2012届高考数学备考立体几何复习教案

编辑: 逍遥路 关键词: 高三 来源: 高中学习网
专题四:立体几何
阶段质量评估(四)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,总分60分)
1.如右图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 的正方形,俯视图是一个直径为 的圆,那么这个几何体的全面积为( )
A. B.
C. D.
2.下列四个几何体中,每个几何体的三视图
有且仅有两个视图相同的是( )




A.①② B.①③ C.①④ D. ②④
3.如图,设平面 ,垂足分别为 ,若增加一个条件,就能推出 .

现有① ② 与 所成的角相等;
③ 与 在 内的射影在同一条直线上;④ ∥ .
那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是( )
个 个 个 个
4.已知直线 和平面 ,则下列命 题正确的是 ( )
A B
C D
5.空间直角坐标系 中,点 关于平面 的对称点的坐标是( )
A. B. C. D.
6.给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平 行,那么这两个平面相互平行;
②若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直,那么这条直线也和另一个平面垂直;
③若一条直线和两个互相垂直的平面中的 一个平面垂直,那么这条直线一定平行于另一个平面;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,为真命题的是 ( )
A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④
7.如图,正四棱柱 中, ,则异面直线 所成角的余弦值为( )

A. B. C. D.
8.如图,已知六棱锥 的底面是正六 边形, 则下列结论正确的是( )

A. B.
C. 直线 ∥ D. 直线 所成的角为45°
9.正六棱锥P-ABCDEF中,G为PB的中点,则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为( )
(A)1:1 (B) 1 :2 (C) 2:1 (D) 3:2
10.如图,在四面体 中,截面 是正方形,则在下列命题中,错误的为( )

. . ∥截面
. . 异面直线 与 所成的角为
11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为( )

A. B.
C. D.
12.如图, 为正方体,下面结论错误的是(  )
(A) 平面
(B)
(C) 平面
(D)异面直线 与 所成的角为

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,总分16分)
13.图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图,其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是 ,则此长方体的体积是 。

14.已知一圆锥的底面半径与一球的半径相等,且全面积也相等,则圆锥的母线与底面所成角的大小为 .(结果用反三角函数值表示)

15.如图,在长方形 中, , , 为 的中点, 为线段 (端点除外)上一动点.现将 沿 折起,使平面 平面 .在平面 内过点 ,作 , 为垂足.设 ,则 的取值范围是 .

16.已知点O在二面角α-AB-β的棱上,点P在α内,且∠POB=45°.若对于β内异于O的任意一点Q,都有∠POQ≥45°,则二面角α-AB-β的取值范围是_________.


三、解答题(本大题共6小题,总分74分)
17.如图,在长方体 ,点E在棱AB上移动,小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1,所爬的最短路程为 .
(1)求证:D1E⊥A1D;
(2)求AB的长度;
(3)在线段AB上是否存在点E,使得二面角
。若存在,确定
点E的位置;若不存在,请说明理由.






18.如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.
(Ⅰ)证明PA//平面BDE;
(Ⅱ)求二面角B—DE—C的 平面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱PB上是否存在点F,使PB⊥平面DEF?证明你的结论.





19. 如图所示的长方体 中,底面 是边长为 的正方形, 为 与 的交点, ,
是线段 的中点。
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求二面角 的大小。



20.如图,已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1, ,M是CC 1的中点,N是BC的中点,点P在A1B1上,且满足
(I)证明:
(II)当 取何值时,直线PN与平面ABC
所成的角 最大?并求该角最大值的正切值;
(II)若平面PMN与平面ABC所成的二面角
为45°,试确定点P的位置。



21.(本小题满分12分)
如图,四面体 中, 是 的中点, 和 均 为等边三角形, .

(I)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求二面角 的余弦值;
(Ⅲ)求 点到平面 的距离.


22.如图,在 中, ,斜边 . 可以通过 以直线 为轴旋转得到,且二面角 是直二面角.动点 在斜边 上.
(I)求证:平面 平面 ;
(II)当 为 的中点时,求异面直线 与 所成角的大小;
(III)求 与平面 所成角的最大值.


参考答案
一、选择题
1. 【解析】选A. 。
2. 【解析】选D.①三个都相同,②正视图和侧视图相同,③三个视图均不同,④正视图和侧视图相同。
3.C
4. 【解析】选B.对A, ,
对C画出图形可知,对D, 缺少条件。
5.C
6.D
7.D
8. D
9. 【解析】选C .由于G是PB的中点,故P-GAC的体积等于B-GAC的体积
在底面正六边形ABCDER中
BH=ABtan30°= AB
而BD= AB
故DH=2BH
于是VD-GAC=2VB-GAC=2VP-GAC

10. 【解析】选 .由 ∥ , ∥ , ⊥ 可得 ⊥ ,故 正确;由 ∥ 可得 ∥截面 ,故 正确; 异面直线 与 所成的角等于 与 所成的角,故 正确;综上 是错误的.

