第四 重力作用下的运动 圆周运动 万有引力
从研究的运动形式看，本由单方向的直线运动，扩展到往复运动和曲线运动，从研究方法看，本综合运用牛顿定律和匀变速直线运动的基本规律，对物体的运动规律及深层原因作了剖析，体现了牛顿定律在力学中的核心地位；从思想方法看，通过本复习，使学生掌握确定物体运动情况的基本方法，掌握研究复杂运动的基本方法——正交分解、运动的合成与分解。
知识网络：
专题一 重力作用下的运动
——自由落体与竖直上抛
【考点透析】
一、本专题考点： 本专题为II类要求，即要求对自由落体和竖直上抛运动的规律熟练掌握，并能够和生产、生活实际相联，解决具体问题。
二、理解和掌握的内容
1. 做自由落体与竖直上抛运动的物体均受重力作用，它们运动的加速度均为重力加速度。
2.自由落体运动:可看成是匀变速直线运动的特例,即初速度 =0，加速度a=g，满足初速度为零的匀加速直线运动的所有基本规律和推论。
3.竖直上抛运动：(1) 规律:上升过成是加速度为g的匀减速运动，下落过程是自由落体运动，各自符合匀变速运动规律；全过程也符合a=?g（取 方向为正方向）的匀变速直线运动规律。
（2）两个结论：上升的最大高度 = ，上升到最大高度所用的时间
4.竖直上抛运动的两种研究方法
（1）分段法：上升阶段是匀减速直线运动，下落阶段是自由落体运动。下落过程是上升过程的逆过程。
（2）整体法：从全程看，加速度方向始终与初速度V 的方向相反，所以可把竖直上抛运动看成是一个匀变速运动，应用时要特别注意矢量的正负号。一般选取向上为正方向，V 总是正值，上升过程中V为正值，下降过程V为负值；物体在抛出点以上时h为正值，物体在抛出点以下时h为负值。
5．竖直上抛运动的上升阶段和下降阶段具有对称性
（1）速度对称：上升和下降过程经过同一位置时速度等大反向。
（2）时间对称：上升和下降过程经过同一段高度的上升时间和下降时间相等。
【例题精析】
例1 在竖直的井底，将一物块以11m/s的速度竖直地向上抛出，物体冲过井口再落到井口时被接住前1s内物体的位移是4m,位移方向向上，不计空气阻力，g取10m/s2，求：（1）物体从抛出到被人接住所经历的时间。（2）此竖直井的深度。
解析（1）设人接住物块前1s时刻速度为v
则有 即 解得 v=9m/s
则物块从抛出到接住所有总时间为
(2)竖直井的深度为
把竖直上抛运动的全过程作为匀变速运动处理比较简单，但在使用公式 时应注意正方向的规定和式中各量正、负号的意义。
例2 滴水法测重力加速度的过程是这样的，让水龙头的水一滴一滴的滴在其正下方的盘子里，调整水龙头，让前一滴水滴到盘子里而听到声音时，后一滴恰离开水龙头。测出从第一次听到声音到第n次听到水击盘声的总时间为t，用刻度尺量出水龙头口到盘子的高度差h，即可算出重力加速度。设人耳能区别两个声音的时间隔为0.1s，声速为340m/s，则
A.水龙头距人耳的距离至少为34m B.水龙头距盘子的距离至少为34m
C.重力加速度的计算式为 D.重力加速度的计算式为
解析:n次响声间隔时间对应(n-1)个水滴下落用的时间,所以一个水滴下落时间 = . 由h= 得: g= ，水龙头到盘子的距离最少为 ×10×0.12=0.05m≠34m.另外，需要指出人听到两滴水响声的时间间隔与人耳距水龙头的距离无关，正确答案：D。
本题告诉我们一种粗测重力加速度的方法，是自由落体运动规律的基本应用。解题关键是正确确定水滴下落时在空中的运动时间。如不能建立正确的物理情境，找不到水滴下落的规律，就很容易错选。比如许多同学没有正确分析出记录时间与水滴次数的关系而错选C。
思考拓宽：本题中如让一滴水到盘子而听到声音时有一滴恰离开水龙头，且空中有一滴正在下落，从第一滴开始测得n次听到水击盘声的总时间为t，同样已知h。则算出重力加速度g= ，且一滴落入盘中时，空中一滴离水龙头口的距离为 。
提示：归纳得出第一滴经T落入盘中后每隔 有一滴落入盘中，
故有T+（n-1） = t，得T= ；由h= gt2,得g=
由于每隔相同的时间间隔下落一滴，因此当一滴刚好离开水龙头时，连续两滴间距离之比为1：3，当有一滴刚好落入盘中时，中间一滴离水龙头口的距离为 。
【能力提升】
Ⅰ 知识与技能
1.小球从离地140m的高处自由下落，则小球在下落开始后的连续三个2s时间内的位移大小之比是
A．1:3:5 B.1:3:3 C.4:12:9 D.2:2:1
2.在轻绳的两端各拴一个小球，一人用手拿着绳一端的小球站在三层楼的阳台上，放手让小球自由下落，两小球相继落地的时间差为△t；如果站在四层楼的阳台上，同样放手让小球自由下落，则小球相继落地的时间差将
A．不变 B.变大 C.减小 D.无法确定
3.图4--1四个图,其中可以表示两个做自由落体运动的物体同时落地的υ—t图像是 (t 表示落地的时刻)
4.从地面竖直上抛物体A,同时在某一高度处有一物体B自由下落,两物体在空中相遇时的速率都是υ,则
A.物体A的上抛初速度大小是两物体相遇时速率的2倍
B.相遇时物体A已上升的高度和物体B已下落的高度相同
C.物体A和物体B在空中运动时间相等
D.物体A和物体B落地速度相等
5.将一小球以初速度为V从地面竖直上抛后,经4S小球离地面高度为6m,若要使小球竖直上抛后经2S到达相同高度，(g取10m/s2)不计阻力，则初速度V 应
A．大于V B.小于V C.等于V D.无法确定
Ⅱ 能力与素质
6.某同学身高1.8m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过1.8米高度的横杆。据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为（取g=10m/s ）
A.2m/s B.4 m/s C.6 m/s D.8 m/s
7.从某一高度相隔1s先后释放两个相同的小球甲和乙，不计空气阻力，它在空中的任一时刻
A．甲、乙两球的距离越越大，甲、乙两球速度之差越越大
B．甲、乙两球距离始终保持不变，甲、乙两球速度之差保持不变
C．甲、乙两球距离越越大，但甲、乙两球速度之差保持不变
D．甲、乙两球距离越越小，甲、乙两球速度之差越越小
8．自地面将一物体竖直上抛，初速度大小为20m/s.当它的位移为15m时，经历的时间和运动速度分别为（g取10m/s，不计空气阻力，取竖直向上为正方向）
A．1s,10m/s B．2s,15m/s C．3s,-10m/s D．4s,-15m/s
9．某中学高一年级在“研究性学习”活动中，有一小组的研究题是“测定当地的重力加速度g” ，经该组成员讨论研究，设计出多种方案之一为“利用水滴下落测重力加速度g”，具体操作步骤如下：（1）让水滴落到垫起的盘子里，细心地调整水龙头的阀门，让水一滴一滴地流出（等时间间隔），同时调整盘子垫物的厚度，使一个水滴碰到盘子时恰好有另一个水滴从水龙头开始下落（此时刻速度为零），而且空中还有一个正在下落的水滴；（2）用秒表测时间，以第一个水滴离开水龙头时开始记时，测第N个水滴落至盘中，共用时间为T；（3）用米尺测出水龙头滴水处到盘子的竖直距离h。不计空气阻力。求：①第一滴水滴刚到盘子时，第二滴水离开水龙头的距离S。②当地的重力加速度g。
专题二 物体做曲线运动的条 运动的合成与分解
【考点透析】
