东城区2015-2016学年度第二学期教学检测高三数学（文科） 学校_____________班级_________姓名__________考号__________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。选择题部分（共40分）一 、选择题： 本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则P∩（CUQ）=A.{1，2，3，4，6} B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5} D.{1,2}2. 在某次测量中得到的A样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是 A. 众数　　 　B..平均数　 　　C.中位数　 　　 D.标准差3. 已知i是虚数单位，若,则z的共轭复数为A 1-2i B 2-4i C D 1+2i 4．设是直线，a，β是两个不同的平面, A. 若∥a，∥β，则a∥β B. 若∥a，⊥β，则a⊥βC. 若a⊥β，⊥a，则⊥β D. 若a⊥β, ∥a，则⊥β5． 函数的最大值与最小值之差为 A　　　 B. 4　　　 C. 3　　　 D.6．“是函数在区间内单调递增”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7．已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为 A. 　B. 　　C. 　　D. 8．已知，且，现给出如下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号是（ ）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 非选择题部分（共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知变量x、y满足条件则的最大值是______. 10. 经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是 ． 11. 曲线在点（0,1）处的切线方程为 .12. 在数列， ，13. 已知平面向量，．若， 则_____________． 14. 定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB。（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积.16. （本题满分14分）如图，在三棱锥中，?是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 o（Ⅰ）证明:：AC=BC；（Ⅱ）证明：AB⊥PC；（Ⅲ）若，且平面⊥平面， 求三棱锥体积.17. （本题满分13分）一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.(Ⅰ) 求z的值； (Ⅱ) 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率；(Ⅲ) 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.18．设函数（Ⅰ）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；（Ⅱ）设，若对任意，有，求的取值范围． 已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为坐标原点，点分别在椭圆和上，，求直线的方程．m的有穷数列数集，记（k=1,2,…,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（Ⅰ）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的； （Ⅱ）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,…,m）.求证：（k=1,2,…,m）.东城区2015-2016学年度第二学期教学检测高三数学答案（文科） 一 、选择题：1.D; 2.D; 3.A; 4.B; 5.A; 6.C;; 7.D; 8.C.二、填空题: 9. 6; 10.; 11. ; 12. ; 13. ; 14. 三、解答题：15.（本题满分12分）（Ⅰ）bsinA=acosB，由正弦定理可得，即得，. . ………………5分（Ⅱ）sinC=2sinA，由正弦定理得，由余弦定理，，解得，.△ABC的面积= ………………12分16. （本题满分14分）（Ⅰ）因为是等边三角形，,所以,可得.………………3分（Ⅱ）如图，取中点，连结,,则,,所以平面,所以. ．．．．．．7分 (Ⅲ)作，垂足为，连结．因为，所以，．由已知，平面平面，故．　　　　因为，所以都是等腰直角三角形。由已知，得， 的面积．因为平面，所以三棱锥的体积 　 ．．．．．．14分17. （本题满分13分）: (Ⅰ).设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400 ．．．．．．3分 (Ⅱ) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样, 所以,解得m=2,即抽取了2辆舒适型轿车, 3辆标准型轿车,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: ,(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为. ．．．．．．9分 (Ⅲ)样本的平均数为,那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为.. ．．．．．．13分18．（）当 ． 又当， ． （）当时，． 对任意上的最大值 与最小值之差,据此分类讨论如下： （），． （）， ． （）， ． 综上可知，．（）由已知可设椭圆的方程为， 其离心率为，故，则． 故椭圆的方程为． ．．．．．．5分 （）两点的坐标分别为， 由及（）知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为． 将代入中，得，所以， 将代入中，得，所以， 又由，得，即． 解得，故直线的方程为或． 为：2, 3, 4, 5, 1； 2, 3, 4, 5,； 2, 3, 4, 5,；2, 3, 4, 5, 4； 2, 3, 4, 5,，， 所以. 因为，， 所以，即. 因此，. ……13分 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源北京市东城区2015届高三3月质量调研数学文试题
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