江苏省泰州市泰兴三中2014届高三（上）期中数学试卷（理科）　一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）已知复数z=x+yi（x，y∈R），且z（1+2i）=5，则x+y=　_________　．2．（5分）已知集合M={x5?2x?3∈N+}，则M的所有非空真子集的个数是　_________　．3．（5分）已知数列{an}是等差数列，且a1+a7+a13=?π，则sina7=　_________　．　4．（5分）给出下列几个命题：①=是=的必要不充分条件；②若A、B、C、D是不共线的四点，则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若=则=④=的充要条件是；⑤若，为互相垂直的单位向量，=?2，=+，则，的夹角为锐角的充要条件是其中，正确命题的序号是　_________　．　5．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2x+1．若f（a）=3，则实数a的值为　_________　．　6．（5分）（2015?徐州一模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2a8=2a3a6，S5=?62，则a1的值是　_________　．7．（5分）若命题“?x∈R，x2+ax+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是　_________　．8．（5分）（2015?镇江一模）方程xlg（x+2）=1有　_________　个不同的实数根．9．（5分）已知=（1，sin2x），=（2，sin2x），其中x∈（0，π），若=?，则tanx的值等于 　_________　．　10．（5分）（已知f（x）是定义在[?2，2]上的函数，且对任意实数x1，x2（x1≠x2），恒有，且f（x）的最大值为1，则满足f（log2x）＜1的解集为 　_________　．　11．（5分）（2015?盐城一模）如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=2，，=，若=，则=　_________　．　12．（5分）将函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在上为增函数，则ω的最大值为　_________　．13．（5分）设等差数列{an}的首项及公差均是正整数，前n项和为Sn，且a1＞1，a4＞6，S3≤12，则a2015=　_________　．　14．（5分）已知函数f（x）=（a为常数，e为自然对数的底数）的图象在点A（e，1）处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是　_________　．　二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15．（14分）已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若=2，且∥，求的坐标；（2）若=，且+2与2?垂直，求与的夹角θ．16．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c2=a2+b2?ab．（Ⅰ）若，求角B；（Ⅱ）设，，试求的取值范围．　17．（15分）（2015?南通一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a2+b2的取值范围．　18．（15分）如图，在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点（N，M）在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，（1）按下列要求写出函数的关系式： ①设PN=x，将y表示成x的函数关系式； ②设∠POB=θ，将y表示成θ的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值．　19．（16分）已知函数f（x）=asinx?x+b（a、b均为正的常数）．（1）求证函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；（2）设函数f（x）在处有极值①对于一切，不等式f（x）＞sinx+cosx总成立，求b的取值范围；②若函数f（x）在区间（上单调递增，求实数m的取值范围．　20．（16分）已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an} 前n项和为Sn，且满足S3=a4，a3+a5=2+a4（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}前2k项和S2k；（3）在数列{an}中，是否存在连续的三项am，am+1，am+2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m的值；若不存在，说明理由．　参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．　1　．2．　510　．3． 　．4．①②　．5．　?1或1　．6．　?2　．7．（?∞，?2）∪（2，+∞）　．8． 2　 9．　1　．10．　[，4）　．解：∵对任意实数x1，x2（x1≠x2），恒有，∴f（x）是定义在[?2，2]上的增函数∴f（x）的最大值为：f（2）=1∴f（log2x）＜1可转化为：f（log2x）＜f（2）∴可得：解得：故答案为：[，4）11．　0　．解：∵在等腰三角形ABC中，底边BC=2，∴可取BC的中点O作为坐标原点距离平面直角坐标系．则B（?1，0），C（1，0），设A（0，a）（a＞0）．∵，∴D．∴=，=（1，?a）．∵=，∴，解得．∴．∵，∴，∴==．∴．∴===0．故答案为0．12．　