2015年高三上册数学开学摸底考试题(文科带答案)

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珠海市2015年9月高三摸底考试文科数学试题

一、:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.
1.已知集合 , ,则 (  )
A. B. C. D.
2.下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递增的函数为(  )
A. B. C. D.
3.设 为虚数单位,则复数 等于(  )
A. B. C. D.
4. 的值为(  )
A. B. C. D.
5.中心在原点的双曲线,一个焦点为 ,一个焦点到最近顶点的距离是 ,则双曲线的方程是(  )
A.    B.   C.   D.
6.如右图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的
正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的全面积为(  )
A. B. C. D.
7.经过圆 的圆心且与直线 平行的直线方程是(  )
A. B. C. D.
8.已知实数 满足 ,则目标函数 的最大值为(  )
A. B. C. D.
9.如右上图,在 中,点 是 边上靠近 的三等分点,则 (  )
A.   B.   C.    D.
10.用 表示非空集合 中元素的个数,定义 若 , ,且 ,设实数 的所有可能取值构成集合 ,则 (  ) A.    B.    C.    D.

二、题:本大题共5小题,每小题5分,考生作答4小题,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置.
11.设等比数列 的公比 ,则 .
12.直线 是函数 的切线,则实数 .
13.在 中, , ,且 的面积为 ,则边 的长为_________.
14.(几何证明选讲选做题)如右图,圆 的割线 交圆
于 、 两点,割线 经过圆心。已知 ,
, 。则圆 的半径 .

15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 中,直线 ( )被圆 截得的弦的长是 .

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本题满分12分)已知函数 , .
(1)求 的值; (2)若 ,且 ,求 .

17. (本题满分12分)为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人):
高校相关人数抽取人数
A18

B362
C54

(1)求 , ;
(2)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言,
求这2人都来自高校C的概率.

18.(本题满分14分)在边长为 的正方形 中, 分别为 的中点, 分别为 的中点,现沿 折叠,使 三点重合,重合后的点记为B,构成一个三棱锥.
(1)请判断 与平面 的位置关系,并给出证明;
(2)证明 平面 ;
(3)求四棱锥 的体积.

19.(本题满分14分)数列 的各项均为正数, 为其前 项和,对于任意的 ,总有 成等差数列.
(1)求 ;
(2)求数列 的通项公式;
(3)设数列 的前 项和为 ,且 ,求证:对任意正整数 ,总有 .

20.(本题满分14分)已知点 、 ,若动点 满足 .
(1)求动点 的轨迹曲线 的方程;
(2)在曲线 上求一点 ,使点 到直线: 的距离最小.

21.(本题满分14分)已知函数 满足 , 且 在 上恒成立.
(1)求 的值;
(2)若 ,解不等式 ;
(3)是否存在实数 ,使函数 在区间 上有最小值 ?若存在,请求出实数 的值;若不存在,请说明理由.

珠海市2015年9月高三摸底考试
试题与参考答案及评分标准

一、:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.
1.(集合)已知集合 , ,则 (  )
A. B. C. D.
2.(函数的奇偶性与单调性)下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递增的函数为(  )
A. B. C. D.
3.(复数的除法)设 为虚数单位,则复数 等于(  )
A. B. C. D.
4.(三角函数) 的值为(  )
A. B. C. D.
5.(圆锥曲线)中心在原点的双曲线,一个焦点为 ,一个焦点到最近顶点的距离是 ,则双曲线的方程是(  )
A.    B.   C.   D.
6.(三视图)如右图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的
正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的全面积为(  )
A. B. C. D.

7.(直线与圆)经过圆 的圆心且与直线 平行的直线方程是(  )
A. B. C. D.
8.(线性规划)已知实数 满足 ,则目标函数 的最大值为(  )
A. B. C. D.
9.(向量)如右上图,在 中,点 是 边上靠近 的三等分点,则 (  )
A.    B.   C.    D.
10.(信息题)用 表示非空集合 中元素的个数,定义
若 , ,且 ,设实数 的所有可能取值构成集合 ,则 ( ) A.    B.   C.   D.

二、题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置.
11.(等比数列)设等比数列 的公比 ,则 .
12.(导数)直线 是函数 的切线,则实数 .
13.(解三角形)在 中, , ,且 的面积为 ,则边 的长为___ ______.
14.(几何证明选讲选做题)如右图,圆 的割线 交圆
于 、 两点,割线 经过圆心。已知 ,
, 。则圆 的半径 .