一、本专题考点： 物体做曲线运动的条为II类要求，运动的合成与分解为1类要求。
二、理解和掌握的内容
1．曲线运动的特点:运动轨迹是曲线，曲线运动的质点在某一时刻的即时速度方向，就是过曲线上该点的切线方向。曲线运动一定是变速运动。
2．物体做曲线运动的条：由于物体的速度方向不断变化，因此物体的受的合外力及它产生的加速度的方向跟它的速度方向不在一条直线上。
3．处理曲线运动的基本方法：运动的合成与分解。理解以下几点：
（1）运动的独立性
一个物体可以同时参与两种或两种以上的运动，而每一种运动都不因为其它运动的存在而受到影响，运动是完全独立的。物体的运动是这几个运动的合运动。
（2）运动的等时性
若一个物体同时参与几个运动，合运动与各分运动是在同一时间内进行的，它们之间不存在先后的问题。
（3）运动的合成法则
描述运动的量有位移（s）、速度（v）、加速度（a），它们都是矢量，其合成法则都是平行四边法则。如图4—2
图4—2
两分运动垂直或正交分解后的合成满足：
（4）运动的分解是合成的逆运算，在解决实际问题的过程中一般要根据质点运动的实际效果分解。已知分运动求合运动，叫做运动的合成；已知合运动求分运动，叫做运动的分解。
分运动与合运动是一种等效替代关系，运动的合成和分解是研究曲线运动的一种基本方法。
【例题精析】
例1 如图4—3（甲）所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受的力方向变而大小不变（即由F变为-F）。在此力作用下，物体以后的运动情况，下列说法正确的是:
A．物体不可能沿曲线Ba运动 B．物体不可能沿直线Bb运动
C．物体不可能沿曲线Bc运动 D．物体不可能沿原曲线B返回A
解析: 物体在A点时的速度 沿A点的切线方向，物体在恒力F作用下沿曲线AB运动，此力F必有垂直于 的分量，即F力只可能为图4—3（乙）中所示的各种方向之一，当物体到达B点时，瞬时速度 沿B点的切线方向，这时受力F?=-F，即F?力只可能为图中所示的各种方向之一；可知物体以后只可能沿曲线Bc运动，所以本题的正确答案是A、B、D。
例题2 一艘小艇从河岸的A处出发渡河，小艇保持与河岸垂直的方向行驶，经过10min到达正对岸下游120m的C处，如图4—4所示，如果小艇保持原的速度逆水斜向上游成θ角方向行驶，则经 过12.5min恰好到达正对岸的B处，求河宽及水流的速度。
分析与解答：设河宽为d，河水流速为v ，船速为v ，船两次运动速度合成如图4—5所示，依题意有：
①
BC= ②
③
由②可得 由①可得 故 河宽
说明：对小艇渡河的两种典型情况，要能熟练地画出其运动的合成的矢量图，并能用它解题。
思考与拓宽：设小船相对静水的速度为 ，水流的速度为 ，河宽为d，分两种情况讨论小船渡河最短时间及最短航程：
（1） > （2） <
答案：在第（1）种情况中，最短时间 ，此时船头与河岸垂直；最短航程 ，此时船头指向上游与河岸夹某一角度。在第（2）种情况中，最短时间 ，此时船头与河对岸垂直；最短航程 ；此时船的实际速度与两个分速度的关系如图4—6所示，其中 与 垂直, 且OB为小船的最短航程。
例3 如图4—7所示，用绳牵引小船靠岸，若收绳的速度为v ,在绳子与水平方向夹角为α的时刻，船的速度v有多大？
解析：船的速度v的方向就是合运动的速度方向，由于这个v产生两个效果：一是使绳系着小船的一端沿绳拉方向以速率v 运动，二是使绳的这端绕滑轮作顺时针方向的圆周运动，那么合速度v应沿着绳子的牵引方向和垂直于绳子的方向分解
（如图4—8），从图中易知v=
物体拉绳或绳拉物体运动的分解，一般分解为沿绳方向的运动和垂直方向的运动，各点处沿绳方向上速度大小相等。
在进行速度分解时，首先要分清合速度与分速度，合速度就是
物体实际运动的速度。物体的实际运动可看作那些分运动的叠加，找出相应的分速度。在上述问题中，若不对船的运动认真分析，就很容易得出v =v cosθ的错误结果。
【能力提升】
Ⅰ 知识与技能
1．关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下述说法正确的是
A．一定是直线运动 B．一定是抛物线运动
C．可能是直线运动，也可能是抛物线运动 D．以上说法都不对。
2．一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内
A．速度一定在不断地改变，加速度也一定不断地改变
B．速度一定在不断地改变，加速度可以不变
C．速度可以不变，加速度一定不断地改变
D．速度可不变，加速度也可以不变
3．一物体在几个不在同一直线上的恒力作用下处于平衡状态，现突然撤去其中一个力，而其它各力保持不变，则物体以后的运动可能是
A．匀加速直线运动 B．匀减速直线运动 C．匀变速曲线运动 D．匀速圆周运动
4．有一小汽车从半径为R的拱桥上的A点以恒定的速率运动到B点，如图4—9所示，试从以下说法中选出正确答案
A．汽车所受的合外力为零
B．汽车在A、B两处的速 度变化率为零
C．汽车在运动过程中保持动量不变
D. 车所受合外力做功为零
5．小船在静水中速度为v，今小船要渡过一条河流，渡过时小船垂直对岸划行。若小船划行至河中间时，河水流速突然增大，则渡河时间与预定时间相比将
A．增长 B．不变 C．缩短 D．无法确定
6．人在静水中速度为3km/h,现在他在流速为1.5 km/h的河水中沿不同的方向从O点游到彼岸，这些不同方向与A岸的夹角分别为
A．30° B．60° C．90° D．120°
此人要以最短时间游到彼岸，应选的方向是4-10中的哪一个？
Ⅱ 能力与素质
7．在抗洪抢险中，战士驾驭 摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v ，摩托艇在静水中的航速为v ，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d， 战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为
A． B．0 C． D．
8．两个宽度相同但长度不同的台球框固定在水平面上，从两个框的长边同时以相同的速度分别发出小球A和B，如图4-11所示，设球与框边碰撞时无机械能损失，不计摩擦，则两球回到最初出发的框边的先后是
A．A球先回到出发框边；
B．B球先回到出发框边；
C．两球同时回到出发框边；
D．因两框长度不明，故无法确定哪一个球先回到出发框边。
9．如图4-12所示，为一匀强电场，实线为电场线，一个带电粒子射入该电场后，留下一条虚线所示的经迹，途经a点和b点，则下面判断正确的是：（设由a运动到b）（ ）
A．b点的电势高于a点的电势
B．粒子在a点的动能大于粒子在b点的动能
C．粒子在b点的电势能大于粒子在a点的电势能
D．该匀强电场的场强方向向左
10．如图4-13所示，在高为H的光滑平台上有一物体用绳子跨过定滑轮C，由地面上的人以均匀速度v 向右拉动，不计人的高度，当人从地面上平台的边缘A处向右行走距离s到过B处时，物体的速度v= ，物体移动的距离为s =
专题三 重力作用下运动—平抛运动
【考点透析】
一、本专题考点： 本专题为II类要求，必须熟练掌握解决平抛运动的基本方法。
二、理解和掌握的内容
