第六 三角函数

一、基础知识
定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值α= ,其中r是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα= ,余弦函数cosα= ,正切函数tanα= ，余切函数cotα= ，正割函数secα= ,余割函数cscα=
定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα= ,sinα= ，cosα= ；商数关系：tanα= ；乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.
定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sin =cosα, cos =sinα, tan =cotα（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，最小正周期为2 . 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+ 时，y取最大值1，当且仅当x=3k - 时, y取最小值-1。对称性：直线x=k + 均为其对称轴，点（k , 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.
定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点 均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.
定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(x kπ+ )在开区间(kπ- , kπ+ )上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+ ，0）均为其对称中心。
定理6 两角和与差的基本关系式：cos(α β)=cosαcosβ sinαsinβ,sin(α β)=sinαcosβ cosαsinβ; tan(α β)=
定理7 和差化积与积化和差公式:
sinα+sinβ=2sin cos ,sinα-sinβ=2sin cos ,
cosα+cosβ=2cos cos , cosα-cosβ=-2sin sin ,
sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)],
cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=- [cos(α+β)-cos(α-β)].
定理8 倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,

tan2α=
定理9 半角公式:sin = ,cos = ,
tan = =
定理10 万能公式: , ,

定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b2 0，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，则sinβ= ,cosβ= ，对任意的角α.
asinα+bcosα= sin(α+β).
定理12 正弦定理：在任意△ABC中有 ，其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。
定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。
定理14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+ )的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原的 ，得到y=sin ( )的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin( x+ )( >0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin( x+ )( , >0)(A叫作振幅)的图象向右平移 个单位得到y=Asin x的图象。
定义4 函数y=sinx 的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx 的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).
定理15 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{xx=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{xx=2kx arccosa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是{xx=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa= ；arctana+arccota= .
定理16 若 ，则sinx<x<tanx.
二、方法与例题
1．结合图象解题。
例1 求方程sinx=lgx的解的个数。
【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lgx的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。
2．三角函数性质的应用。
例2 设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。
【解】 若 ，则cosx≤1且cosx>-1，所以cos ，
所以sin(cosx) ≤0,又0<sinx≤1, 所以cos(sinx)>0，
所以cos(sinx)>sin(cosx).
若 ，则因为sinx+cosx= (sinxcos +sin cosx)= sin(x+ )≤ < ，
所以0<sinx< -cosx< ，
所以cos(sinx)>cos( -cosx)=sin(cosx).
综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx)<sin(cosx).
例3 已知α，β为锐角，且x•（α+β- ）>0，求证：
【证明】 若α+β> ，则x>0，由α> -β>0得cosα<cos( -β)=sinβ,
所以0< <1，又sinα>sin( -β)=cosβ, 所以0< <1，
所以
若α+β< ，则x<0，由0<α< -β< 得cosα>cos( -β)=sinβ>0,
所以 >1。又0<sinα<sin( -β)=cosβ，所以 >1，
所以 ，得证。
注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。
3．最小正周期的确定。
例4 求函数y=sin(2cosx)的最小正周期。
【解】 首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以cox=cosx）；其次，当且仅当x=kπ+ 时，y=0（因为2cosx≤2<π）,
所以若最小正周期为T0，则T0=mπ, m∈N+，又sin(2cos0)=sin2 sin(2cosπ)，所以T0=2π。
4．三角最值问题。
例5 已知函数y=sinx+ ，求函数的最大值与最小值。
【解法一】 令sinx= ,
则有y=
因为 ，所以 ，
所以 ≤1，
所以当 ，即x=2kπ- (k∈Z)时，ymin=0，

当 ，即x=2kπ+ (k∈Z)时，ymax=2.
【解法二】 因为y=sinx+ ,
=2（因为(a+b)2≤2(a2+b2)），
且sinx≤1≤ ，所以0≤sinx+ ≤2，
所以当 =sinx，即x=2kπ+ (k∈Z)时, ymax=2，
当 =-sinx，即x=2kπ- (k∈Z)时, ymin=0。
例6 设0< <π，求sin 的最大值。
【解】因为0< <π，所以 ，所以sin >0, cos >0.
所以sin （1+cos ）=2sin •cos2 = ≤ =

