山
18．（2015年高考湖南卷（理））已知 ,函数 .
(I)记 求 的表达式;
(II)是否存在 ,使函数 在区间 内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求 的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】解:
(Ⅰ)
(II)由前知,y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的.因此,若在图像上存在两点 满足题目要求,则P,Q分别在两个图像上,且 .
不妨设
所以,当 时,函数 在区间 内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直.
19．（2015年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知函数
(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
(2)求函数 的极值.
【答案】解:函数 的定义域为 , .
(Ⅰ)当 时, , ,
,
在点 处的切线方程为 ,
即 .
(Ⅱ)由 可知:
①当 时, ,函数 为 上的增函数,函数 无极值;
②当 时,由 ,解得 ;
时, , 时,
在 处取得极小值,且极小值为 ,无极大值.
综上:当 时,函数 无极值
当 时,函数 在 处取得极小值 ,无极大值.
20．（2015年高考新课标1（理））(本小题满分共12分)已知函数 = , = ,若曲线 和曲线 都过点P(0,2),且在点P处有 相同的切线
(Ⅰ)求 , , , 的值;(Ⅱ)若 ≥-2时, ≤ ,求 的取值范围.
【答案】(Ⅰ)由已知得 ,
而 = , = ,∴ =4, =2, =2, =2;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, , ,
设函数 = = ( ),
= = ,
有题设可得 ≥0,即 ,
令 =0得, = , =-2,
(1)若 ,则-2< ≤0,∴当 时, <0,当 时, >0,即 在 单调递减,在 单调递增,故 在 = 取最小值 ,而 = = ≥0,
∴当 ≥-2时, ≥0,即 ≤ 恒成立,
(2)若 ,则 = ,
∴当 ≥-2时, ≥0,∴ 在(-2,+∞)单调递增,而 =0,
∴当 ≥-2时, ≥0,即 ≤ 恒成立,
(3)若 ,则 = = <0,
∴当 ≥-2时, ≤ 不可能恒成立,
综上所述, 的取值范围为[1, ].
21．（2015年高考湖北卷（理））设 是正整数, 为正有理数.
(I)求函数 的最小值;
(II)证明: ;
(III)设 ,记 为不小于 的最小整数,例如 , , .令 ,求 的值.
(参考数据: , , , )
【答案】证明:(I)
在 上单减,在 上单增.
(II)由(I)知:当 时, (就是伯努利不等式了)
所证不等式即为:
若 ,则
①
,
,故①式成立.
若 , 显然成立.
②
,
,故②式成立.
综上可得原不等式成立.
(III)由(II)可知:当 时,
22．（2015年高考陕西卷（理））已知函数 .
(Ⅰ) 若直线y=kx+1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值;
(Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y=f (x) 与曲线 公共点的个数.
(Ⅲ) 设a<b, 比较 与 的大小, 并说明理由.
【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函数 . 设直线y=kx+1与 相切与点 .所以
(Ⅱ) 当 x > 0, > 0 时, 曲线y=f (x) 与曲线 的公共点个数即方程 根的个数.
由 ,
则 h(x)在
h(x) .
所以对曲线y=f (x) 与曲线 公共点的个数,讨论如下:
当 时,有0个公共点;当= ,有1个公共点;当 有2个公共点;
(Ⅲ) 设
令 .
,且
.
所以
23．（2015年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设函数 ( =2.71828是自然对数的底数, ).
(Ⅰ)求 的单调区间、最大值; (Ⅱ)讨论关于 的方程 根的个数.
【答案】解:(Ⅰ) ,
由 ,解得 ,
当 时, , 单调递减
所以,函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 ,
最大值为
(Ⅱ)令
(1)当 时, ,则 ,
所以,
因为 , 所以
因此 在 上单调递增.
(2)当 时,当时, ,则 ,
所以,
因为 , ,又
所以 所以
因此 在 上单调递减.
综合(1)(2)可知 当 时, ,
当 ,即 时, 没有零点,
故关于 的方程 根的个数为0;
当 ,即 时, 只有一个零点,
故关于 的方程 根的个数为1;
当 ,即 时,
①当 时,由(Ⅰ)知
要使 ,只需使 ,即 ;
②当 时,由(Ⅰ)知
;
要使 ,只需使 ,即 ;
所以当 时, 有两个零点,故关于 的方程 根的个数为2;
综上所述:
当 时,关于 的方程 根的个数为0;
当 时,关于 的方程 根的个数为1;
当 时,关于 的方程 根的个数为2.
24．（2015年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知 ,函数
(1)求曲线 在点 处的切线方程;(2)当 时,求 的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)由已知得: ,且 ,所以所求切线方程为: ,即为: ;
(Ⅱ)由已知得到: ,其中 ,当 时, ,
(1)当 时, ,所以 在 上递减,所以 ,因为 ;
(2)当 ,即 时, 恒成立,所以 在 上递增,所以 ,因为
;
(3)当 ,即 时,
,且 ,即
2
+0-0+
递增极大值递减极小值递增
所以 ,且
所以 ,
所以 ;
由 ,所以
(?)当 时, ,所以 时, 递增, 时, 递减,所以 ,因为
,又因为 ,所以 ,所以 ,所以
(?)当 时, ,所以 ,因为 ,此时 ,当 时, 是大于零还是小于零不确定,所以
①当 时, ,所以 ,所以此时 ;
②当 时, ,所以 ,所以此时
综上所述: .
25．（2015年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知函数
(I)若 时, ,求 的最小值;
(II)设数列
【答案】
26．（2015年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数 .
(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使 .
(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为 , 证明: 当 时, 有 .
【答案】
27．（2015年高考北京卷（理））设L为曲线C: 在点(1,0)处的切线.
(I)求L的方程;
(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.
【答案】解: (I)设 ,则 .所以 .所以L的方程为 .
(II)令 ,则除切点之外,曲线C在直线 的下方等价于 . 满足 ,且 .
当 时, , ,所以 ,故 单调递减;
当 时, , ,所以 ,故 单调递增.
所以, ( ).
所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.
又解: 即 变形为 ,记 ,则 ,
所以当 时, , 在(0,1)上单调递减;
当 时, , 在(1,+∞)上单调递增.
所以 .)
山
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