1．平抛运动的特点：以水平初速度抛出的物体只在重力作用下的运动。运动中质点仅受重力的作用，其运动的加速度为重力加速度。运动轨迹为抛物线，其运动性质为匀变速曲线运动。
2．处理方法：运用运动的合成与分解，把其中分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，如图4—14所示。
在x方向：vx=v0， x= v0t
在y方向：vy=gt y= gt2
设在t时间内质点运动到A点，则其速度与位置分别为：速度 与 的夹角 ；对o点的位移 ， 与 轴正方向的夹角
3．难点释疑（1）平抛运动加速度恒定，是匀变速曲线运动，速度随时间均匀变化，即在任意相等的时间内，速度变化量相等。
（2）平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。这两个分运动同时存在，按各自的规律独立进行。水平初速度大小不会影响竖直方向的分运动，一般情况下，竖直方向的分运动决定着平抛物体运动的时间。
【例题精析】
例题1 如图4—15所示，斜面倾角为300，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到斜面B点，求：①AB间的距离；②物体在空中飞行的时间；③从抛出开始经多少时间小球与斜面间的距离最大？
解析：①、②由题意且设AB长为 ,得：
解得：
③将v0和重力加速度g沿平行于斜面和垂直于斜面方向正交分解图如图4—16所示，则当物体在垂直于斜面方 向速度为零时与斜面距离最大，即：
所以，
本题中利用了斜面的倾角找到了小球落到斜面时两个方向上的位移关系，在实际题目中已知的角度有时告诉的是位移关系，有时是速度关系，解题时要注意具体问题具体分析。如在本题中当小球与斜面之间的距离最大时，可知小球的速度方向定与斜面平行即速度方向与水平方向的夹角为300，，如图4—17所示，此时小球的竖直方向的分速度vy=v0tan300，又由vy=gt 可求得
思考拓宽：某时刻质点的位移与初速度方向的夹角α，速度与初速度方向的夹角θ的关系为tanθ = 2tanα。因此，在分析问题时既要会区分两个角度，又要会利用二者之间的关系。如下题：如图4-18中上图所示，在倾角为37°的斜面底端正上方高h 处平抛一物体，该物体落到斜面上的速度方向正好与斜面体的斜面垂直， 则物体抛出时的初速度为 （重力加速为g）
简析：由已知，小球打在斜面上的速度v方向与斜面垂直即v与水平方向的夹角为
53°，如图4-19中下图，设小球打到斜面上水平方向的位移为x，竖直方向的位移为y，所以有： ，由图示几何关系
由以上二式解得
小球在竖直方向做自由落体运动，得
所以
故所求
例题2 在研究平抛运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长L=1.25cm,若小球在平抛运动途中的几个位置如图4-20中的a、b、c、d所示，则小球平抛的初速度的计算式为v0= (用L、g表示)，其值是 （取g=9.8m/s2）
解析：做匀变速直线运动的物体，相邻相等时间时间隔位移差是一个常数，即
平抛物体，竖直方向符合上式。由题意知，a与b、b与c、c与d水平方向的位移相等，即时间间隔相同，有：
竖直方向：
水 平方向：
代入数值得：v0=0.7m/s
错解：很多同学解此题时，几乎是下意识地将 点作为抛出点由 及 求得 错误结果。
思考与拓宽：从上面的解法中可看出，a点不是抛出点，那么抛出点在何处呢？
解：设抛出点离a点的水平距离为x0，竖上距离为y0，从抛出到a点时间为t0,则a点竖直方向速度
求得 所以
即抛出点的坐标为 （x轴正方向为 ，y轴正方向竖直向下）
【能力提升】
Ⅰ 知识与技能
1．如图4—21所示，以9.8m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直撞在倾角θ为300斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是
A． B． C． D．
2．一架飞机水平地匀速飞行，从飞机上每隔1s释放一个铁球，先后共放4个，若不计空气阻力，则4个球
A．任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的。
B．任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是不等间距的
C．在空中任何时刻总在飞机下方排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的
D．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是不等间距的
3．如图4—22所示，火车厢在水平轨道上以速度v向西作匀速直线运动，车上有人相对车厢为u的速度向东水平抛出一小球，已知v>u，站在地面上的人看到小球的运动轨迹应是（图中箭头表示列车运动的方向）
4．如图4—23所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab=bc=cd，从a点正上方的O点以速度v水平抛出一个小球，它落在斜面上b 。若小球从O点以速度2v水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的
A．b与c之间的某上点 B．c点
C．c与d之间的某点 D．d点
5．如图4—24所示，从倾角为θ的斜面顶端抛出一个小球，落在斜面上某处，那么小球落在斜面上的速度与斜面的夹角α，则α为
A．不可能等于900 B．随初速度增大而增大
C．随初速度增大而减小 D．与初速度大小无关
6．对于平抛运动（不计空气阻力， g为已知），下列条中可确定物体飞行时间的是
A．已知水平位移 B．已知下落高度
C．已知初速度 D．已知位移的大小和方向
7．小球由倾角为300的斜面上某一点平抛，初动能为6J，它落到斜面上时动能为 J
8．飞机以恒定的速度v沿水平方向飞行，高度为200m。在飞行过程中释放一炸弹，经过30s后飞行员听见炸弹落地的爆炸声，假设爆炸声向空间各个方向的传播速度都为330m/s，炸弹受到的空气阻力可以忽略。求该飞机的飞行速度v
9．如图4-25所示，一水平放置的平行板电容器的极板长为 ，板间距离为d，
离极板右端距离为S处有一竖直放置荧光屏，现让两极板带上等量异种电荷，有一束带正电的粒子（不计重力）沿两极板之间中线且平行极板从左端射入，从下极板右端飞出电场。设
极板间中线交荧光屏于O点，求粒子击中荧光屏处离O点的距离y。
10．如图4-26所示，一个圆柱器的内壁是光滑的，圆柱高为h，直径为 d，一小球从柱的顶端A处直径方向水平射出，在B处和器壁发生碰撞（碰撞中无机械能损失）后被弹射回，如此反复整数次后落到容器底部。设水平射出的初速度为v ，求小球在容器中弹射的次数。
专题四 圆周运动的规律及处理方法
【考点透析】
一、本专题考点： 本专题为II类要求。不要求推导向心力公式。
二、理解和掌握的内容
1.描述圆周运动的物理量:（1）线速度：是用描述质点沿圆周运动快慢的物理量，是矢量，方向：沿质点在圆弧上的点的切线方向；大小： （s是t时间内质点通过的弧长）.