当且仅当2sin2 =cos2 , 即tan = , =2arctan 时，sin (1+cos )取得最大值 。
例7 若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。
【解】 因为sinA+sinB=2sin cos , ①
sinC+sin , ②
又因为 ，③
由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin ≤4sin ,
所以sinA+sinB+sinC≤3sin = ,
当A=B=C= 时，（sinA+sinB+sinC）max= .
注：三角函数的有界性、sinx≤1、cosx≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。
5．换元法的使用。
例8 求 的值域。
【解】 设t=sinx+cosx=
因为
所以
又因为t2=1+2sinxcosx,
所以sinxcosx= ，所以 ，
所以
因为t -1，所以 ，所以y -1.
所以函数值域为

例9 已知a0=1, an= (n∈N+)，求证：an> .
【证明】 由题设an>0，令an=tanan, an∈ ，则
an=
因为 ，an∈ ，所以an= ，所以an=
又因为a0=tana1=1，所以a0= ，所以 • 。
又因为当0<x< 时，tanx>x，所以
注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。
另外当x∈ 时，有tanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。
6．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin( x+ )(A, , >0).
由y=sinx的图象向左平移 个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原的 ，得到y=Asin( x+ )的图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原的 ，最后向左平移 个单位，得到y=Asin( x+ )的图象。
例10 例10 已知f(x)=sin( x+ )( >0, 0≤ ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点 对称，且在区间 上是单调函数，求 和 的值。
【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin( + )=sin(- x+ )，所以cos sinx=0，对任意x∈R成立。
又0≤ ≤π，解得 = ，
因为f(x)图象关于 对称，所以 =0。
取x=0，得 =0，所以sin
所以 (k∈Z)，即 = (2k+1) (k∈Z).
又 >0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+ )在[0， ]上是减函数；
取k=1时， =2，此时f(x)=sin(2x+ )在[0， ]上是减函数；
取k=2时， ≥ ，此时f(x)=sin( x+ )在[0， ]上不是单调函数，
综上， = 或2。
7．三角公式的应用。
例11 已知sin(α-β)= ，sin(α+β)=- ，且α-β∈ ，α+β∈ ，求sin2α,cos2β的值。
【解】 因为α-β∈ ，所以cos(α-β)=-
又因为α+β∈ ，所以cos(α+β)=
所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)= ,
cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.
例12 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且 ，试求 的值。
【解】 因为A=1200-C，所以cos =cos(600-C)，
又由于
= ，
所以 =0。
解得 或 。
又 >0，所以 。
例13 求证：tan20 +4cos70 .
【解】 tan20 +4cos70 = +4sin20

三、基础训练题
1．已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3, -2cos3)，则x的弧度数为___________。
2．适合 -2cscx的角的集合为___________。
3．给出下列命题：（1）若α β，则sinα sinβ；（2）若sinα sinβ,则α β；（3）若sinα>0，则α为第一或第二象限角；（4）若α为第一或第二象限角，则sinα>0. 上述四个命题中，正确的命题有__________个。
4．已知sinx+cosx= (x∈(0, π))，则cotx=___________。
5．简谐振动x1=Asin 和x2=Bsin 叠加后得到的合振动是x=___________。
6．已知3sinx-4cosx=5sin(x+ 1)=5sin(x- 2)=5cos(x+ 3)=5cos(x- 4)，则 1， 2， 3， 4分别是第________象限角。
7．满足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角x共有________个。
8．已知 ，则 =___________。
9． =___________。
10．cot15 cos25 cot35 cot85 =___________。
11．已知α,β∈(0, π), tan , sin(α+β)= ，求cosβ的值。
12．已知函数f(x)= 在区间 上单调递减，试求实数m的取值范围。
四、高考水平训练题
1．已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R，若其周长为定值c(c>0)，当扇形面积最大时，a=__________.
2. 函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________.
3. 函数 的值域为__________.
4. 方程 =0的实根个数为__________.
5. 若sina+cosa=tana, a ，则 __________a（填大小关系）.
6. (1+tan1 )(1+tan2 )…(1+tan44 )(1+tan45 )=__________.
7. 若0<y≤x< 且tanx=3tany，则x-y的最大值为__________.
8. =__________.
9. •cos •cos •cos •cos =__________.
10. cos271 +cos71 cos49 +cos249 =__________.
11. 解方程：sinx+2sin2x=3+sin3x.
12. 求满足sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角x.
13. 已知f(x)= (kA 0, k∈Z, 且A∈R)，（1）试求f(x)的最大值和最小值；（2）若A>0, k=-1，求f(x)的单调区间；（3）试求最小正整数k，使得当x在任意两个整数（包括整数本身）间变化时，函数f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。

