汕头市金中学2012-2013学年度第一学期期中考试
高三科数学 试题卷
本试题分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）两部分，满分150分，时间120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知 为非零实数，且 ，则下列命题成立的是 （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，则 （　 ）
A． B． C． D．
3．设 , 那么“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．在平面直角坐标系中，不等式组 表示的平面区域面积是（ ）．
A． B． C． D．
5．下列命题中正确的是（ ）
A. 的最小值是2B. 的最小值是2
C. 的最大值是 D. 的最小值是
6.函数 的最小值是 （ ）A. 1 B. C.2 D.0
7.已知 ,则 的大小为 ( )
A. B. C. D.
8.函数 的图象大致是（ ）

9.已知函数 是定义在实数集R上得不恒为零的偶函数，且对任意实数 都有 ，则 =（ ）A．0B. C.1 D.
10.设底面为正三角形的直棱柱体积为V,那么表面积最小时,底面边长为 ( )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 2
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
11． 满足条件 的所有集合B的个数是______.
12．已知定义在R上的奇函数 满足 ＝ (x≥0)，若 ，则实数 的取值范围是________．
13．若关于 的方程 只有一个实根，则实数
14．给出一列三个命题：
①函数 为奇函数的充要条件是 ；
②若函数 的值域是R，则 ；
③若函数 是偶函数，则函数 的图象关于直线 对称．
其中正确的命题序号是 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出字说明，证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分12分）已知集合 ， .
（Ⅰ）若 ，求集合 、集合

（Ⅱ）若 ，求 的取值范围。

16．（本小题满分12分）已知二次函数 满足 ， ，求 的取值范围。
17．（本小题满分14分）已知函数 在 处取得极值，记点 .
⑴求 的值；⑵证明：线段 与曲线 存在异于 、 的公共点；
18．（本小题满分14分）某种商品的成本为5元/ 件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销。经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q（件）与实际销售价x（元）满足关系：


（1）求总利润（利润＝销售额－成本）y（元）与销售价x（件）的函数关系式；
（2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大.
19．（本小题满分14分）已知定义域为R的函数 是奇函数.
(1)求 的值;
(2)用定义证明 在 上为减函数.
(3)若对于任意 ,不等式 恒成立,求 的范围.

20、（本小题满分14分）已知函数 在 处取得极值 .
⑴求 的解析式；
⑵设 是曲线 上除原点 外的任意一点,过 的中点且垂直于 轴的直线交曲线于点 ,试问：是否存在这样的点 ,使得曲线在点 处的切线与 平行？若存在,求出点 的坐标；若不存在,说明理由；
⑶设函数 ,若对于任意 ,总存在 ,使得 ,求
实数 的取值范围.

汕头市金中学2012-2013学年度第一学期期中考试
高三科数学 参考答案
一、选择题（50分）
题号12345678910
答案CBADCBADAC
二、题（20分）
11．4 12. (-3,1) 13． 14．①②
三、解答题（80分）
15．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由 ，得 ，即 4分
由 或
即 9分
（Ⅱ） ，
的取值范围是 12分
16．（本小题满分12分）
解：法一：设 ，则有 ，即

又 ， ，
法二：线性规划
由已知得 （*）（1分）
（2分）
（*）如图阴影所示直线
平行移动 ，可知 随截距变大而变大，故 过A点时取最小值，过B点时取最大值。（8分）
由 此时 =2（9分）
由 此时 =27（11分）
故 （12分）
17．（本小题满分12分）解法一：∵ ，依题意，
∴ ，（2分）
由 ，得 （3分）
令 ， 的单调增区间为 和 ，
，单调减区间为 （5分）
所以函数 在 处取得极值。 故 （7分）
所以直线 的方程为 （8分）
由 得 （9分）
令 ，易得 ，（11分）
而 的图像在 内是一条连续不断的曲线，故 在 内存在零点 ，这表明线段 与曲线 有异于 的公共点。（12分）
解法二：同解法一，可得直线 的方程为 （8分）
由 得 （9分）
解得 （11分）
所以线段 与曲线 有异于 的公共点 。 （12分）

18. （本小题满分14分）解：（1）依题意得：
（5分）
（2）由（1）得：当 时，

当 时， ， 为增函数
当 时， 为减函数
当 时， （8分）
当 时， （10分）
当 时，
当 时， （12分）
综上知：当 时，总利润最大，（13分） 最大值为195 （14分）
19．（本小题满分14分）解：
（1）
又 ，得 （2分） 经检验 符合题意.（3分）
(2)任取 （4分）
则 =
= （6分）
（8分）
(3) ,不等式 恒成立,

为奇函数, （10分）
为减函数, （11分）
即 恒成立,而 （13分）
（14分）

20. （本小题满分14分）解：⑴∵ ,∴ .又 在 处取得极值 .
∴ ,即 ,解得 , ,经检验满足题意,∴ .……… （4分）
⑵由⑴知 .假设存在满足条件的点 ,且 ,则 ,
又 .则由 ,得 ,∴ ,
∵ ,∴ ,得 .故存在满足条件的点 ,此时点 的坐标为 或 . ………… （8分）
⑶解法 ： ,令 ,得 或 .
当 变化时, 、 的变化情况如下表：


单调递减极小值单调递增极大值单调递减
∴ 在 处取得极小值 ,在 处取得极大值 .
又 时, ,∴ 的最小值为 .
∵对于任意的 ,总存在 ,使得 ,∴当 时, 最小值不大于 .又 .
∴当 时, 的最小值为 ,由 ,得 ；当 时, 最小值为 ,由 ,得 ；
当 时, 的最小值为 .由 ,即 ,解得 或 .又 ,∴此时 不存在.
综上, 的取值范围是 . ………… (14分)
解法 ：同解法 得 的最小值为 .
∵对于任意的 ,总存在 ,使得 ,∴当 时, 有解,即 在 上有解.设 ,则
得 ,
或 ,得 或 .
∴ 或 时, 在 上有解,故 的取值范围是 .
解法 ：同解法 得 的最小值为 .
∵对于任意的 ,总存在 ,使得 ,∴当 时, 有解,即 在 上有解.令 ,则 ,∴ .
∴当 时, ；当 时,得 ,不成立,∴ 不存在；
当 时, .令 ,∵ 时, ,∴ 在 上为减函数,∴ ,∴ .
综上, 的取值范围是 .

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