高中数学竞赛标准教材(第十一章圆锥曲线)

编辑: 逍遥路 关键词: 高三 来源: 高中学习网


第十一 圆锥曲线

一、基础知识
1.椭圆的定义,第一定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间的距离)的点的轨迹,即PF1+PF2=2a (2a>F1F2=2c).
第二定义:平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹(其中定点不在定直线上),即
(0<e<1).
第三定义:在直角坐标平面内给定两圆c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b∈R+且a≠b。从原点出发的射线交圆c1于P,交圆c2于Q,过P引y轴的平行线,过Q引x轴的平行线,两条线的交点的轨迹即为椭圆。
2.椭圆的方程,如果以椭圆的中心为原点,焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系,由定义可求得它的标准方程,若焦点在x轴上,列标准方程为
(a>b>0),
参数方程为 ( 为参数)。
若焦点在y轴上,列标准方程为
(a>b>0)。
3.椭圆中的相关概念,对于中心在原点,焦点在x轴上的椭圆

a称半长轴长,b称半短轴长,c称为半焦距,长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0);与左焦点对应的准线(即第二定义中的定直线)为 ,与右焦点对应的准线为 ;定义中的比e称为离心率,且 ,由c2+b2=a2知0<e<1.
椭圆有两条对称轴,分别是长轴、短轴。
4.椭圆的焦半径公式:对于椭圆 1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一点,则PF1=a+ex, PF2=a-ex.
5.几个常用结论:1)过椭圆上一点P(x0, y0)的切线方程为

2)斜率为k的切线方程为 ;
3)过焦点F2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为

6.双曲线的定义,第一定义:
满足PF1-PF2=2a(2a<2c=F1F2, a>0)的点P的轨迹;
第二定义:到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。
7.双曲线的方程:中心在原点,焦点在x轴上的双曲线方程为

参数方程为 ( 为参数)。
焦点在y轴上的双曲线的标准方程为

8.双曲线的相关概念,中心在原点,焦点在x轴上的双曲线
(a, b>0),
a称半实轴长,b称为半虚轴长,c为半焦距,实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F1(-c,0), F2(c, 0),对应的左、右准线方程分别为 离心率 ,由a2+b2=c2知e>1。两条渐近线方程为 ,双曲线 与 有相同的渐近线,它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b,则称为等轴双曲线。
9.双曲线的常用结论,1)焦半径公式,对于双曲线 ,F1(-c,0), F2(c, 0)是它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点,若P在右支上,则PF1=ex+a, PF2=ex-a;若P(x,y)在左支上,则PF1=-ex-a,PF2=-ex+a.
2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是 。
10.抛物线:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫焦点,直线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴,x轴与l相交于,以线段F的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,设F=p,则焦点F坐标为 ,准线方程为 ,标准方程为y2=2px(p>0),离心率e=1.
11.抛物线常用结论:若P(x0, y0)为抛物线上任一点,
1)焦半径PF= ;
2)过点P的切线方程为y0y=p(x+x0);
3)过焦点倾斜角为θ的弦长为 。
12.极坐标系,在平面内取一个定点为极点记为O,从O出发的射线为极轴记为Ox轴,这样就建立了极坐标系,对于平面内任意一点P,记OP=ρ,∠xOP=θ,则由(ρ,θ)唯一确定点P的位置,(ρ,θ)称为极坐标。
13.圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P,若0<e<1,则点P的轨迹为椭圆;若e>1,则点P的轨迹为双曲线的一支;若e=1,则点P的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为 。
二、方法与例题
1.与定义有关的问题。
例1 已知定点A(2,1),F是椭圆 的左焦点,点P为椭圆上的动点,当3PA+5PF取最小值时,求点P的坐标。
[解] 见图11-1,由题设a=5, b=4, c= =3, .椭圆左准线的方程为 ,又因为 ,所以点A在椭圆内部,又点F坐标为(-3,0),过P作PQ垂直于左准线,垂足为Q。由定义知 ,则 PF=PQ。
所以3PA+5PF=3(PA+ PF)=3(PA+PQ)≥3A(A 左准线于)。
所以当且仅当P为A与椭圆的交点时,3PA+5PF取最小值,把y=1代入椭圆方程得 ,又x<0,所以点P坐标为
例2 已知P, 为双曲线C: 右支上两点, 延长线交右准线于,PF1延长线交双曲线于Q,(F1为右焦点)。求证:∠ F1=∠F1Q.
[证明] 记右准线为l,作PD l于D, 于E,因为 //PD,则 ,又由定义 ,所以 ,由三角形外角平分线定理知,F1为∠PF1P的外角平分线,所以∠ =∠F1Q。
2.求轨迹问题。
例3 已知一椭圆及焦点F,点A为椭圆上一动点,求线段FA中点P的轨迹方程。
[解法一] 利用定义,以椭圆的中心为原点O,焦点所在的直线为x轴,建立直角坐标系,设椭圆方程: =1(a>b>0).F坐标为(-c, 0).设另一焦点为 。连结 ,OP,则 。所以FP+PO= (FA+A )=a.
所以点P的轨迹是以F,O为两焦点的椭圆(因为a>FO=c),将此椭圆按向量m=( ,0)平移,得到中心在原点的椭圆: 。由平移公式知,所求椭圆的方程为