五、联赛一试水平训练题（一）
1．若x, y∈R，则z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范围是____________.
2．已知圆x2+y2=k2至少盖住函数f(x)= 的一个最大值点与一个最小值点，则实数k的取值范围是____________.
3．f( )=5+8cos +4cos2 +cos3 的最小值为____________.
4．方程sinx+ cosx+a=0在（0，2π）内有相异两实根α，β，则α+β=____________.
5．函数f(x)=tanx+cotx的单调递增区间是____________.
6．设sina>0>cosa, 且sin >cos ，则 的取值范围是____________.
7．方程tan5x+tan3x=0在[0，π]中有__________个解.
8．若x, y∈R, 则=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________.
9．若0< < , m∈N+, 比较大小：(2m+1)sinm (1-sin )__________1-sin2m+1 .
10．cot70 +4cos70 =____________.
11. 在方程组 中消去x, y，求出关于a, b, c的关系式。
12．已知α，β，γ ，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求tanαtanβtanγ的最小值。
13．关于x, y的方程组 有唯一一组解，且sinα, sinβ, sinγ互不相等，求sinα+sinβ+sinγ的值。
14．求满足等式sinxy=sinx+siny的所有实数对（x, y）, x, y .
联赛一试水平训练题（二）
1．在平面直角坐标系中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图象与函数g(x)= 的图象所围成的封闭图形的面积是__________.
2．若 ，则y=tan -tan +cos 的最大值是__________.
3．在△ABC中，记BC=a, CA=b, AB=c, 若9a2+9b2-19c2=0，则 =__________.
4．设f(x)=x2-πx, α=arcsin , β=arctan , γ=arccos , δ=arccot , 将f(α), f(β), f(γ), f(δ)从小到大排列为__________.
5．logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。将a, b, c, d从小到大排列为__________.
6．在锐角△ABC中，cosA=cosαsinβ, cosB=cosβsinγ, cosC=cosγsinα，则tanα•tanβ•tanγ=__________.
7．已知矩形的两边长分别为tan 和1+cos (0< <π)，且对任何x∈R, f(x)=sin •x2+ •x+cos ≥0，则此矩形面积的取值范围是__________.
8．在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的取值范围是__________.
9．已知当x∈[0, 1]，不等式x2cos -x(1-x)+(1-x)2sin >0恒成立，则 的取值范围是__________.
10．已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，则cos2x+ cos2y+ cos2z=__________.
11．已知a1, a2, …,an是n个实常数，考虑关于x的函数：f(x)=cos(a1+x)+ cos(a2+x) +…+ cos(an+x)。求证：若实数x1, x2满足f(x1)=f(x2)=0，则存在整数m，使得x2-x1=mπ.
12．在△ABC中，已知 ，求证：此三角形中有一个内角为 。
13．求证：对任意自然数n, 均有sin1+sin2+…+sin(3n-1)+sin3n> .

六、联赛二试水平训练题
1．已知x>0, y>0, 且x+y<π，求证：w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0①（w∈R）.
2. 已知a为锐角，n≥2, n∈N+，求证： ≥2n-2 +1.
3. 设x1, x2,…, xn,…, y1, y2,…, yn,…满足x1=y1= , xn+1=xn+ , yn+1= ，求证：2<xnyn<3(n≥2).
4．已知α，β，γ为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求证； π<α+β+γ<π.
5．求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意 ，恒有(x+3+2sin cos )2+(x+asin +asin )2≥
6. 设n, m都是正整数，并且n>m，求证：对一切x 都有2sinnx-cosnx≤3sinnx-cosnx.
7．在△ABC中，求sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。
8．求的有的实数a, 使cosa, cos2a, cos4a, …, cos2na, …中的每一项均为负数。
9．已知 i ，tan 1tan 2…tan n=2 , n∈N+, 若对任意一组满足上述条的
1， 2，…， n都有cos 1+cos 2+…+cos n≤λ，求λ的最小值。

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