2013年高考数学总复习 6-2 等差数列但因为测试 新人教B版
1.()(2011•温州十校二模)若Sn是等差数列{an}的前n项和,a2+a10=4,则S11的值为( )
A.12 B.18
C.22 D.44
[答案] C
[解析] 根据等差数列的性质可知S11=11a1+a112=11a2+a102=11×42=22,故选C.
(理)(2011•北京海淀期中)已知数列{an}为等差数列,Sn是它的前n项和.若a1=2,S3=12,则S4=( )
A.10 B.16
C.20 D.24
[答案] C
[解析] S3=3a2,又S3=12,∴a2=4,∴d=a2-a1=2,∴a4=a1+3d=8,S4=4a1+a42=20,故选C.
2.()(2011•福州模拟)等差数列{an}的前n项和 为Sn,若a2+a6+a7=18,则S9的值是( )
A.64 B.72
C.54 D.以上都不对
[答案] C
[解析] 由a2+a6+a7=3a1+12d=3a5=18,得a5=6.
所以S9=9a1+a92=9a5=54.
(理)(2010•东日照模拟)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若a=8,则为( )
A.12 B.8
C.6 D.4
[答案] B
[解析] 由等差数列性质知,a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,
∴a8=8.
∴=8.故选B.
3.()(2011•西安五校一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a3+a7=-6,则当Sn取最小值时,n等于( )
A.8 B.7
C.6 D.9
[答案] C
[解析] 设等差数列{an}的公差为d,依题意得a3+a7=2a5=-6,∴a5=-3,∴d=a5-a15-1=2,∴an=-11+(n-1)×2=2n-13.令an>0得n>6.5,即在数列{an}中,前6项均为负数,自第7项起以后各项均为正数,因此当n=6时,Sn取最小值,选C.
(理)(2011•江西八校联考)设数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,已知a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意n∈N*,都有Sn≤Sk成立,则k的值为( )
A.22 B.21
C.20 D.19
[答案] C
[解析] 设等差数列{an}的公差为d,则有3d=93-99=-6,∴d=-2;∴a1+(a1+3d)+(a1+6d)=3a1+9d=3a1-18=9 9,∴a1=39,∴an=a1+(n-1)d=39-2(n-1)=41-2n.令an=41-2n>0得n<20.5,即在数列{an}中,前20项均为正,自第21项起以后各项均为负,因此在其前n项和中,S20最大.依题意得知,满足题意的k值是20,选C.
4.()(2010•东青岛质检)已知不等式x2-2x-3<0的整数解构成等差数列{an}的前三项,则数列{an}的第四项为( )
A.3 B.-1
C.2 D.3或-1
[答案] D
[解析] 由x2-2x-3<0及x∈Z得x=0,1,2.
∴a4=3或-1.故选D.
(理)已知方程(x2-2x+)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为14的等差数列,则-n=( )
A.1 B.34
C.12 D.38
[答案] C
[解析] 设x2-2x+=0的根为x1,x2且x1<x2,
x2-2x+n=0的根为x3,x4且x3<x4,且x1=14,
又x1+x2=2,∴x2=74,
又x3+x4=2,且x1,x3,x4,x2成等差数列,
∴公差d=13(74-14)=12,∴x3=34,x4=54.
∴-n=14×74-34×54=12,故选C.
5.(2011•江西九校联考)已知数列2,x,y,3为等差数列,数列2,,n,3为等比数列,则x+y+n的值为( )
A.16 B.11
C.-11 D.±11
[答案] B
[解析] 依题意得x+y=2+3=5,n=2×3=6,x+y+n=11,选B.
6.()在函数y=f(x)的图象上有点列(xn,yn),若数列{xn}是等差数列,数列{yn}是等比数列,则函数y=f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=2x+1 B.f(x)=4x2
C.f(x)=log3x D.f(x)=34x
[答案] D
[解析] 对于函数f(x)=34x上的点列(xn,yn),有yn=34xn,由于{xn}是等差数列,所以xn+1-xn=d,因此yn+1yn=34xn+134xn=34xn+1-xn=34d,这是一个与n无关的常数,故{yn}是等比数列.故选D.
[点评] 根据指数与对数运算的性质知真数成等比(各项为正),其对数成等差,指数成等差时,幂成等比.
