2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数 学(文史类)
本试题卷分第Ⅰ卷()和第Ⅱ卷(非)。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共4页。考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上大题无效。满分150分。考试时间120分钟。考试结束后,将本试题卷和答题卡上一并交回。
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
注意事项:
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1、设集合 ,集合 ,则 ( )
(A) (B)
(C) (D)
2、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( )
(A)棱柱 (B)棱台
(C)圆柱 (D)圆台
3、如图,在复平面内,点 表示复数 ,则图中表示 的共轭复数的点是( )
(A) (B)
(C) (D)
4、设 ,集合 是奇数集,集合 是偶数集。若命题 ,则( )
(A) (B)
(C) (D)
5、抛物线 的焦点到直线 的距离是( )
(A) (B)
(C) (D)
6、函数 的部分图象如图所示,则 的值分别是( )
(A) (B)
(C) (D)
7、某学校随机抽取 个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示。以组距为 将数据分组成 , ,…, , 时,所作的频率分布直方图是( )
8、若变量 满足约束条件 且 的最大值为 ,最小值为 ,则 的值是( )
(A) (B) (C) (D)
9、从椭圆 上一点 向 轴作垂线,垂足恰为左焦点 , 是椭圆与 轴正半轴的交点, 是椭圆与 轴正半轴的交点,且 ( 是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )
(A) (B) (C) (D)
10、设函数 ( , 为自然对数的底数)。若存在 使 成立,则 的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
第二部分 (非选择题 共100分)
注意事项:
必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷上无效。
二、题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
11、 的值是____________。
12、如图,在平行四边形 中,对角线 与 交于点 , ,则 ____________。
13、已知函数 在 时取得最小值,则 ____________。
14、设 , ,则 的值是____________。
15、在平面直角坐标系内,到点 , , , 的距离之和最小的点的坐标是_______。
三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)
在等比数列 中, ,且 为 和 的等差中项,求数列 的首项、公比及前 项和。
17、(本小题满分12分)
在 中,角 的对边分别为 ,且 。
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 , ,求向量 在 方向上的投影。
18、(本小题满分12分)
某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 在 这 个整数中等可能随机产生。
(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 的值为 的概率 ;
(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行 次后,统计记录了输出 的值为 的频数。以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据。
甲的频数统计表(部分) 乙的频数统计表(部分)
运行
次数
输出 的值
为 的频数
输出 的值
为 的频数
输出 的值
为 的频数
运行
次数
输出 的值
为 的频数
输出 的值
为 的频数
输出 的值
为 的频数
当 时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出 的值为 的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大。
19、(本小题满分12分)
如图,在三棱柱 中,侧棱 底面 , , , 分别是线段 的中点, 是线段 上异于端点的点。
(Ⅰ)在平面 内,试作出过点 与平面 平行的直线 ,说明理由,并证明直线 平面 ;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线 交 于点 ,求三棱锥 的体积。(锥体体积公式: ,其中 为底面面积, 为高)
20、(本小题满分13分)
已知圆 的方程为 ,点 是坐标原点。直线 与圆 交于 两点。
(Ⅰ)求 的取值范围;
(Ⅱ)设 是线段 上的点,且 。请将 表示为 的函数。
21、(本小题满分14分)
已知函数 ,其中 是实数。设 , 为该函数图象上的两点,且 。
(Ⅰ)指出函数 的单调区间;
(Ⅱ)若函数 的图象在点 处的切线互相垂直,且 ,证明: ;
(Ⅲ)若函数 的图象在点 处的切线重合,求 的取值范围。
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