[解法二] 相关点法。设点P(x,y), A(x1, y1),则 ,即x1=2x+c, y1=2y. 又因为点A在椭圆 上,所以 代入得关于点P的方程为 。它表示中心为 ,焦点分别为F和O的椭圆。
例4 长为a, b的线段AB,CD分别在x轴,y轴上滑动,且A,B,C,D四点共圆,求此动圆圆心P的轨迹。
[解] 设P(x, y)为轨迹上任意一点,A,B,C,D的坐标分别为A(x- ,0), B(x+ ,0), C(0, y- ), D(0, y+ ), 记O为原点,由圆幂定理知OA•OB=OC•OD,用坐标表示为 ,即
当a=b时,轨迹为两条直线y=x与y=-x;
当a>b时,轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线;
当a<b时,轨迹为焦点在y轴上的两条等轴双曲线。
例5 在坐标平面内,∠AOB= ,AB边在直线l: x=3上移动,求三角形AOB的外心的轨迹方程。
[解] 设∠xOB=θ,并且B在A的上方,则点A,B坐标分别为B(3, 3tanθ),A(3,3tan(θ- )),设外心为P(x,y),由中点公式知OB中点为 。
由外心性质知 再由 得
×tanθ=-1。结合上式有
•tanθ= ①
又 tanθ+ = ②

所以tanθ- = 两边平方,再将①,②代入得 。即为所求。
3.定值问题。
例6 过双曲线 (a>0, b>0)的右焦点F作B1B2 轴,交双曲线于B1,B2两点,B2与左焦点F1连线交双曲线于B点,连结B1B交x轴于H点。求证:H的横坐标为定值。
[证明] 设点B,H,F的坐标分别为(asecα,btanα), (x0, 0), (c, 0),则F1,B1,B2的坐标分别为(-c, 0), (c, ), (c, ),因为F1,H分别是直线B2F,BB1与x轴的交点,所以

所以


由①得
代入上式得
即 (定值)。
注:本例也可借助梅涅劳斯定理证明,读者不妨一试。
例7 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在准线上,且BC//x轴。证明:直线AC经过定点。
[证明] 设 ,则 ,焦点为 ,所以 , , , 。由于 ,所以 •y2- y1=0,即 =0。因为 ,所以 。所以 ,即 。所以 ,即直线AC经过原点。
例8 椭圆 上有两点A,B,满足OA OB,O为原点,求证: 为定值。
[证明] 设OA=r1,OB=r2,且∠xOA=θ,∠xOB= ,则点A,B的坐标分别为A(r1cosθ, r1sinθ),B(-r2sinθ,r2cosθ)。由A,B在椭圆上有