(理)(2011•江南十校联考)已知直线(3+1)x+(1-)y-4=0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第一项与第二项,若bn=1an•an+1,数列{bn}的前n项和为Tn,则T10=( )
A.921 B.1021
C.1121 D.2021
[答案] B
[解析] 依题意,将(3+1)x+(1-)y-4=0化为(x+y-4)+(3x-y)=0,令x+y-4=03x-y=0,解得x=1y=3,
∴直线(3+1)x+(1-)y-4=0过定点(1,3),
∴a1=1,a2=3,公差d=2,an=2n-1,
∴bn=1an•an+1=12(12n-1-12n+1),
∴T10=12×(11-13+13-15+…+120-1-120+1)
=12×(1-121)=1021.故选B.
7.(2011•洛阳部分重点中学教学检测)已知a,b,c是递减的等差数列,若将其中两个数的位置对换,得到一个等比数列,则a2+c2b2的值为________.
[答案] 20
[解析] 依题意得①a+c=2bb2=ac,或②a+c=2ba2=bc,或③a+c=2bc2=ab.由①得a=b=c,这与“a,b,c是递减的等差数列”矛盾;由②消去c整理得(a-b)(a+2b)=0,又a>b,因此a=-2b,c=4b,a2+c2b2=20;由③消去a整理得(c-b)(c+2b)=0,又b>c,因此有c=-2b,a=4b,a2+c2b2=20.
8.()(2011•天津,11)已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,n∈N*,若a3=16,S20=20,则S10的值为________.
[答案] 110
[解析] 由题意,设公差为d,a1+2d=1620a1+20×20-12d=20,
解得a1=20d=-2
∴S10=10a1+1010-12d=110.
(理)(2011•江苏南通、 扬州、泰州高三调研)设等差数列{an}的公差为正数,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=________.
[答案] 105
[解析] ∵a1+a2+a3=15a1a2a3=80,
∴a2=5,a1a3=16,∴a1+d=5a1a1+2d=16,
∵d>0,∴d=3a1=2,
∴a11+a12+a13=3a1+33d=105.
9.()将正偶数按下表排成5列:
第1列第2列第3列第4列第5列
第1行2468
第2行16141210
第3行18202224
…………2826
那么2010应该在第________行第________列.
[答案] 252,4
[解析] 通项an=2n,故2010为第1005项,∵1005=4×251+1,
又251为奇数,因此2010应排在第252行,且第252行从右向左排第一个数,即252行第4列.
(理)已知an=n的各项排列成如图的三角形状:
记A(,n)表示第行的第n个数,则A(21,12)=________.
a1
a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9
… … … … … … … … … …
[答案] 412
[解析] 由题意知第1行有1个数,第2行有3个数,……第n行有2n-1个数,故前n行有Sn=n[1+2n-1]2=n2个数,因此前20行共有S20=400个数,故第21行的第一个数为401,第12个数为412,
即A(21,12)=412.
10.()(2011•济南模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N+)在函数f(x)=3x2-2x的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=3an•an+1,求数列{bn}的第n项和Tn.
[解析] (1)由已知点(n,Sn)(n∈N+)在函数f(x)=3x2-2x的图象上,可得Sn=3n2-2n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-3(n-1)2+2(n-1)=6n-5,
当n=1时,a1=S1=1也适合上式,∴an=6n-5.
(2)bn=3anan+1=36n-56n+1
=12(16n-5-16n+1)
∴Tn=12(11-17+17-113+…+16n-5-16n+1)
=12(1-16n+1)=12-112n+2.
(理)(2011•重庆,16)设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{an+bn}的前n项和Sn.
[解析] (1)设等比数列{an}的公比为q,由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4,即q2-q-2=0,
解得q=2或q=-1(舍),∴q=2
∴an=a1•qn- 1=2•2n-1=2n
(2)数列bn=1+2(n-1)=2n-1
∴Sn=2×1-2n1-2+[n×1+nn-12×2]
=2n+1+n2-2.
11.()(2011•合肥一模)已知等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,12a3,2a2成等差数列,则a9+a10a7+a8=( )
A.1+2 B.1-2
C.3+22 D.3-22
[答案] C
[解析] 设等比数列{an} 的公比为q(q>0),则由题意得a3=a1+2a2,即a1q2=a1+2a1q,
∵a1>0,∴q2-2q-1=0,∴q=1±2.
又q>0,因此有q=1+2,
∴a9+a10a7+a8=q2a7+a8a7+a8=q2=(1+2)2=3+22,选C.