（2）角速度：用描述质点绕圆心转动的快慢，其大小： （rad/s），其中ф是连接质点和圆心的半径在时间t内转过的角度。
（3）周期与频率：做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期，用T表示。做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速，用f表示。
以上四量的关系：T= ，ω= πrf=ωr
注意：T、f、r三个量中任一个确定，其余两个也就确定了。但 还是和半径r有关。
（4）向心加速度：是用描述质点速度方向改变快慢的物理量，是矢量。
大小：
方向：总是指向圆心，方向时刻在变化，不论a的大小是否变化，a都是个变加速度。因此，做圆周运动的物体一定是在做变加速曲线运动。
（5）向心力：是根据其作用效果命名的，向心力产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变速度的大小。因此，向心力对期待圆周运动的物体不做功。
大小：F=
方向：总是沿半径指向圆心，时刻在变化，即向心力是变力。
2．圆周运动：（1）匀速圆周运动：①特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也是恒定不变的。②性质：是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动，并且是加速度大小不变、方向时刻变化的变加速曲线运动。③做匀速圆周运动的条：物体所受的合外力充当向心力，其大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
（2）一般的圆周运动：即非匀速圆周运动，速度大小有变化，向心力和向心加速度的大小也随着变化，向心力和向心加速度公式中的速度应为质点的瞬时速度。
3．处理圆周运动问题的基本方法：（1）从运动学角度：会分析质点的运动规律，会确定描述其运动的各个参量之间的关系，理解并会应用圆周运动的周期性分析实际问题。
（2）从动力学角度：会根据牛顿运动定律建立动力学方程，通过正确的受力分析，明确什么力充当质点做圆周运动的向心力。
4．难点释疑：（1）在处理传动装置的各物理量时，要抓住同轴的各质点具有相同的角速度，在传动皮带及轮子的边缘上的点具有相同的线速度，如图4-27所示，大轮半径为小轮半径的2倍，A、C分别为两轮边缘上的点，B到圆心的距离为大圆半径的一半，由上述结论可知，A、B具在相同的角速度，A、C具有相同的线速度， =ωr，A、B线速度之比为2:1，A、C角速度之比为1:2
（2）向心力不是和重力、弹力、摩擦力相并列的一种力，是根据力的作用效果命名的指向圆心的合外力，在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力、万有引力）以外再添加一个向心力。
【例题精析】
例1 如图4-28所示一圆盘可绕一通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动。在圆盘上放置一木块，木块随圆盘一起做匀速转动
A．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心
B．木块受到圆盘对它的摩擦 力，方向指向圆盘中心
C．因为木块随圆盘一起运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的运动方向相同。
D．摩擦力总是阻碍物体的运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的运动方向相反。
解析：相对地面说，木块是做匀速圆周运动的，必定受到其它物体作用于它的沿圆周半径指向圆心的合外力作用，且此合外力充当向心力，现在水平方向木块只可能受到圆盘作用于它的摩擦力，所以选项B是正确的，其余错误。
木块随盘一起做匀速圆周运动，假如摩擦力突然消失，对地说，木块由于惯性将沿圆周的切线方向飞出，而对盘说木块是沿半径向外运动，即木块相对于圆盘有向外运动的趋势，圆盘作用于木块的摩擦力的方向是沿盘半径向里的。故A不对
力不是运动的原因，力的方向也不一定与物体的运动方向一致，但力的方向与加速度方向总是相同的。木块随盘转动的加速度方向指圆心，而不是沿切线方向，故C不对。
“摩擦力总是阻碍物体运动”这句话本身就不正确。正确的说法是摩擦力的方向与相互接触的物体间的相对运动或相对运动趋势的方向相反。木块有相对盘向外运动的趋势，因此它受的摩擦力是沿半径方向向里的。故D不对。
本题重点考查学生是否理解物理概念和物理规律的确切含义，能否鉴别关于概念、规律、条的似乎是而非的说法。要求学生处理实际问题时，要用科学的物理眼光分析问题，在实践中理解物理知识。
思考拓宽：如图4-29所示，水平转台上放着A、B、C三物块，质量分别为2m、m、m，离转轴距离分别为R、R、2R，与转台动摩擦因数相同，转台旋转时，其最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是
A．若三物体均未滑动，则C物向心加速度最大
B．若三物体均未滑动，则B物受到的摩擦力最大
C．转速增加，A比Ｂ先滑动
D．转速增加，C物先滑动
答案：Ａ．Ｄ
例2 如图4-30所示，、N是两个共轴圆筒的横
截面，外筒半径为R，内筒半径比R小很多，可以忽略不计，筒的两端是封闭的，两筒之间成真空。两筒以相同的速度ω绕其中轴线（图中垂直于纸面）做匀速转动。设从筒内部可以通过窄缝s（与筒的轴线平行）不断地向外射出两种不同速率 和 的微粒，从s处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上，如果R、 、 都不变，而ω取某一合适的值，则
A．有可能使微粒落在筒上的位置都在a处一条与s缝平行的窄条上
B．有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如b处一条与s缝平行的窄条上
C．有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如b处和c处与s缝平行的窄条上
D．只要时间足够长，N筒上将到处都落有微粒
解析 若共轴的和N不转动，从筒的缝s射出的粒子就应该落在a处，若两筒以相同的速度ω绕其中心轴做匀速转动，遇从s缝射出的微粒落在N筒上时对于a就应偏转了一定的角度。
设 、> ，速率为 的微粒落在N筒上的位置转过的角度应为
同样，速率为 的微粒落在N筒上的位置转过的角度
两种微粒偏转角度的差值为
欲使微粒落在N筒上同一条与s逢平行的窄条上，则需
(n= 1,2,3…)
若两种微粒都落在N上正对s缝的a穿条，则应
,
且应满足 > 条。
ω合适的取值范围为：
若两种微粒落在N筒上某两处平行的窄条上，则应满足
△θ≠2л ，那么ω合适的取值为：
综上所述，选取项（A）（B）（C）正确。
【能力提升】
Ⅰ 知识与技能
1.关于匀速圆周运动下列说法正确的是
A．匀速圆周运动属于变速曲线运动
B．匀速圆周运动的加速度是用描述线速度方向改变快慢的物理量
C．对于给定的匀速圆周运动、角速度、周期、转速是不变量
D．匀速圆周运动的向心加速度和向心力始终指向圆心，所以两者的方向是不变的
2．某质点做匀速圆周运动，圆周半径为r，周期为T，若保持向心加速度的大小不变化，当圆周半径为4r时，运动周期为