2　．解：函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinωx，y=g（x）在上为增函数，所以，即：ω≤2，所以ω的最大值为：2．故答案为：2．13．　4026　．解：由题意可得设an=a1+（n?1）d，则Sn=na1+d，由a1＞1，a4＞6，S3≤12，得a1+3d＞6，3a1+3d≤12，解得6?3d＜a1≤12?d，因为首项及公差均是正整数，所以a1=2，d=2所以an=2n，a2015=4026．故答案为：4026．14．　　．解：当x≥1，函数f（x）的导数，f'（x）=，则f'（e）=，则在A（e，1）处的切线方程为y?1=（x?e），即y=．当x≥1时，切线和函数f（x）=lnx有且只有一个交点，∴要使切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则当x＜1时，函数f（x）==，有两个不同的交点，即（x+2）（x?a）=x，在x＜1时，有两个不同的根，设g（x）=（x+2）（x?a）?x=x2+（1?a）x?2a，则满足，即，∴，解得或，即实数a的取值范围是．故答案为：．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15．解：（1）设，∵=2，且∥，∴，…（3分）解得 或，…（5分）故 或．…（6分）（2）∵，∴， 即，…（8分）∴，整理得，…（10分）∴，…（12分）又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．…（14分）16．解：（Ⅰ），由∵又∵（Ⅱ）=3sinA+cos2A=3sinA+1?2sin2A=?2（sinA?+∵，所以得的取值范围为17．解：（1）在△ABC中，∵，∴=，化简可得 sinCcosA?cosCsinA=sinBcosC?cosBsinC，即 sin（C?A）=sin（B?C）．∴C?A=B?C，或者C?A=π?（B?C） （不成立，舍去），即 2C=A+B，∴C=．（2）由于C=，设A=+α，B=?α，?＜α＜，由正弦定理可得 a=2rsinA=sinA，b=2rsinB=sinB，∴a2+b2=sin2A+sin2B=+=1?[cos（+2α）+cos（?2α）]=1+cos2α．由?＜2α＜，可得?＜cos2α≤1，∴＜1+cos2α≤，即a2+b2的取值范围为 （，]．18．解：（1）①因为ON=，OM=，所以MN=，（2分）所以y=x（） x∈（0，）．（4分）②因为PN=sinθ，ON=，OM=，所以MN=ON?OM=（6分）所以y=sinθ，即y=3sinθcosθ?sin2θ，θ∈（0，）（8分）（2）选择y=3sinθcosθ?sin2θ=sin（2θ+）?，（12分）∵θ∈（0，）∴（13分）所以．（14分）点评：本题是中档题，考查函数解析式的求法，三角函数的最值的确定，三角函数公式的灵活运应，考查计算能力，课本题目的延伸．如果选择①需要应用导数求解，麻烦，不是命题者的本意．　19．（1）证明：∵函数f（x）=asinx?x+b，a、b均为正的常数∴f（0）=b＞0，f（a+b）=asin（a+b）?a?b+b=a[sin（a+b）?1]≤0∴函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；（2）f′（x）=acosx?1，∵函数f（x）在处有极值，∴f′（）=acos?1=0，∴a=2∴f（x）=asinx?x+b=2sinx?x+b①不等式f（x）＞sinx+cosx等价于b＞cosx?sinx+x对于一切总成立设g（x）=cosx?sinx+x，∴g′（x）=?sinx?cosx+1=∵，∴，∴，∴g′（x）≤0∴g（x）=cosx?sinx+x在上是单调减函数，且最大值为1欲使b＞cosx?sinx+x对于一切总成立，只需要b＞1即可②由f′（x）=2cosx?1＞0，可得x∈（k∈Z）∴函数f（x）单调递增区间为（k∈Z）∵函数f（x）在区间（上单调递增∴，∴6k≤m≤1+3k，且m＞0∵6k≤1+3k，1+3k＞0（k∈Z），∴＜k≤0∴k=0，0≤m≤1即实数m的取值范围为[0，1]．20．解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则a1=1，a2=2，a3=1+d，a4=2q，a5=1+2d．∵S3=a4，∴1+2（1+d）=2q，即4+d=2q，又a3+a5=2+a4，∴1+d+1+2d=2+2q，即3d=2q，解得d=2，q=3．∴对于k∈N*，有a2k?1=1+（k?1）?2=2k?1，故，k∈N*．（2）S2k=（a1+a3+…+a2k?1）+（a2+a4+…+a2k）=[1+3+…+（2k?1）]+2（1+3+32+…+3k?1）=．（3）在数列{an}中，仅存在连续的三项a1，a2，a3，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m的值为1，下面说明理由若am=a2k，则由am+am+2=2am+1，得2×3k?1+2×3k=2（2k+1）．化简得4?3k?1=2k+1，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立．若am=a2k?1，则由am+am+2=2am+1，得（2k?1）+（2k+1）=2×2×3k?1化简得k=3k?1，令（k∈N*），则．因此，1=T1＞T2＞T3＞…，故只有T1=1，此时K=1，m=2×1?1=1．综上，在数列{an}中，仅存在连续的三项a1，a2，a3，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m的值为1． 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的江苏省泰州市泰兴三中2015届高三上学期期中考试数学理试题（含答案）
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