即 ①

①+②得 (定值)。
4.最值问题。
例9 设A,B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点,且OA OB(O为原点),求AB的最大值与最小值。
[解] 由题设a=1,b= ,记OA=r1,OB=r2, ,参考例8可得 =4。设m=AB2= ,
因为 ,且a2>b2,所以 ,所以b≤r1≤a,同理b≤r2≤a.所以 。又函数f(x)=x+ 在 上单调递减,在 上单调递增,所以当t=1即OA=OB时,AB取最小值1;当 或 时,AB取最大值 。
例10 设一椭圆中心为原点,长轴在x轴上,离心率为 ,若圆C: 1上点与这椭圆上点的最大距离为 ,试求这个椭圆的方程。
[解] 设A,B分别为圆C和椭圆上动点。由题设圆心C坐标为 ,半径CA=1,因为AB≤BC+CA=BC+1,所以当且仅当A,B,C共线,且BC取最大值时,AB取最大值 ,所以BC最大值为
因为 ;所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t, ,t,椭圆方程为 ,并设点B坐标为B(2tcosθ,tsinθ),则BC2=(2tcosθ)2+ =3t2sin2θ-3tsinθ+ +4t2=-3(tsinθ+ )2+3+4t2.
若 ,则当sinθ=-1时,BC2取最大值t2+3t+ ,与题设不符。
若t> ,则当sinθ= 时,BC2取最大值3+4t2,由3+4t2=7得t=1.
所以椭圆方程为 。
5.直线与二次曲线。
例11 若抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点,试求a的取值范围。
[解] 抛物线y=ax2-1的顶点为(0,-1),对称轴为y轴,存在关于直线x+y=0对称两点的条是存在一对点P(x1,y1), (-y1,-x1),满足y1=a 且-x1=a(-y1)2-1,相减得x1+y1=a( ),因为P不在直线x+y=0上,所以x1+y1≠0,所以1=a(x1-y1),即x1=y1+
所以 此方程有不等实根,所以 ,求得 ,即为所求。
例12 若直线y=2x+b与椭圆 相交,(1)求b的范围;(2)当截得弦长最大时,求b的值。
[解] 二方程联立得17x2+16bx+4(b2-1)=0.由Δ>0,得 <b< ;设两交点为P(x1,y1),Q(x2,y2),由韦达定理得PQ= 。所以当b=0时,PQ最大。
三、基础训练题
1.A为半径是R的定圆⊙O上一定点,B为⊙O上任一点,点P是A关于B的对称点,则点P的轨迹是________.
2.一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m2(>0),则动点的轨迹是________.
3.椭圆 上有一点P,它到左准线的距离是10,它到右焦点的距离是________.
4.双曲线方程 ,则k的取值范围是________.
5.椭圆 ,焦点为F1,F2,椭圆上的点P满足∠F1PF2=600,则ΔF1PF2的面积是________.
6.直线l被双曲线 所截的线段N恰被点A(3,-1)平分,则l的方程为________.
7.ΔABC的三个顶点都在抛物线y2=32x上,点A(2,8),且ΔABC的重心与这条抛物线的焦点重合,则直线BC的斜率为________.
8.已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0,一条准线方程为5y+4=0,则双曲线方程为________.
9.已知曲线y2=ax,与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点,如果过这两个交点的直线的倾斜角为450,那么a=________.
10.P为等轴双曲线x2-y2=a2上一点, 的取值范围是________.
11.已知椭圆 与双曲线 有公共的焦点F1,F2,设P是它们的一个焦点,求∠F1PF2和ΔPF1F2的面积。
12.已知(i)半圆的直径AB长为2r;(ii)半圆外的直线l与BA的延长线垂直,垂足为T,设AT=2a(2a< );(iii)半圆上有相异两点,N,它们与直线l的距离P,NQ满足 求证:A+AN=AB。
13.给定双曲线 过点A(2,1)的直线l与所给的双曲线交于点P1和P2,求线段P1P2的中点的轨迹方程。
四、高考水平测试题
1.双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点,它的一条渐近线方程是 =0,则此双曲线的标准方程是_________.
2.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点,若A,B在抛物线准线上的射影分别是A1,B1,则∠A1FB1=_________.
3.双曲线 的一个焦点为F1,顶点为A1,A2,P是双曲线上任一点,以PF1为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为_________.
4.椭圆的中心在原点,离心率 ,一条准线方程为x=11,椭圆上有一点横坐标为-1,到此准线异侧的焦点F1的距离为_________.
5.4a2+b2=1是直线y=2x+1与椭圆 恰有一个公共点的_________条.
6.若参数方程 (t为参数)表示的抛物线焦点总在一条定直线上,这条直线的方程是_________.
7.如果直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 总有公共点,则m的范围是_________.
8.过双曲线 的左焦点,且被双曲线截得线段长为6的直线有_________条.
9.过坐标原点的直线l与椭圆 相交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点F,则直线l的倾斜角为_________.
10.以椭圆x2+a2y2=a2(a>1)的一个顶点C(0,1)为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC,这样的三角形最多可作_________个.
11.求椭圆 上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。
12.设F,O分别为椭圆 的左焦点和中心,对于过点F的椭圆的任意弦AB,点O都在以AB为直径的圆内,求椭圆离心率e的取值范围。