(理)已知在等差数列{an}中,对任意n∈N*,都有an>an+1,且a2,a8是方程x2-12x+=0的两根,且前15项的和S15=,则数列{an}的公差是( )
A.-2或-3 B.2或3
C.-2 D.3
[答案] A
[解析] 由2a5=a2+a8= 12,得a5=6,
由S15=得a8=15.
又因为a8是方程x2-12x+=0的根,
解之得=0,或=-45,
则a8=0,或a8=-3.
由3d=a8-a5得d=-2,或d=-3.
12.(2011•烟台诊断)设等差数列{an}的前n项和为Sn且S15>0,S16<0,则S1a1,S2a2,…,S15a15中最大的是( )
A.S15a15 B.S9a9
C.S8a8 D.S1a1
[答案] C
[解析] S15>0S16<0⇒a1+7d>0,a1+152d<0⇒a8>0a9<0.
∴0<S1<S2<…<S8>S9>S10>…>S15>0>S16,a1>a2>…>a8>0>a9
∴S8a8最大.故选C.
13.()(2011•湖北,9)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( )
A.1升 B.6766升
C.4744升 D.3733升
[答案] B
[解析] 设该数列为{an}公差为d,则
a1+a2+a3+a4=3a7+a8+a9=4即4a1+6d=33a1+21d=4解之得a1=1322d=766,
所以第5节的容积为a5=a1+4d=1322+766×4=6766.
(理)(2011•哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学联合模拟)已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,若S21=S4000,O为坐标原点,点P(1,an),点Q(2011,a2011),则OP→•OQ→等于 ( )
A.2011 B.-2011
C.0 D.1
[答案] A
[解析] S21=S4000⇒a22+a23+…+a4000=0⇒a2011=0,
又P(1,an),Q(2011,a2011),则OP→=(1,an),OQ→=(2011,a2011),
∴OP→•OQ→=(1,an)•(2011,a2011)=2011+ana2011=2011,故选A
14.()(2011•哈尔滨六中模拟)若数列{xn}满足xn-xn-1=d,(n∈N*,n≥2),其中d为常数,x1+x2+…+x20=80,则x5+x16=________.
[答案] 8
[解析] 由xn-xn-1=d知{xn}为公差为d的等差数列,
∴x1+x2+…+x20=80⇒10(x1+x20)=80⇒x1+x20=8,
∴x5+x16=x1+x20=8.
(理)(2011•莱阳模拟)数列{a n},{bn}都是等差数列,a1=0,b1=-4,用Sk、Sk′分别表示等差数列{an}和{bn}的前k项和(k是正整数),若Sk+Sk′=0,则ak+bk=________.
[答案] 4
[解析] 由条件知,Sk+Sk′=kk-12d+kk-12d′-4k=kk-1d+d′2-4k=0,
∵k是正整数,∴(k-1)(d+d′)=8,
∴ak+bk=(k-1)d-4+(k-1)d′
=(k-1)(d+d′)-4=4.
15.()(2011•杭州质量检测)已知正数数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的正整数n满足2Sn=an+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=1an•an+1,求数列{bn}的前n项和Bn.
[解析] (1)由2Sn=an+1,n=1代入得a1=1,
两边平方得4Sn=(an+1)2 ①
①式中n用n-1代替得4Sn-1=(an-1+1)2
(n≥2) ②
①-②,得4an=(an+1)2-(an-1+1)2,0=(an-1)2-(an-1+1)2,
[(an-1)+(an-1+1)]•[(an-1)-(an-1+1)]=0,
∵{an}是正数数列,∴an-an-1=2,
所以数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,
∴an=2n-1.
(2)bn=1an•an+1=12n-12n+1
=1212n-1-12n+1,
裂项相消得Bn=b1+b2+…+bn=12[(1-13)+(13-15)+…+(12n-1-12n+1)]=n2n+1.
(理)(2011•河南郑州质量检测)已知数列{an}的前n项和Sn=2-an,数列{bn}满足b1=1,b3+b7=18,且bn-1+bn+1=2bn(n≥2).
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若cn=bnan,求数列{cn}的前n项和Tn.
[解析] (1)由题意Sn=2-an, ①
当n≥2时,Sn-1=2-an-1, ②
①-②得an=Sn-Sn-1=an-1-an,
即an=12an-1,又a1=S1=2-a1,
∴a1=1,故数列{an}是以1为首项,12为公比的等 比数列.所以an=12n-1;
由bn-1+bn+1=2bn(n≥2)知,数列{bn}是等差数列,
设其公差为d,则b5=12(b3+b7)=9,
所以d=b5-b14=2,bn=b1+(n-1)d=2n-1.
