2012年高中数学联赛陕西赛区预赛试题
(5月20日 上午 8:30---11:00)
第一试
题:(每小题8分，共80分)要求直接将答案填在题中的横线上.
1.已知集合 ,若非空集合 满足： 中各元素都加4后构成 的一个子集， 中个元素都减去4后也构成 的一个子集，则 .
答案:
2.已知两条直线 ， ，设函数 的图像与 、 分别交于点A、B，函数 的图像与 、 分别交于点C、D，则直线AB与CD的交点坐标是
答案:
3.对于正整数 ,若 、 ,当 最小时，我们称 为 的“最佳分解”，并规定 .例如，12的分解有12 1，6 2，4 3，其中4 3为12的“最佳分解”，则 .关于 ，有以下四个判断：
① ② ； ③ ； ④ .
其中，所有正确判断的序号是 .
答案:②、④
4.已知 为等腰直角三角形， ，且 ， ，若
，则 的面积等于 .
答案:1
5.在正四面体ABCD中，AO 平面BCD，垂足为O.设是线段AO上一点，且满足 ，则 .
答案:1
6.如图1，Rt 的三个顶点都在给定的抛物线 上，且斜边AB//x轴，则斜边上的高 .
答案:
7.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖（参与游戏活动的都有奖），且相应获奖的概率是以a为首项、2为公比的等比数列，相应获得的奖金是以700元为首项、以 为公差的等差数列.则参与这项游戏活动获得奖金的期望是 元.
答案:500
8.设 、 是两个不同的质数，则 被 除的余数是 .
答案:1
9.定义在R上的函数 满足： ，且对于任意的 ，都有 .则不等式 的解集为 .
答案:
10.从公路旁的材料工地沿笔直的公路向同一方向运送电线杆到500以外的公路边埋栽，在500处栽一根，然后每间隔50在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运三根，要完成运载20根电线杆的任务，并返回材料工地，则运输车总的行程最小为
.
答案:14000
第二试
一、（本题满分20分）
在 中，已知 ，且 .
（1）求角A的大小和 边的长；
（2）若点P在 内运动（含边界），且点P到三边距离之和为d,设点P到边BC、CA的距离分别为 ，试用 表示d,并求d的取值范围.
答案：

二、（本题满分20分）
在平面直角坐标系中，以点 为圆心的圆经过坐标原点 ，且分别与 轴、 轴交于点 （不同于原点 ）.
（1）求证： 的面积 为定值；
（2）设直线 与圆 相交于不同的两点 ，且 ，求圆 的标准方程.
答案：

三、（本题满分20分）
如图2，锐角 内接于圆 ，过圆心 且垂直于半径 的直线分别交边 于点 设圆 在 两点处的切线相交于点 .
求证：直线 平分线段 .
证明：如图4，过点 作 的平行线，分别交 延长线于点 ，则
因为 是 的外心，所以

所以
又 为圆 的切线，所以 .
所以 ，于是 .
同理
又 ，所以 ，即 平分线段 .
因为 ，故直线 平分线段 .
四、（本题满分30分）
已知数列 满足： ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足： ，且对任意正整数 ,
不等式 恒成立，求整数的最大值.
若存在 ，则由 知， .依次类推， ，这与 矛盾.故
于是，由 ，得
，即 .
所以 是首项为3、公比为3的等比数列.
所以 ，即
由（1）得 .从而 .
于是，不等式 等价于

令 则

所以 单调递增.
所以 .
于是， ，即 .
故整数 的最大值为13.

五、（本题满分30分）
对于任意的正整数n,证明：
.
证明：记 ， .
先证明：对任意 ，有 .
事实上，



因为 单调递增，所以 .
故
再证明：对任意 ，有 .
当 时， ，不等式成立.
当 时，
（1）若 为奇数，令 ，则



（2）若 为偶数，令 ，则
.
综上所述，对任意 ，都有 .

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