13.已知双曲线C1: (a>0),抛物线C2的顶点在原点O,C2的焦点是C1的左焦点F1。
(1)求证:C1,C2总有两个不同的交点。
(2)问:是否存在过C2的焦点F1的弦AB,使ΔAOB的面积有最大值或最小值?若存在,求直线AB的方程与SΔAOB的最值,若不存在,说明理由。
五、联赛一试水平训练题
1.在平面直角坐标系中,若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线为椭圆,则m的取值范围是_________.
2.设O为抛物线的顶点,F为焦点,且PQ为过F的弦,已知OF=a,PQ=b,ΔOPQ面积为_________.
3.给定椭圆 ,如果存在过左焦点F的直线交椭圆于P,Q两点,且OP OQ,则离心率e的取值范围是_________.
4.设F1,F2分别是双曲线 (a>b>0)的左、右焦点,P为双曲线上的动点,过F1作∠F1PF2平分线的垂线,垂足为,则的轨迹为_________.
5.ΔABC一边的两顶点坐标为B(0, )和C(0, ),另两边斜率的乘积为 ,若点T坐标为(t,0)(t∈R+),则AT的最小值为_________.
6.长为l(l<1)的线段AB的两端点在抛物线y=x2上滑动,则线段AB的中点到x轴的最短距离等于_________.
7.已知抛物线y2=2px及定点A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa,是抛物线上的点,设直线A,B与抛物线的另一个交点分别为1,2,当变动时,直线12恒过一个定点,此定点坐标为_________.
8.已知点P(1,2)既在椭圆 内部(含边界),又在圆x2+y2= 外部(含边界),若a,b∈R+,则a+b的最小值为_________.
9.已知椭圆 的内接ΔABC的边AB,AC分别过左、右焦点F1,F2,椭圆的左、右顶点分别为D,E,直线DB与直线CE交于点P,当点A在椭圆上变动时,试求点P的轨迹。
10.设曲线C1: (a为正常数)与C2:y2=2(x+m)在x轴上方有一个公共点P。(1)求实数m的取值范围(用a表示);
(2)O为原点,若C1与x轴的负半轴交于点A,当0<a< 时,试求ΔOAP面积的最大值(用a表示)。
11.已知直线l过原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,若点A(-1,0)和B(0,8)关于l的对称点都在C上,求直线l和抛物线的方程。
六、联赛二试水平训练题
1.在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G,求证:∠GAC=∠EAC。
2.求证:在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点,每段长都为1的闭折线,它的每个顶点坐标都是有理数。
3.以B0和B1为焦点的椭圆与ΔAB0B1的边ABi交于Ci(i=0,1),在AB0的延长线上任取点P0,以B0为圆心,B0P0为半径作圆弧 交C1B0的延长线于Q0;以C1为圆心,C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于P1;B1为圆心,B1P1为半径作圆弧P1Q1交B1C0的延长线于Q1;以C0为圆心,C0Q1为半径作圆弧Q1 ,交AB0的延长线于 。求证:(1)点 与点P0重合,且圆弧P0Q0与P0Q1相内切于P0;(2)P0,Q0,P1,Q1共圆。
4.在坐标平面内,从原点出发以同一初速度v0和不同发射角(即发射方向与x轴正向之间 的夹角)α(α∈[0,π],α≠ )射出的质点,在重力的作用下运动轨迹是抛物线,所有这些抛物线组成一个抛物线族,若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直,则称这个交点为正交点。证明:此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧,并求此椭圆弧的方程(确定变量取值范围)。
5.直角ΔABC斜边为AB,内切圆切BC,CA,AB分别于D,E,F点,AD交内切圆于P点。若CP BP,求证:PD=AE+AP。
6.已知BC CD,点A为BD中点,点Q在BC上,AC=CQ,又在BQ上找一点R,使BR=2RQ,CQ上找一点S,使QS=RQ,求证:∠ASB=2∠DRC。
答案:
基础训练题
1.圆。设AO交圆于另一点 是A关于 的对称点。则因为AB ,所以P在以 为直径的圆上。
2.圆或椭圆。设给定直线为y=±kx(k>0),P(x,y)为轨迹上任一点,则 。化简为2k2x2+2y2=m2(1+k2).
当k≠1时,表示椭圆;当k=1时,表示圆。
3.12.由题设a=10,b=6,c=8,从而P到左焦点距离为10e=10× =8,所以P到右焦点的距离为20-8=12。
4.-2<k<2或k<5.由(k-2)(5-k)<0解得k>5或-2<k<2.
5. 设两条焦半径分别为m,n,则因为F1F2=12,m+n=20.由余弦定理得122=m2+n2-2mncos600,即(m+n) 2-3mn=144.所以 ,
6.3x+4y-5=0.设(x1,y1),N(x2,y2),则 两式相减得 -(y1+y2)(y1-y2)=0.由 ,得 。故方程y+1= (x-3).
7.-4.设B(x1,y1),C(x2,y2),则 =0,所以y1+y2=-8,故直线BC的斜率为
8. =1。由渐近线交点为双曲线中心,解方程组 得中心为(2,1),又准线为 ,知其实轴平行于y轴,设其方程为 =1。其渐近线方程为 =0。所以y-1= (x-1).由题设 ,将双曲线沿向量m=(-2,-1)平移后中心在原点,其标准方程为 =1。由平移公式 平移后准线为 ,再结合 ,解得a2=9,b2=16,故双曲线为 =1。
9.2.曲线y2=ax关于点(1,1)的对称曲线为(2-y)2=a(2-x),
由 得y2-2y+2-a=0,故y1+y2=2,从而 =
=1,所以a=2.
10.(2, ]。设P(x1,y1)及 ,由PF1=ex1+a
,PF2=ex1-a,PF1+PF2=2ex1, 所以 ,即 。因 ,所以 ,所以 即2<t≤2 .
11.解:由对称性,不妨设点P在第一象限,由题设F1F22=4 =4c2,又根据椭圆与双曲线定义
解得PF1=a1+a2,PF2=a1-a2.
在ΔF1PF2中,由余弦定理



