延边州2015年理科数学数学(理)试题头说明本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷1至3页,第II卷4至6页,共150分。其中第II卷第22—24题为选考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案写在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。注意事项:1.第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题卡上。1.已知集合, 集合, 则A B. C. D.2.设z = 1 ? i(i是虚数单位),则复数+i2的虚部是A. B.-1 C. D.-3. “”是“”的A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分不必要条件4表示不同直线,M表示平面,给出四个命题:①若∥M,∥M,则∥ 或相交或异面;②若M,∥,则∥M;③⊥,⊥,则∥;④ ⊥M,⊥M,则∥。其中正确命题为A.①② B.②③ C.③④ D.①④5. 读右侧程序框图,该程序运行后输出的A值为A B. C. D.6.一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(0,0,0),(1,2,0),(0,2,2),(3,0,1),则该四面体中以平面为投影面的正视图的面积为A. B. C. D.7已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且其渐近线的方程为,则该双曲线的标准方程为A. B. C. D.8. 设函数,则下列结论正确的是 A. 的图像关于直线对称 B. 的图像关于点对称C. 把的图像向左平移个单位,得到一个偶函数的图像 D. 的最小正周期为,且在上为增函数9在的展开中,的幂指数是整数的项共有A.6项 B.5项 C.4项 D.3项 10. 如图,边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点△AED,△EBF,△FCD分别沿DE,EF,FD折起,使A,B,C三点重合于点A′,若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上,则该球的半径为A. B.C. D.11已知函数是定义在上的偶函数,为奇函数,,当时,,则在内满足方程的实数为A. B. C. D. 12若关于x的方程有五个互不相等的实根,则的取值范围是 A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 本卷包括必考题和选考题两部分,第13题-21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题-24题为选考题,考生根据要求作答。二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡中的横线上。13. 设变量x, y满足约束条件,则目标函数的最小值为 14.已知直角中,为斜边的中点,则向量在上的投影为 15.已知中,角所对的边长分别为,且角成等差数列, 的面积,则实数的值为 。16给出下列命题:① 已知线性回归方程,当变量增加2个单位,其预报值平均增加4个单位;② 在进制计算中, ;③ 若,且,则;④ “”是函数的最小正周期为4的充要条件; ⑤ 设函数的最大值为,最小值为m,M+m=4027其中正确的个数是 个。17.(本小题满分12分)已知数列的前项和为,.()求数列的通项公式;()设n+1求数列的前项和18.(本小题满分12分)如图1,在中,∥BC,,,2。():平面;(),19.(本小题满分12分)为迎接2015年“两会”(全国人大3月5日-3月18日、全国政协3月3日-3月14日)的胜利召开,某机构举办猜奖活动,参与者需先后回答两道选择题,问题A有四个选项,问题B有五个选项,但都只有一个选项是正确的,正确回答问题A可获奖金元,正确回答问题B可获奖金元.活动规定:参与者可任意选择回答问题的顺序,如果第一个问题回答错误,则该参与者猜奖活动中止.假设一个参与者在回答问题前,对这两个问题都很陌生,试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大.20.(本小题满分12分)已知椭圆C: 的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切I)求椭圆C的方程;II)若过点(2,0)的直线与椭圆交于两点,设为椭圆上一点,且满足(为坐标原点),当 时,求实数取值范围21. (本小题满分12分)已知函数I)若函数在其定义域内为单调函数,求的取值范围;II)若函数的图像在x=1处的切线斜率为0,且 ,(,) 证明:对任意的正整数n, 当时,有.22.