A．4T B．2T C． D．12T
3．某质以恒定速率沿圆弧从A点运动到B点，其速度方向改变了θ（弧度），AB的弧长为s，质点所受到的合外力为F，根据上述描述，可求出
A．质点期做圆周运动的半径R B．质点做圆周运动的周期T
C．质点做圆周运动的线速度的大小 D．质点做圆周运动的动能Ek
4．由上海飞往美国洛杉矶的飞机在飞越太平洋上空的过程中，如果保持飞行速度的大小和距离海面的高度均不变，以下说法正确的是
A．飞机做的是匀速直线运动
B．飞机上的乘客对座椅压力略大于地球对乘客的引力
C．飞机上的乘客对座椅的压力略小于地球对乘客和引力
D．飞机上的乘客对座椅的压力为零
5．一个半径R的纸质圆筒，绕其中心轴匀速转动，角速度为ω，一粒子弹沿AO方向打进纸筒，从纸筒上的B点穿出，如图4-31所示，从子弹打入纸筒的过程中，纸筒未转够一周，若AB弧所对的圆心角为θ，则子弹的速度大小υ应是
A．ωR B．ωR/θ
C．2Rω/θ D．2Rω/（π-θ）
Ⅱ 能力与素质
6．飞机以350km/h的速度在地球表面附近飞行，下列哪种情况飞机上的乘客可在较长时间内看见太阳不动的停在空中？（已知地球半径R=6400km,sin78°=0.978）
A．在北纬78°由东向西飞行 B．在北纬78°由西向东飞行
C．在北纬12°由东向西飞行 D．在北纬12°由西向东飞行
7．如图4-32光滑的水平面上钉有两枚铁钉A和B相距0.1m，长1m的柔软细绳拴在A上，另一端系一质量为0.5kg的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧，把细线拉紧，给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度使它做圆周运动。由于钉子B的存在，使线慢慢地缠在A、B上。
（1）．如果细线不会断裂，从小球开始运动到细线完全缠在A、B上需要多长时间？
（2）．如果细线的抗断拉力为7N，从开始运动到细线断裂需经历多长时间？
8．一根长为L的均匀细杆，可以绕通过其一端的水平轴O在竖直面内转动，杆最初在水平位置上，杆上距O点 L处放一小物体m（可视为质点），杆与小物体最初处于静止状态，如图4-33所示，如 杆忽然以角速度ω绕 O轴匀速转动，问ω取什么值时杆OA与小物体可再次相遇？
9．有一水平放置的圆盘，上面放一劲度系数为k的弹簧，弹簧一端固定于轴O上，另一端拴一根质量为m的物体A，物体与盘面间最大静摩擦力为 ，弹簧未发生形变，长度为R0，如图4-34所示，问：
（1 ）．盘的转速n0多大时，物体A开始滑动？
（2）．当转速达到2n0时，弹簧的伸长量是多少？
10．如图4-35所示，汽车总质量为1.5×104kg，以不变的速率先后驶过凹型路面和凸型路面。路面圆弧半径均为15 m，如果路面的最大压力不得超过2.0×105N，汽车的最大速率为多少？汽车以此最大速率运行，则驶过此路面的最小压力为多少？
专题五 竖直平面内的圆周运动
【考点透析】
一、本专题考点：圆周运动及牛顿第二定律的应用。
二、理解和掌握的内容
1．竖直面内的匀速率圆周运动:物体所受合外力大小恒定,方向总指向圆心,充当其做圆周运动的向心力;满足匀速圆周运动的基本规律.
2．竖直面内的变速率圆周运动:具有周期性，速率、角速度、向心加速度及向心力随时间变化。要会根据牛顿第二定律列最高点及最低点的动力学方程,会根据能量的观点确定质点的不同位置的状态关系.
3．难点释疑：竖直面内的圆周运动中物体的临界状态分析：
（1）细线模型：如图4-36（甲），在长为L的轻线下挂一质量为m的小球，绕定点O在竖直平面内转动，通过最高点时，其速度 至少多大？
设小球在最高点的速度为 ,受到细线对它的竖直向下的拉力T，受到向下的重力mg，由牛顿第二定律可得： mg=m -mg 0 即
小球在圆轨道最高点的速度至少应为
与此相类似的情况还有小球沿竖直平面内的光滑圆轨道的内缘运动，飞行员在竖直平面内作圆运动的物技表演，杂技“水流星”。
（2）细杆模型：如图4-37（甲）在一长为L的细杆的一端拴一质量为m的小球，绕杆的另一端在竖直平面内作圆周运动。小球能到达轨道最高点的最小速度为多大？
细线对小球只能有拉力作用，而细杆对小球不但可以有拉力作用，还可以有支持力作用，在圆轨道的最高点，当细杆对小球竖直方向的支持力大小等于小球重力的大小时，小球受到的合力为零，则小球的线速度为零，即小球在圆轨道最高点的最小值为零。
汽车过凸形桥、小球在竖直平面内的光滑圆管内运动等都属于这种情况。
【例题精析】
例1 如图4-38所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m的铁块。电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转动，则电机对地面的最大压力和最小压力之差为
解析：设铁块在最高点和最低点时，电机对其作用力分别为T1、T2，且都指向轴心，根据牛顿第二定律有：
在最高点：mg+T1=mω2r ①
在最低点：T2-mg= mω2r ②
电机对地面的最大压力和最小压力分别出现在铁块m位于最低点和最高点时，且压力差的大小为：
ΔN=T2+T1
由①②③式可解得：ΔN=2mω2r
思考拓宽：在（1）若m在最高点时突然与电机脱离，它将如何运动？
（2）当角速度ω为何值时铁块在最高点与电机恰好无作用力？
（3）本题也可认为是一电动打夯机的原理示意图。若电机的质量为，则ω多大时，电机可以“跳”起？此情总下，对地面的最大压力是多少？
例2．如图4-39所示，一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）。在圆管中有两个直径与细管内相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1，B球的质量显m2，它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为 .设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点。若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与 应满足的关系式是
解析：A球在最低及B球在最高点的受力如图4—46所示，设管对A、B两球的作用力为NA、NB（设向下为正）则有：
对A：NA-m1g=m1 ①
且NA的方向必向上，由牛顿第三定律A球对管的压力向下，为使A、B两球对管的压力的合力为零，所以B对管的压力方向必向上，管对B球的压力必向下。
对B：NB+m2g=m2 ②
其中 为B球在最高点的速度，由机械能守恒定律： m2 = m2 +2m2gR ③
依题意：NA=NB，则有A、B对圆管的合力为0，整理得，m1、m2,R及 应满足关系式：（m1-m2） +(m1+5m2)g=0
这是一道圆周运动与机械能守恒定律的综合题目，也是一道情景新颖的讨论题，要求能 正确地对A、B进行受力分析，判断出A、B受到圆管对它的作用力的方向，列出正确的方程式，问题便会迎刃而解。
思考拓宽：讨论（1）在满足题意的前提下， 须满足的条是
讨论（2）如果在B球运动到最高点时，B刚好与管无相互作用，其它条不变，设管的质量为，则此时圆管对地面的压力为
提示：（1）由题中分析解方程②③得
NB=m2( -5g)，NB方向向下，NB>0。可解得 >