从而
又sin∠F1PF2=
所以
12.解:以直线AB为x轴,AT的中垂线为y轴建立直角坐标系,则由定义知,N两点既在抛物线y2=4ax上,又在圆[x-(a+r)]2+y2=r2上,两方程联立得x2+(2a-2r)x+2ra+a2=0,设点,N坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=2r-2a.又A=P=x1+a,AN=NP=x2+a. AB=2r,所以
A+AN=x1+x2+2a=2r=AB.
得证。
13.解:若直线l垂直于x轴,因其过点A(2,1),根据对称性,P1P2的中点为(2,0)。
若l不垂直于x轴,设l的方程为y-1=k(x-2),即
y=kx+1-2k. ①
将①代入双曲线方程消元y得
(2-k2)x2+2k(2k-1)x-(4k2-4k+3)=0. ②
这里 且Δ=[2k(2k-1)]2+4(2-k)2(4k2-4k+3)=8(3k2-4k+3)>0,
设x1,x2是方程②的两根,由韦达定理

由①,③得 y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k)
=k(x1+x2)+2(1-2k)= ④
设P1P2的中点P坐标(x,y),由中点公式及③,④得

消去k得

点(2,0)满足此方程,故这就是点P的轨迹方程。
高考水平测试题
1. 由椭圆方程得焦点为 ,设双曲线方程 ,渐近线为 由题设 ,所以a2=3b2,又 ,c2=a2+b2. 所以b2=12, a2=36.
2. 900。见图1,由定义得FA=AA1,FB=BB1,有∠1=∠BFB1,∠2=∠AFA1,又∠1=∠3,∠2=∠4,所以∠3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=900。
3.相切,若P(x,y)在左支上,设F1为左焦点,F2为右焦点,为PF1中点,则O= PF2= (a-ex),又PF1=-a-ex,所以两圆半径之和 (-a-ex)+a= (a-ex)=O,所以两圆外切。当P(x,y)在右支上时,同理得两圆内切。
4. 与F1对应的另一条准线为x=-11,因F1与到直线x=-11距离d1之比为e,且d1=xm+11=10.所以 ,所以F1=
5.充要。将y=2x+1代入椭圆方程得(b2+4a2)x2+4a2x+a2 (1-b2)=0. ①
若Δ=(4a2) 2-4(b2+4a2)a2 (1-b2)=0,则直线与椭圆仅有一个公共点,即b2+4a2=1;反之,4a2+b2=1,直线与椭圆有一个公共点。
6.y=2(x-1)。消去参数得(y-2m) 2=4(x-m),焦点为 它在直线y=2(x-1)上。
7.1≤m<5。直线过定点(0,1),所以0 ≤1.又因为焦点在x轴上,所以5>m,所以1≤m<5。
8.3.双曲线实轴长为6,通径为4,故线段端点在异支上一条,在同支上有二条,一共有三条。
9. 或 。设直线l: y=kx与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2),把y=kx代入椭圆方程得(1+3k2)x2-6x+3=0,由韦达定理得