(本小题满分10分) 《选修4—1:几何证明选讲》如图,PA为⊙O的切线,A为切点,PBC是过点O的割线,PA=10,PB=5。 求:(I)⊙O的半径;(II)sin∠BAP的值23.(本小题满分10分)《选修4-4:坐标系与参数方程》已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中轴的正半轴重合,且两坐标系有相同的长度单位,圆C的参数方程为(为参数),点Q的极坐标为。I)化圆C的参数方程为极坐标方程;II)直线过点Q且与圆C交于MN两点,求当弦MN的长度为最小时,直线 的直角坐标方程。24.(本小题满分10分)《选修4-5:不等式选讲》已知函数,。I)求不等式的解集;II)若不等式有解,求实数的取值范围。—12:DABDC ACCBB CD 填空题13. —9; 14. ; 15. ; 16. 4三.解答题:解答题的解法不唯一,请阅卷教师参考评分标准酌情给分!17.解:(Ⅰ) 当时,, ………………… 1分当时, ………………… 3分即:,数列为以2为公比的等比数列 ………………5分 ………………………6分(Ⅱ) ………………………7分 …………………… 9分两式相减,得 …………………… 11分 …………………………… 12分18.DE ,DE//BC, BC …………2分又,AD …………4分(Ⅱ)以D为原点,分别以为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系D-xyz …………5分说明:建系方法不唯一 ,不管左手系、右手系只要合理即可 在直角梯形CDEB中,过E作EFBC,EF=2,BF=1,BC=3…………6分B(3,0,-2)E(2,0,0)C(0,0,-2)A1(0,4,0) …………8分 …………9分设平面A1BC的法向量为 令y=1,…10分 设BE与平面A1BC所成角为, …………12分19.解:(Ⅰ)该参与者随机猜对问题A的概率随机猜对问题B的概率. ……………………1分回答问题的顺序有两种,分别讨论如下:①先回答问题A,再回答问题B,参与者获奖金额的可能取值为,2分则,, . ……………………………3分数学期望. ……………5分②先回答问题B,再回答问题A,参与者获奖金额的可能取值为,…6分则,,. ……………………………9分数学期望. ……………10分.于是,当时,,即先回答问题A,再回答问题B,参与者获奖金额的期望值较大;当时,,无论是先回答问题A,再回答问题B,还是先回答问题B,再回答问题A,参与者获奖金额的期望值相等;当时,,即先回答问题B,再回答问题A,参与者获奖金额的期望值较大. ……………………………………12分20. 解:(Ⅰ) 由题意知,短半轴长为:, …………1分∵,∴,即,∴, ……… …………………2分故椭圆的方程为:. ………………3分(Ⅱ)由题意知,直线的斜率存在,设直线:,……4分设,,,由得,.…………5分,解得. …………6分.∵,∴,解得,. ………………7分∵点在椭圆上,∴,∴. ………………………8分∵,∴,∴,∴,∴,∴ …………………10分∴,∵,∴,∴或,∴实数取值范围为. ………………12分21. 解:(Ⅰ) 函数的定义域是 因为所以有所以 ………………1分 ………………2分1.当时,恒成立,所以函数在上单调递减; …3分2.当时,若函数在其定义域内单调递增,则有恒成立即因为所以 且时不恒为0. ………………4分若函数在其定义域内单调递减,则有恒成立即因为所以 综上,函数在定义域内单调时的取值范围是 ………5分(Ⅱ)因为函数的图像在x=1处的切线斜率为0,所以即所以所以 ………………………………6分令 说明:此处可有多种构造函数的方法,通所以……7分 常均需要讨论n是奇数还是偶数当是偶数时,因为所以 可参照答案所示 每种情况酌情赋2-3分所以所以即函数在单调递减所以,即 ………………………9分当是奇数时,令则所以函数在单调递减,所以……10分又因为时所以所以即函数在单调递减 ………………11分所以,即综上,对任意的正整数n,当时,有.………………12分22. (Ⅰ)因为PA为⊙O的切线,所以,又由PA=10,PB=5,所以PC=20,BC=20-5=15 ………2分.因为BC为⊙O的直径,所以⊙O的半径为7.5. ………4分(Ⅱ)∵PA为⊙O的切线,∴∠ACB=∠PAB, ………………5分又由∠P=∠P, ∴△PAB∽△PCA,∴ ………7分设AB=k,AC=2k, ∵BC为⊙O的直径,∴AB⊥AC∴ ………………8分∴sin∠BAP=sin∠ACB= ………………10分23. 解:(Ⅰ)圆C的直角坐标方程为,…2分 又 ……………4分 ∴圆C的极坐标方程为 ……………… 5分(Ⅱ)因为点Q的极坐标为,所以点Q的直角坐标为(2,-2)……7分 则点Q在圆C内,所以当直线⊥CQ时,MN的长度最小 又圆心C(1,-1),∴, 直线的斜率 吉林省延边州2015届高三下学期质量检测数学(理)试题Word版含答案
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