（2）如B在最高点对管无作用力，即NB=0，则可解得 0= 。此时A在最低点对管的压力大小等于NA=m1g.由平衡条及牛顿第三定律可得，管对地面的压力N=g+6m1g
【能力提升】
Ⅰ 知识与技能
1．如图4-40所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是
A．a处为拉力，b处为拉力
B．a处为拉力，b处为推力
C．a处为推力，b处为拉力
D．a处为推力，b处为推力
2．质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力做的功为
A． mgR B． mgR C． mgR D．mgR
3．一辆卡车在丘陵地匀速行驶，地形如4-41所示，由于轮胎太旧，途中爆胎，爆胎可能性最大的地段就是
A．a处 B．b处 C．c处 D．d处
4．轻杆一端固定在光滑水平轴O上，另一端固定一质量为m的小球，如图4-42所示，给小球一初速度，使其在竖直平面内做圆周运动，且刚好能通过最高点P，下列说法正确的是
A．小球在最高点对杆的力为零
B．小球在最高点对杆的作用力大小为mg
C．若增大小球的初速度，则在最高点时球对杆的力一定增大
D．若增大小球的初速度，则在最高点时球对杆的力可能增大
5．如图4-43所示，质量为m的小球，用长为 的线悬挂在O点，在O点正下方 /2处有一光滑的钉子O?，把小球拉到与O?在同一水平线的位置，摆线被钉子拦住，将小球从静止释放，当第一次通过最低点P时
A．小球速率突然减小
B．小球角速度突然减小
C．小球的向心加速度突然减小
D．摆线上的张力突然减小
Ⅱ 能力与素质
6．如图4-44所示，质量为m的小球在竖直两面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点不脱离轨
道的临界速度值是 ，当小球以2 的速度经过最高点时，对轨道的压力值是
A．0 B．mg C．3mg D．5mg
7．如图4-45所示，一长为2L的轻杆，两端各固定一小球，A球质量为，B球质量为m，且> m，过杆的中点有水平光滑固定轴，杆可绕轴在竖直面内转动，当杆转动到竖直位置时，角速度为 ，A正好位于上端，B正好位于下端，则沿竖直方向，杆作用于固定轴的力的方向一定向上的条是
8．质量为m，电量为+q的小球用一绝缘细线悬于O点，开始时它在A、B之间回摆动，OA、OB与竖直方向的夹角均为，如图4-46所示，（1）如果当它摆动到B点时突然施加一竖直向上的、大小为E=mg/q的匀强电场，则此时线的拉力 ,（2）如果这一电场是在小球从A点摆到最低点C时突然加上去的，则当小球运动到B点时线的拉力
9．飞行员从俯冲状态往上拉时，会发生黑视，第，一次是因为血压降低，导致视网膜缺血，问（1）血压为什么会降低？（2）血压在人体循环中所起的作用是什么？（3）为了使飞行员适应这种情况，要在如图4-47的仪器中对飞行员进行训练，飞行员坐在一个垂直平面做匀速圆周运动的舱内，要使飞行员受到的加速度a=6g，则转速需为多少？
10．如图4-48所示，小球A用不可伸长的轻绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子，OB=y。初始时，小球A与O同水平面无初速释放，绳长为 ，为使球能绕B点做圆周运动，求y的取值范围。
专题六 万有引力定律 天体运动
【考点透析】
一、本专题考点： 本专题为II类要求。
二、理解和掌握的内容
1.万有引力定律：（1）万有引力定律的内容和公式：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力的大小，跟它们的质量和乘积成正比，跟它们距离平方成反比，公式：
F=G 其中万有引力恒量G=6.67×10-11Nm2/kg2
（2）适用条：适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。均匀的球体可视为质点，r为两球心之间的距离。
2．万有引力定律在天体运动研究中的应用：
（1）基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。
G =m =mω2R=m m
应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算。
（2）天体质量、密度ρ的估算：
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径R和周期T，由G = 得
= 为天体的半径。
当卫星沿天体表面绕天体运行时，R=R0，则ρ=
3．重力和万有引力
重力是地面附近的物体受到地球的万有引力面产生的。物体的重力和地球对该物体的万有引力差别很小，一般可认为二者大小相等。即 mg0=G ,式中g0为地球表面附近的加速度，R0为地球的半径。所以在求第一宇宙速度时，可以用m =G ，也可以用m =mg0.
【例题精析】
例1 在天体运动中，将两颗彼此距离较近的星体称为双星，已知该两星体质量分别为1、2，它们之间距离为L，求各自运动半径及角速度？
解析：双星体间彼此距离较近，存在着万有引力且距离不变，那么这两颗星体一定绕着两星连线上某一点（两星体质心位置）做匀速圆周运动，设该点为O，则1O2应始终在同一直线上，1与2的角速度ω应相等，设1到O点距离为R，2到O点距离为L-R有：
F引=G12/L2 ①
F引=1ω2•R=2ω2（L-R） ②
由②式得 R= L
由于①②式， =1ω2R，以代入，得
ω=
例2．利用下列哪组数据，可以计算出地球的质量
A．已知地球的半径R地和地面的重力加速度g
B．已知卫星绕地球匀速圆周运动的轨道半径r和周期T
C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度
D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度 和周期T
解析 选项A 设相对地面静止的某一物体质量为m，根据万有引力等于重力的关系得
G= =mg 解得 地=
选项B 设卫星质量为m，根据万有引力等于向心力的关系得
G =mg 解得 地=
选项C 设卫星质量为m，根据万有引力等于向心力的关系得
G =m 解得 地=
选项D 设卫星质量为m，根据万有引力等于向心的关系可得
以上两式消r解得 地 =
综上所述，该题的四个选项都是正确的，如果已知地球的半径R地，且把地球视为球体，则地球的体积V= ，根据 ρ= ，还可以计算出地球的平均密度ρ。上述计算质量和密度的方法，也可用于计算其它天体的质量和密度。
【能力提升】
Ⅰ 知识与技能
1．某人在一星球表面以速度V0竖直向上抛一物体，经t秒后物体落回手中，若星球的半径为R，那么至少要用多大的速度将物体沿星球表面抛出，才能使物体不现落回星球表面？
A． B． C． D．
2．宇宙飞船进入一个围绕太阳运行的近乎圆形的轨道运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是
A．3年 B．9年． C．27年 D．81年
3．月亮绕地球转动的周期为T．轨道半径为r，则由此可得地球质量的表达式为 （万 有引力恒量为G）
4．登月火箭关闭发动机后在离月球表面112km的空中沿圆形轨道运行周期为120.5分钟，月球的半径是1740 km，据这些数据计算月球的质量为 kg.