15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 中,直线 ( )被圆 截得的弦的长是 .

三、解答题:本大题共6小题,12分+12分+14分+14分+14分+14分=80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(三角函数)已知函数 ,
(1)求 的值; (2)若 ,且 ,求 .
解: (1)

…………………………………………………………………………2分
(2)
因为 ,且 ,所以 ……………………………………11分
所以 ……………………12分

高校相关人数抽取人数
A18

B362
C54

17.(概率)为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人)
(1)求 , ;
(2)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言,
求这2人都来自高校C的概率.
解: (1)由题意可得: ,即 ……………………………………………………………2分
,即 …………………………………………………………4分

(2)设事件 :2人都来自高校C……………………………………………………………5分
记高校 的两人为 ,高校 的两人为
则选取2人的所包含的基本事件共有: , , , ,
, , , , , 共有10种情况…………………9分
选取2人都来自高校C的所包含的基本事件有: , , 共3种情况……11分
所以 …………………………………………………………………12分

18.(立几)在边长为 的正方形 中, 分别为 的中点, 分别为 的中点,现沿 折叠,使 三点重合,重合后的点记为 ,构成一个三棱锥.
(1)请判断 与平面 的位置关系,并给出证明;
(2)证明 平面 ;
(3)求四棱锥 的体积.

解:(1) 平行平面 ……………………………………………………………………2分
证明:由题意可知点 在折叠前后都分别是 的中点(折叠后 两点重合)
所以 平行 …………………………………………………………………………………3分
因为 ,所以 平行平面 ………………………………………………5分
(2)证明:由题意可知 的关系在折叠前后都没有改变
因为在折叠前 ,由于折叠后 ,点 ,所以 …6分
因为 ,所以 平面 …………………………………10分
(3) …………………………………………………………11分
……………………………………………………………12分
………………………………………………13分

……………………………………………………………………………14分

19.(数列)数列 的各项均为正数, 为其前 项和,对于任意的 ,总有 成等差数列
(1)求 ;
(2)求数列 的通项公式;
(3)设数列 的前 项和为 ,且 ,求证:对任意正整数 ,总有
解:(1)由已知:对于任意的 ,总有 成等差数列
……………………………………………………………………………2分
令 , 即
又因为数列 的各项均为正数,所以 …………………………………………………4分
(2) ①
②……………………………………………………………………5分
由①-②得:
即 即
均为正数 ………………………………………7分
∴数列 是公差为1的等差数列
…………………………………………9分
(3) ………………………………10分
当 时, ……………………………………………………11分
当 时,

…………………………13分
所以对任意正整数 ,总有 ………………………………………………………………14分
20.(解几综合)已知点 、 ,若动点 满足 .
(1)求动点 的轨迹曲线 的方程;
(2)在曲线 上求一点 ,使点 到直线: 的距离最小.
解:(1)设点 坐标为 ,则 , , , .
因为 ,所以 ,化简得 .
所以动点 的轨迹为 ……………………………………………………………………6分
(2) 点 在 上,设点 坐标为 , .…………………8分
记 到直线 的距离为
,……………………12分
当 时 有最小值 ,……………………………………………………………13分
此时点 坐标为 .………………………………………………………………14分
21.(导数综合)已知函数 满足 , 且 在 上恒成立.
(1)求 的值;
(2)若 ,解不等式 ;
(3)是否存在实数 ,使函数 在区间 上有最小值 ?若存在,请求出实数 的值;若不存在,请说明理由.
解:(1) ;
……………………………………………1分
恒成立;
即 恒成立;
显然 时,上式不能恒成立;……………………………………………………2分
∴ ,由于对一切 则有:
,即 ,解得: ;…………………………………………3分
∴ , ………………………………………………………………………………………4分
(2)
由 得: ;…………………………………5分
即 ,即 ;
∴当 ,…………………………………………………………………………6分
………………………………………………………7分
当 ……………………………………………………………8分
(3)假设存在实数 使函数 在区间 上有最小值-5.
图象开口向上且对称轴为
①当 ,此时函数 在区间 上是递增的;

解得 与 矛盾 ;………………………………………………10分②
当 ,此时函数 在区间 上是递减的,而在区间
上是递增的,

解得 ;
……………………………………………12分
③当 ,此时函数 在区间 上递减的;

解得 ,满足
综上知:当 时, 在 上有最小值-5………………………………14分




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