11. 【解析】选D.连 与 交于O点,再连BO,则 为BC1与平面BB1D1D所成的角.
, ,
.

12. 【解析】选D.显然异面直线 与 所成的角为 。
二、填空题
13. 【解析】向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是 ,设长方体的高为x,则 ,所以 ,所以长方体的体积为3。
答案:3

14.
15. 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法,即对于F位于DC的中点时, ,随着F点到C点时,因 平面 ,即有 ,对于 ,又 ,因此有 ,则有 ,因此 的取值范围是 .
答案:

16. 【解析】若二面角α-AB-β的大小为锐角,则过点P向平面 作垂线,设垂足为H.
过H作AB的垂线交于C,连PC、CH、OH,则 就是所求二面角

的平面角. 根据题意得 ,由于对于β内异于O的任意一点
Q,都有∠POQ≥45°,∴ ,设PO= ,则
又∵∠POB=45°,∴OC=PC= ,∵PC≤PH而在 中应有
PC>PH ,∴显然矛盾,故二面角α-AB-β的大小不可能为锐角。
即二面角 的范围是 。
若二面角α-AB-β的大小为直角或钝角,则由于∠PO B=45°,结合图形容易判断对于β内异于O的任意一点Q,都有∠POQ≥45°。
即二面角 的范围是 。
答案:

三、解答题
17. 【解析】(1)证明:连结AD1,由长方体的性质可知:
AE⊥平面AD1,∴AD1是ED1在
平面AD1内的射影。又∵AD=AA1=1,
∴AD1⊥A1D
∴D1E⊥A1D1(三垂线定理)
(2) 设AB=x,
点C1可能有两种途径,如图甲的最短路程为

如图乙的最短路程为




(3)假设存在,平面DEC的法向量 ,
设平面D1EC的法向量 ,则

由题意得:
解得 (舍去)


18. 【解析】(Ⅰ)以D为坐标原点,分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系,设PD=DC=2,则A(2,0,0),
P(0,0,2),E(0,1,1),B(2,2,0),

设 是平面BDE的一个法向量,
则由

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 是平面BDE的一个法向量,
又 是平面DEC的一个法向量.
设二面角B—DE—C的平面角为 ,由图可知

故二面角B—DE—C的余弦值为
(Ⅲ)∵ ∴
假设棱PB上存 在点F,使PB⊥平面DEF,设 ,
则 ,


即在棱PB上存在点F, PB,使得PB⊥平面DEF

19. 【解析】(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系.连接 ,则点 、 ,
∴ 又点 , ,∴
∴ ,且 与 不共线,∴ .
又 平面 , 平面 ,∴ 平面 .
(Ⅱ)∵ , ,∴ 平面 ,
∴ 为平面 的法向量.
∵ , ,
∴ 为平面 的法向量.
∴ ,
∴ 与 的夹角为 ,即二面角 的大小为 .

20. 解:(I)如图,以AB,AC,AA1分别为 轴,建立空间直角坐标系
则 2分
从而

所以 …………3分
(II)平面ABC的一个法向量为

(※) …………5分

由(※)式,当 …………6分
(III)平面ABC的一个法向量为
设平面PMN的一个法向量为
由(I)得
由 …………7分
解得 …………9分
平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°,

解得 11分
故点P在B1A1的延长线上,且 ……… …12分

21. 解法一:(I)证明:连结 , 为等边三角形, 为 的中点,

, 和 为等边三角形, 为 的中点, ,

在 中, ,
,即 .
, 面 .
(Ⅱ)过 作 于 连结 ,
平面 , 在平面 上的射影为

为二面角 的平角。
在 中,
二面角 的余弦值为
(Ⅲ)解:设点 到平面 的距离为 ,

在 中, ,

点 到平面 的距离为 .
解法二:(I)同解法一.

(Ⅱ)解:以 为原点,如图建立空间直角坐标系,

平面 , 平面 的法向量
设平面 的法向量 ,

设 与 夹角为 ,则
∴二面角 的余弦值为 .
(Ⅲ)解:设平面 的法向量为 又

设 与 夹角为 , 则
设 到平面 的距离为 ,
到平面 的距离为 .

22. 【解析】解法一:
(I)由题意, , ,
是二面角 的平面角,
又 二面角 是直二面角,
,又 ,
平面 ,
又 平面 .
平面 平面 .
(II)作 ,垂足为 ,连结 (如图),则 ,
是异面直线 与 所成的角.
在 中, , ,

又 .
在 中, .
异面直线 与 所成角的大小为 .
(III)由(I)知, 平面 ,
是 与平面 所成的角,且 .
当 最小时, 最大,
这时, ,垂足为 , , ,
与平面 所成角的最大值为 .
解法二:
(I)同解法一.
(II)建立空间直角坐标系 ,如图,则 , , , ,
, ,


异面直线 与 所成角的大小为 .
(III)同解法一

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