5“黑洞”是爱因斯坦的广义权对论中预言的一种特殊天体，它的密度极大，对周围物质（包括光子）有极强的吸引力，根据爱因斯坦理论，光子是有质量的，光子到达黑洞表面时也将被吸入，最多恰能绕黑洞表面做圆周运动。根据天观测，银河系中心可能有一个黑洞，距该可能黑洞6.0×1012m远的星体正以2.0×106m/s的速度绕它旋转，试估算该可能黑洞的最大半径R= m(保留一位有效数字)。
Ⅱ 能力与素质
6．人们认为某些中子星（密度极大的恒星）每秒大约自转一周，那么为使其表面上的物体能够被吸引住而不致由于快速转动被“甩掉”，它的密度ρ= 。
（G=6.67×10-11Nm2/kg2,R地=6.4×103km，保留两位有效数字）
7．某一物体在地球表面用弹簧秤得重160N。把该物体放在航天器中，若航天器以加速度a=g/2(g为地球表面的重力加速)垂直地面上升，这时再用同一弹簧秤秤得物体的视重为90N。忽略地球自转的影响，已知地球半径为R，求此航天器距地面的高度。
8．在某星球上，宇航员用弹簧秤得质量为m的砝码重力为F，乘宇宙飞船在靠近该星球表面飞行，测得其环绕周期是T。根据上述各量，试求该星球的质量。
9．站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离L。若抛出时的初速度增大到2位，则抛出点与落地点之间的距离为 L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G，求该星球的质量。
10．两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。
专题七 人造地球卫星
【考点透析】
一、本专题考点：本专题为Ⅱ类要求。
二、理解和掌握的内容
1．卫星的绕行速度、角速度、周期与半径R的关系：（1） G ， 得 ，
∴R越大， 越小。
（2）由G ， 得
∴R越大，ω越小。
（3）由G 得 T=
∴R越大，T越小。
2．三种宇宙速度
（1）第一宇宙速度（环绕速度）： =7.9km/s，人造地球卫星的最小发射速度。
（2）第二宇宙速度（脱离速度）： =11.2km/s,使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。
（3）第三宇宙速度（逃逸速度）： 3=16.7km/s,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射击速度。
3．地球同步卫星
所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的和地球自转具有同周期的卫星，T=24h。同步卫星必须位于赤道正上方距地面高度h≈3.6×104km处。
4．难点释疑：
（1）随地球自转的向心加速度和环绕运行的向心加速度。
放于地面上的物体随地球自转所需的向心力是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供；而环绕地球运行的卫星所需的向心力完全由地球对其的引力提供。两个向心力的数值相差很多，如质量为1kg的物体在赤道上随地球自转所需的向心力只有0.03N，而它所受地球引力约为9.8N。
对应的两个向心加速度的计算方法也不同：物体随地球自转的向心加速度a1=ω2R0=（ ）2R0，式中T为地球自转周期，R0为球半径；卫星绕地球环绕运行的向心加速度a2= ，式中为地球质量，r为卫星与地心的距离。
（2）运行速度和发射速度
对于人造地球卫星，由G 得 = ，该速度指的是人造地球卫星在轨道上的运行速度，其大小随轨道半径的增大而减小。但由于人造地球卫星发射过程要克服地球引力作功，增大重力势能，所以将卫星发射到离地球越远的轨道上所需要的发射速度越大。
（3）为何同步卫星必须位于赤道正上方？由于同步卫星相对于地面静止，因此它必须做匀速圆周运动，而做匀速圆周运动的物体的合外力必总是指向圆心，卫星受到的合外力是地球对它的万有引力，故只有在赤道上方才能满足这一条，卫星才能稳定运行。
【例题精析】
例1 可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道
A．与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面同心圆
B．与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆
C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D．与地球表面一的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的
【解析】 万有引力完全用于提供人造球卫星绕地圆周运动的向心力。A选项的情景中，万有引力在某一纬度面内的一个分力提供向心力，万有引力的另一个分力会使卫星轨道离开这个平面；B选项的情景中，万有引力全部提供卫星圆周运动的向心力，使其轨道平面相对地心、两极固定下，但由于地球不停地自转，轨道平面不会固定于某一经线决定的平面，选项A、B错。赤道轨道上卫星受的引力全部提供向心力，除通信卫采用“地球静止轨道”外，赤道轨道上的其他卫星都相对地球表面是运动的，选项C、D正确。
例2 发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点（如图4-49），则卫星分别在1，2，3轨道上正常运行时，以下说法正确的是
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
【解析】 “ 相切”隐含着2、3轨道在切点P，2、1轨道在切点Q各有相同的弯曲程度（实质是曲率半径相同），即各有相同的瞬时轨道半径。
由万有引力定律及牛顿第二定律有
导出
与ω都是r的递减函数，故知B项对，A项错。a=G/r2,即加速度a亦是r的递减函数，而卫星处在切点时两轨道瞬时运行半径相同，故知D项对、C项错
综合得正确选项有B、D
思考与拓宽：试分析卫星在轨道1上运行时机械能与在轨道3上运行时机械能的大小关系，卫星在轨道1上运行通过Q点时，如何动作才能使卫星进入轨道2？
例3 已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度） ，其中G、E、RE分别是引力常量、天体的质量和半径。已知G=6.67×10-11N•m2/kg2,c=2.9979×108m/s.求下列问题：（1）逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量=1.98×1030kg,求它的可能最大半径（这个半径叫shwarzchld半径）；（2）在目前天观测范围内，物质的平均密度为10-27kg/m3,如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？
【解析】（1）由题目所提供的信息可知，任何天体的均存在其所对应的逃逸速度 ，其中、R为天体的质量和半径，对于黑洞模型说，其逃逸速度大于真空中的光速，即 2>c,所以
R< =2.94×103(m)
即质量为1.98×1030kg的黑洞的最大半径为2.94×103m.
（2）把宇宙视为一普通天体，则其质量为=ρ•V=ρ• ①
其中R为宇宙的半径，ρ为宇宙的密度，则宇宙所对应的逃逸速度为
②
由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c即， >c ③
则由以上三式可得R= =4.24×1010光年，即宇宙的半径至少为4.24×1010光年。
【能力提升】
Ⅰ 知识与技能
1．月球绕地球运动的周期为27天，则地球的同步卫星到地球中心的距离r与月球中心到地球中心的距离R之比为
A． B． C． D．
2．如图4-50中的圆a、b、c，其圆心均在地球的自转轴线上，对卫星绕地球做匀速圆周运动而言
A．卫星的轨道可能为a
B．卫星的轨道可能为b
C．卫星的轨道可能为c
D．同步卫星的轨道只可能为b
3．一颗人造地球卫星以初速度 发射后绕地球做匀速圆周运动，若使发射速度为2 ，则该卫星可能
A．绕地球做匀速圆周运动，周期变大
B．绕地球运动，轨道变为椭圆
C．不绕地球运动，成 为太阳系的人造行星
D．挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙
4．地球上有两位相距非常远的观察者，都发现自己的正上方有一颗人造地球卫星，相对自己静止不动，则这两位观察者的位置以及两颗人造地球卫星到地球中心的距离可能是
A．一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离一定相等
B．一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍
C．两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离一定相等
D．两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍
5．设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比
A．地球与月球间的万有引力将变大
B．地球与月球间的万有引力将变小