因F(1,0),AF BF,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即
x1x2-(x1+x2)+1+k2x1x2=0. ③
把①,②代入③得 ,所以倾斜角为 或
10.3.首先这样的三角形一定存在,不妨设A,B分别位于y轴左、右两侧,设CA斜率为k(k>0),CA的直线方程为y=kx+1,代入椭圆方程为(a2k2+1)x2+2a2kx=0,得x=0或 ,于是 ,CA=
由题设,同理可得CB= ,利用CA=CB可得
(k-1)[k2-(a2-1)k+1]=0,
解得 k=1或k2-(a2-1)k+1]=0。①
对于①,当1<a< 时,①无解;当 时,k=1;当a> 时,①有两个不等实根,故最多有3个。
11.解 设焦点为F1,F2,椭圆上任一点为P(x0,y0),∠F1PF2=θ,根据余弦定理得
F1F22=PF12+PF22-2PF1•PF2cosθ,
又PF1+PF2=2a,则4c2=(2a)2-2PF1•PF2(1+cosθ),再将PF1=a+ex0,PF2=a-ex0及a2=b2+c2代入得4b2=2(a2-e2 )(1+cosθ).
于是有
由0 ,得 ,所以 。因θ∈[0,π],所以cosθ为减函数,故0
当2b2>a2即 时, ,arccos ,sinθ为增函数,sinθ取最大值 ;当2b2≤a2时,arccos ,θ∈[0,π],则sinθ最大值为1。
12.解 设A(x1,y1),B(x2,y2),若AB斜率不为0,设为k,直线AB方程为y=k(x+c),代入椭圆方程并化简得
(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2 (k2c2-b2)=0. ①
则x1,x2为方程①的两根,由韦达定理得


因为y1y2=k2(x1+c)(x2+c),再由②,③得
所以 =x1x2+y1y2= ,O点在以AB为直径的圆内,等价 <0,即k2(a2c2-b4)-a2b2<0对任意k∈R成立,等价于a2c2-b2≤0,即ac-b2≤0,即e2+e-1≤0.所以0<e≤
若斜率不存在,问题等价于 即 ,综上
13.解 (1)由双曲线方程得 ,所以F1( ,0),抛物线焦点到准线的距离 ,抛物线

把①代入C1方程得

Δ=64a2>0,所以方程②必有两个不同实根,设为x1,x2,由韦达定理得x1x2=-a2<0,所以②必有一个负根设为x1,把x1代入①得y2= ,所以 (因为x1≠0),所以C1,C2总有两个不同交点。
(2)设过F1( ,0)的直线AB为my=(x+ a),由 得y2+4 may-12a2=0,因为Δ=48m2a2+48a2>0,设y1,y2分别为A,B的纵坐标,则y1+y2= ,y1y2=-12a2.所以(y1-y2)2=48a2(m2+1).所以SΔAOB= y1-y2•OF1= a• a• ,当且仅当m=0时,SΔAOB的面积取最小值;当m→+∞时,SΔAOB→+∞,无最大值。所以存在过F的直线x= 使ΔAOB面积有最小值6a2.
联赛一试水平训练题
1.m>5.由已知得 ,说明(x,y)到定点(0,-1)与到定直线x-2y+3=0的距离比为常数 ,由椭圆定义 <1,所以m>5.
2. 因为b=PQ=PF+QF= ,所以 。所以SΔOPQ= absinθ= .
3. 。设点P坐标为(r1cosθ,r1sinθ),点Q坐标为(-r2sinθ,r2cosθ),因为P,Q在椭圆上,可得 ,RtΔOPQ斜边上的高为 ≤OF=c. 所以a2b2≤c2(a2+b2),解得 ≤e<1.
4.以O为圆心,a为半径的圆。延长F1交PF2延长线于N,则 F2N,而F2N=PN-PF2=PF1-PF2=2a,所以O=a.
5.t∈(0,1]时ATmin= ,t>1时ATmin=t-2.由题设kAB•kAC=- ,设A(x,y),则 (x≠0),整理得 =1(x≠0),所以AT2=(x-t)2+y2=(x-t)2+ (x-2t)2+2-t2.因为x≤2,所以当t∈(0,1]时取x=2t,AT取最小值 。当t>1时,取x=2,AT取最小值t-2.
6. 设点(x0,y0) ,直线AB倾斜角为θ,并设A(x0- ), B(x0+ ),因为A,B在抛物线上,所以