综上,数列{an}和{bn}的通项公式为
an=12n-1,bn=2n-1.
(2)cn=bnan=(2n-1)•2n-1,
Tn=c1+c2+c3+…+cn
=1×20+3×21+5×22+…+(2n-1)×2n-1, ③
2Tn=1×21+3×22+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n, ④
③-④得:-Tn=1+2(21+22+23+…+2n-1)-(2n-1)•2n
=1+2×2-2n1-2-(2n-1)•2n=-(2n-3)•2n-3.
∴Tn=(2n-3)•2n+3.
1.(2011•郑州一测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4S8=13,则S8S16=( )
A.18 B.13
C.19 D.310
[答案] D
[解析] 设a1+a2+a3+a4=A1,a5+a6+a7+a8=A2,a9+a10+a11+a12=A3,a13+a14+a15+a16=A4,∵数列{an}为等差数列,∴A1、A2、A3、A4也成等差数列,S4S8=A1A1+A2=13,不妨设A1=1,则A2=2,A3=3,A4=4,S8S16=A1+A2A1+A2+A3+A4=1+21+2+3+4=310,故选D.
2.(2011•济宁模拟)将正偶数集合{2,4,6…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组,第一组{2,4},第二组{6,8,10,12},第三组{14,16,18,20,22,24},则2010位于第( )组.
A.30 B.31
C.32 D.33
[答案] C
[解析] 因为第n组有2n个正偶数,故前n组共有2+4+6+…+2n=n2+n个正偶数.2010是第1005个正偶数.若n=31,则n2+n=992,而第32组中有偶数64个,992+64=1056,故2010在第32组.
3.(2011•黄冈3月质检)设数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,bn是以1为首项,2为公比的等比数列,则ab1+ab2+…+ab10=( )
A.1033 B.2057
C.1034 D.2058
[答案] A
[解析] 依题意得an=2+(n-1)×1=n+1,bn=1×2n-1=2n-1,abn=bn+1=2n-1+1,因此ab1+ab 2+…+ab10=(20+1)+(21+1)+…+(29+1)=1×210-12-1+10=210+9=1033,故选A.
4.(2010•北京顺义一中)一个算法的程序框图如下图所示,若该程序输出的结果为56,则判断框中应填入的条件是( )
A.i<4? B.i<5?
C.i≥5? D.i<6?
[答案] D
[解析] 由题意知S=11×2+12×3+…+1ii+1=1-12+12-13+…+1i-1i+1=ii+1,故要输出S=56,i=5时再循环一次,故条件为i≤5或i<6,故选D.
5.已知函数f(x)=sinx+tanx.项数为27的等差数列{an}满足an∈-π2,π2,且公差d≠0.若f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,则当k=______时,f(ak)=0.
[答案] 14
[解析] ∵f(x)=sinx+tanx为奇函数,且在x=0处有定义,∴f(0)=0.
∵{an}为等差数列且d≠0,
∴ an(1≤n≤27,n∈N*)对称分布在原点及原点两侧,
∵f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,∴f(a14)=0.
∴k=14.
6.(2011•南京一模)已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2•a4=4,a1+a2+a3=14,则满足an•an+1•an+2>19的最大正整数n的值为________.
[答案] 4
[解析] 设等比数列{an}的公比为q,其中q>0,依题意得a23=a2•a4=4,又a3>0,因此a3=a1q2=2,a1+a2=a1+a1q=12,由此解得q=12,a1=8,an=8×(12)n-1=24-n,an•an+1•an+2=29-3n.由于2-3=18>19,因此要使29-3n>19,只要9-3n≥-3,即n≤4,于是满足an•an+1•an+2>19的最大正整数n的值为4.
7.(2011•浙江金华联考)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn为数列{1anan+1}的前n项和,若Tn≤λan+1对一切n∈N*恒成立,求实数λ的最小值.
[解析] 设公差为d.
由已知得4a1+6d=14,a1+2d2=a1a1+6d,
联立解得d=1或d=0(舍去),
∴a1=2,故an=n+1.
(2)1anan+1=1n+1n+2=1n+1-1n+2,
∴Tn=12-13+13-14+…+1n+1-1n+2=12-1n+2=n2n+2.
∵Tn≤λan+1,∴n2n+2≤λ(n+2),∴λ≥n2n+22.
又n2n+22=12n+4n+4≤124+4=116.
等号在n=4n即n=2时成立.
∴λ的最小值为116.
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