C．月球绕地球运动的周期将变长
D．月球绕地球运动的周期将变短
Ⅱ 能力与素质
6．地球同步卫星到地心的距离r可由r3= 求出。已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2则
A．a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度
B．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度
C．a是赤道周长，b是地球自转的周期，c是同步 卫星的加速度
D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度
7．某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动，某次测量卫星的轨道半径为r1,后变为r2。r2<r1，以E1、E2表示卫星在这两个轨道上的动能，T1、T2表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则
A．E2<E1，T2<T1 B．E2<E1，T2>T1
C．E2>E1，T2<T1 D．E2>E1，T2>T1
8．据观测，某行星外围有一环，为了判断环是行星的连续物还是卫星群，可以测出环中各层的线速度V的大小与这层至行星中心的距离R之间的关系
A．若V与R成正比，则环是连续物
B．若V2与R成正比，则环是卫星群
C．若V与R成反比，则环是连续物
D．若V2与R成反比，则环是卫星群
9．在地表附近某一高度处水平发射甲、乙两颗卫星，如图4-51所示，甲绕地球作圆周运动，乙绕地球作椭圆运动。E、F两点分别在两轨道上，且E点、F点和地心在一条直线上，由图可知
A．发射甲卫星的速度一定比了射乙卫星的速度大
B．发射乙卫星的速度一定大于7.9km/s
C．甲卫星在E点的加速度一定比乙卫星在F点的加速度大
D．甲卫星在E点的速度一定比乙卫星在F点的速度大
10．假设站在赤道某地的人，恰能在日落后4小时的时候，恰观察到一颗自己头顶上空被阳光照亮的人造地球卫星，若该卫星是在赤道所在平面内做匀速圆周运动，又已知地球的同步卫星绕地球运行的轨道半径约为地球半径的6.6倍，试估算此人造地球卫星绕地球运行的周期是多少？
效果验收
１．雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹的风，下述说法正确的是
A．风速越大，雨滴下落的时间越长
B．风速越大，雨滴着地的速度越大
C．雨滴落地时间与风速无关
D．雨滴落地速度与风速无关
2．加速度不变的运动，
A．一定是直线运动
B．可能是直线运动，也可能是曲线运动
C．可能是匀速圆周运动
D．若初速度为零，一定是直线运动
3．宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的航天器中会处于失重状态，下述说法正确的是
A．宇航员仍受重力作用 B．宇航员受力平衡
C．重力正好充当宇航员围绕地球做圆周运动向心力
D．重力仍产生加速度
4．由于地球自转，地球上所有物体都随地球一起运转，因此
A．我国各地的物体都具有相同的角速度
B．位于赤道地面上的物体的线速度最大（相对于地轴）
C．地球上所有物体的向心加速度方向都指向地球中心
D．地球表面物体都随地球一起做匀速圆周运动，故都可看做是地球卫星
5．一秒摆（T=2s）由地球表面移到某一星球表面，其周期变为4s，由此可知
A．该星球半径为地球半径的2倍
B．该星球半径为地球半径的4倍
C．该星球表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比为1:4
D．该星球表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比为1:2
6．对于平抛运动（不计空气阻力，g为已知），下列条中可确定物体飞行时间的是
A．已知水平位移 B．已知下落高度
C．已知初速度 D．已知位移的大小和方向
7．如图40-52河水流速V1，船在静水中速度V2，现船横渡河流，当它分别沿AB和AC到达对岸，且AB、AC与河岸夹角α=β，设沿AB渡河时间t1，沿AC渡河时间t2，则有
A．t1>t2 B．t1=t2 C．t1<t2 D．无法确定
8．如图4-53，粗糙水平转台以角速度ω匀速度转动，转台上有一质量为m的物体，物体与转台轴心O间用长L的细线连接，此时物体与转台处于相对静止，设物体与转台间的动摩擦因数μ，现突然使转台停止转动，则
A．物体将以O为圆心，L为半径做变速圆周运动到停止
B．物体能在转台上运动一周，在此一周内摩擦力做功为0
C．物体在转台上运动 周后停止
D．转台停止后，物体做向心运动
9．已知月球的半径为R，在月球表面以初速度υ0竖直上抛一小球，经时间t落回到手中，如果在月球上发射一颗绕月球做匀速圆周运动的卫星，以下说法正确的是
A．卫星线速度不可能大于 B．卫星的加速度可能大于2υ0/t
C．卫星的角速度不可能小于 D．卫星的周期不可能小于
10．三个人造地球卫星A、B、C在地球的大气压层外沿如图4-54所示的方向做匀速圆周运动，已知mA=mB<mc,则三个卫星
A．线速度大小的关系是υA>υB=υC
B．周期TA<TB=TC
C．向心力大小的关系是FA=FB<FC
D．轨道半径和周期的关系是
11．某一颗人造地球同步卫星距地面的高度为h，设地球半径为R，自转周期为T，地面处重力加速度为g，则该同步卫星的线速度的大小应该为
A． B．
C． D．
12．对于人造地球卫星（看作匀速圆周运动）下列说法正确的是
A．在同一轨道上运行的卫星可以有不相同的线速度
B．在不同轨道上运行的卫星可以有相同的线速度
C．卫星的高度被确定，它的运行周期就被确定
D．卫星的运行周期被确定，它的线速度就被确定
13．在粗糙水平木板上放一物块，沿图4-55所示的逆时针方向作匀速圆周运动，圆半径为R，速率 ，ab为水平直径，cd为竖直直径。设运动中木板始终保持水平，物块相对于木板静止，则
A．物块始终受四个力作用
B．只有在a、b、c、d四点，物块受到的合外力才指向圆心
C．从a运动到b，物块处于超重状态
D．从b运动到a，物块处于超重状态
14．两个靠近的天体称双星，它们以两者连线上某点为圆心做匀速圆周运动，其质量分别为m1、m2。如图4-56所示，以下说法中正确的是
A．其角速度相同
B．线速度与其质量成反比
C．向心力与其质量成正比
D．轨道半径与其质量成反比
15．1999年5月10日，我国成功地发射了“一箭双星”，将“风云一号”气象卫星和“实验5号”科学实验卫星送入离地面870km的轨道。“风云一号”可发送红外气象遥感信息，为我国提供全球气象和空间环境监测资料。这两颗卫星运行速率约为
A．7.9km/s B．3.1km/s C．11.2km/s D．7.4km/s
16．将一个物体从某一高度以4m/s的速度竖直向上抛出，在落地前的最后1s内通过的位移是3m，不计空气阻力，g=10m/s。
求：（1）物体从抛出到落地的时间；
（2）抛出点距离地面的高度。
17．如图4-57设滑雪运动员由a点沿水平方向冲出跳台，在b点落地，a、b两点直线距离为40m，ab连线与水平成300角，不计空气阻力，取g=10m/s2,求他冲出跳台时的速度和空中飞行时间。
18．1999年11月20日，我国发射了“神舟”号载人航天试验飞船，飞船顺利升空，在绕地球轨道飞行一段时间后，于11月21日安全降落在内蒙古中部地区。
(1)若使航天飞船在无动力作用的情况下在地面高为
h=640km的圆轨道上绕地球飞行，则飞行速度应为多少？（地球半径R=6400km,g =9.8m/s2）
（2）吊在降落伞下的载人航天飞船返回舱竖直下落速度仍达14m/s。为了绝对安全，在返回舱离地面约1.5m时同时启动5个反推力小火箭，设返回舱做匀减速直线运动，并且接触地面时速度恰好降为0。若返回舱重量8t，则每支火箭的推力应为多大？
第四 重力作用下的运动 圆周运动 万有引力参考答案
专题一1．B ，2 C，3．D，4．AD，5．B，6．B，7．C，8．AC，9.
专题二1．C，2．B，3．ABC，4．D，5．B，6．C，7 C，8．C，9．BC，10．． 、 ．
专题三1.C，2．C，3．D，4．A，5．AD，6．BD，7．14，8．12.5，9． 10． ，
专题四1．ABC，2．B，3．AD，4．C，5．D，6．A，7．8.6s、8.2s，，8． 或 ，9． 、 ，10．7.07,1105
专题五1．AB，2．C，3．D，4．BD，5．C，6．BD， 7． 且 >m，8．0、2mg(1-cos)，9．(3)34.29m/s，10．l>y3l/5，
专题六1．B，2．C，3． ，4．7.21022 ，5．3108，6．1.41011 ，7．3R，8． ，9． ，10．
专题七 1．B，2．BCD，3．CD，4．D，5．BD，6．AD，7．C，8．AD，9．BC，10．1.4104 ，
效果验收1．BC，2．BD，3．ACD，4．AB，5．C，6．BD，7．A，8．AC，9．AD，10．ABD，11．BC，12．CD，13．C，14．ABD，15．D，16.1.2s、2.4m，17． m/s、2s，18.1.2105N
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