由①,②得 2x0cosθ=sinθ. ③
所以
因为l2<1,所以函数f(x)= .在(0,1]在递减,
所以 。当cosθ=1即l平行于x轴时,距离取最小值
7. 设 ,由A,,1共线得y1= ,同理B,,2共线得 ,设(x,y)是直线12上的点,则y1y2=y(y1+y2)-2px,将以上三式中消去y1,y2得
y02(2px-by)+y0•2pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0.
当x=a,y= 时上式恒成立,即定点为
8. 。由题设 且a2+2b2≤15,解得5≤b2≤6.
所以a+b≥ (t=b2-4∈[1,2]),而
,又t≤2可得上式成立。
9.解 设A(2cosθ, ), B(2cosα, sinα),C(2cosβ, sinβ),这里α≠β,则过A,B的直线为lAB: ,由于直线AB过点F1(-1,0),代入有 (sinθ-sinα)•(1+2cosθ)=2 sinθ(cosθ-cosα),即2sin(α-θ)=sinθ-sinα=2 • ,故 ,即 • 。又lBD: •(x+2)= ,同理得 。lCE: (x-2)=
•(x-2).
两直线方程联立,得P点坐标为 ,消去 得点P(x,y)在椭圆 上(除去点(-2,0),(2,0)).
10.解 (1)由 消去y得x2+2a2x+2a2m-a2=0,①设f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2,问题(1)转化为方程①在x∈(-a,a)上有唯一解或等根。只需讨论以下三种情况:
10.Δ=0,得 ,此时xp=-a2,当且仅当-a<-a2<a即0<a<1时适合;20。f(a)•f(-a)<0,当且仅当-a<m<a时适合;30。f(-a)=0得m=a,此时xp=a-2a2,当且仅当-a<a-2a2<a即0<a<1时适合。令f(a)=0得m=-a,此时xp=-a-2a2.由于-a-2a2<-a,从而m≠-a.综上当0<a<1时, 或-a<m≤a;当a≥1时,-a<m<a.
(2)ΔOAP的面积 因为0<a< ,故当-a<m≤a时,0<-a2+ ,由唯一性得xp=-a2+.当m=a时,xp取最小值。由于xp>0,从而 时取值最大,此时 ,故 ;当 时,xp=-a2,yp= ,此时 以下比较 与 的大小。令 ,得 ,故当0<a≤ 时, ,此时 ;当 时,有 ,此时
11.解:设A,B关于l的对称点分别为A1(x2,y2),B1(x1,y1),则AA1中点 在l上,
所以 y2=k(x2-1) ①
又l AA1,所以

由①,②得

同理,由BB1中点 在l上,且l BB1,解得
设抛物线方程为y2=2px,将A1,B1坐标代入并消去p得k2-k-1=0.
所以 ,由题设k>0,所以 ,从而
所以直线l的方程为 ,抛物线C的方程为
联赛二试水平训练题
1.以A为原点,直线AC为x轴,建立直角坐标系,设C(c,0),F(f,0),D(xD,kxD),B(xB,-kxB),则直线DF的方程为

