得λ(1-13n-2)≤3n+1,
∴λ≤(3n+1)(3n-2)3n-3,原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立.
设Cn=(3n+1)(3n-2)3n-3,则Cn+1-Cn=(3n+1)(3n-4)3n(n-1)>0,故Cn+1>Cn,
∴Cn的最小值为C2=283, ∴λ的取值范围是(-∞,283].

变式训练3 已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*都有Sn=23an-13,若1<Sk<9(k∈N*),则k的值为________.答案:4
解:∵Sn=23an-13,∴S1=23a1-13=a1,a1=-1.an=Sn-Sn-1(n>1),即an=(23an-13)-(23an-1-13)=23an-23an-1,整理得:anan-1=-2,∴{an}是首项为-1,公比为-2的等比数列,Sk=a1(1-qk)1-q=(-2)k-13,∵1<Sk<9,∴1<(-2)k-13<9,即4<(-2)k<28,仅当k=4时不等式成立.

小结与拓展:数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.

四、归纳与总结(以学生为主,师生共同完成)
1.等差、等比数列的应用题常见于:产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题,求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题. 解应用题的关键是建立数学模型,转化为数学问题,要加强培养转化意识.
2.将实际问题转化为数列问题时应注意:
(1)分清是等差数列还是等比数列;
(2)分清是求an还是求Sn,特别要准确地确定项数n.
3.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.
4.强化转化思想、方程思想的应用.





本文来自:逍遥右脑记忆 http://www.jiyifa.net/gaosan/42049.html

相关阅读:2012届高考数学第一轮导学案复习:二次函数