直线BC的方程为 ②
c×①-f×②得
(c-f)x+ ③
③表示一条直线,它过原点,也过DF与BC的交点G,因而③就是直线AG的方程。
同理
,直线AE的方程为
(c-f)x+ ④
③,④的斜率互为相反数,所以∠GAC=∠EAC。
2.证明 假设这样的闭折线存在,不妨设坐标原点是其中一个顶点,记它为A0,其他顶点坐标为: ,…, ,其中 都是既约分数,并记An+1=A0.若p与q奇偶性相同,则记p≡q,否则记p≠q,下面用数学归纳法证明。
bk≡1,dk≡1(k=1,2,…,n),ak+ck≠ak-1+ck-1(k=1,2,…,n,n+1)。
当k=1时,由 ,得 ,因为a1,b1互质,所以d1被b1整除,反之亦然(即b1被d1整除)。
因此b1=±d1,从而 不可能都是偶数(否则b1也是偶数,与互质矛盾);不可能都是奇数,因为两个奇数的平方和模8余2不是4的倍数,也不可能是完全平方数,因此,a1≠c1,b1≡d1≡1,并且a1+c1≠0=a0+c0.
设结论对k=1,2,…,m-1≤n都成立,令
这里 是既约分数,因为每一段的长为1,所以 =1,与k=1情况类似:a≡c,d≡b≡1,又因为 ,分数 既约,所以bm是bbm-1的一个因子,bm≡1.
同理可知dm≡1,又am≡abm-1+bam-1(同理cm≡cdm-1+dcm-1).
因此(am+cm-am-1-cm-1)≡(abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-am-1-cm-1)≡am-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-1)+cdm-1≡a+c≡1.
所以am+cm≠am-1+cm-1,结论成立,于是在顶点数n+1为奇数时,an+1+cn+1≠a0+c0,故折线不可能是闭的。
3.证明 (1)由已知B0P0=B0Q0,并由圆弧P0Q0和Q0P0,Q0P1和P1Q1,P1Q1和Q1P1分别相内切于点Q0,P1,Q1,得C1B0+B0Q0=C1P1,B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1以及C0Q1=C0B0+ ,四式相加,利用B1C1+C1B0=B1C0+C0B0,以及 。在B0P0或其延长线上,有B0P0=B0 ,从而可知点 与点P0重合。由于圆弧Q1P0的圆心C0,圆弧P0Q0的圆心B0以及P0在同一直线上,所以圆弧Q1P0和P0Q0相内切于点P0。
(2)现分别过点P0和P1引上述相应相切圆弧的公切线P0T和P1T交于点T。又过点Q1引相应相切圆弧的公切线R1S1,分别交P0T和P1T于点R1和S1,连接P0Q1和P1Q1,得等腰ΔP0Q1R1和ΔP1Q1S1,由此得∠P0Q1P1=π-∠P0Q1P1-∠P1Q1S1=π-(∠P1P0T-∠Q1P0P)-(∠P0P1T-∠Q1P1P0),而π-∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0,代入上式后,即得∠P0Q1P1=π- (∠P0B0Q0+∠P1C1Q0).
同理得∠P0Q0P1=π- (∠P0B0Q0+∠P1C1Q0),所以P0,Q0,Q1,P1共圆。
4.证明 引理:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在(x0,y0)处的切线斜率是2ax0+b.
引理的证明:设(x0,y0)处的切线方程为y-y0=k(x-x0),代入抛物线方程得
ax2+(b-k)x+c+kx0-y0=0. ①

故①可化简成 (x-x0)[a(x+x0)+b-k]=0, ②
因为②只有一个实根,所以k=2ax0+b.引理得证。
设P(x0,y0)为任一正交点,则它是由线y=x•tan •x2与y=x•tan •x2的交点,则两条切线的斜率分别为(由引理)

又由题设k1k2=-1,所以

又因为P(x0,y0)在两条抛物线上,所以 代入③式得
(※)
又因为tanα1,tanα2是方程 •t2-t+ =0的两根,所以
tanα1+tanα2= ④
tanα1•tanα2= 。 ⑤
把④,⑤代入(※)式得
,即
5.证明 以C为原点,CB所在直线为x轴,建立直角坐标系,设∠ADC=θ,PD=r.各点坐标分别为D(x1,0),E(0,x1),A(0,x1tanθ),B(x0,0),P(x1-rcosθ,rsinθ).
则lAB方程为 ,即x1x+x0•cotθ•y-x1x0=0,因为lAB与圆相切,可得x1• = x0x1•cotθ-x1x0,约去x1,再两边平方得
,所以 •x1. ①
又因为点P在圆上,所以(rcos )2+(x1-rsin )2= ,化简得r=2x1sin . ②
要证DP=AP+AE 2DP=AD+AE 2r= +x1tan -x1 1+sin -cos =4sin cos . ③
又因为 ,所以
因为 =(x1-x0-rcosθ,rsinθ), =(x1-rcosθ,rsinθ),
所以 (x1-rcosθ)(x1-rcosθ-x0)+r2sin2θ=0. ④
把②代入④化简得

由①得x0=x1•
代入⑤并约去x1,化简得4sin22 -3sin2 =0,因为sin2 ≠0,所以sin2 = ,又因为sin = =cos ,所以sin -cos >0.
所以sin -cos = ,所以1+sin -cos = =4sin cos ,即③成立。所以DP=AP+AE。
6.证明 设BC=d,CD=b,BD=c,则AC=CQ= ,取BC中点,则A BC,以为原点,直线BC为x轴建立直角坐标系,则各点坐标分别为 , , , , ,因为 ,所以点 ,所以
因为0<∠DRC< ,0<∠ASQ<π,所以只需证tan∠ASQ=tan2∠DRC,即 ,化简得9d2-9c2-9b2=0即d2=b2+c2,显然成立。所以命题得证。




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