山西大学附中
2014-2013学年高三(4月)月考数学(文科)试卷
(考试时间:120分钟)
一、:(每小题5分,共60分)
1.集合A= ,集合B= ,则 ( )
A. B. C. D.
2.设 则 的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
3.已知
A. B. C. D.
4.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图是
A. B. C. D.
5. 如下程序框图的功能是:给出以下十个数:5,9,80,43,95,73,28,17,60,36,把大于60的数找出来,则框图中的①②应分别填入的是( )
A. B.
C. D.
6.已知复数 在复平面上对应点为 ,则 关于直线 的对称点的复数表示是( ).
A. B. C. D.
7.抛物线 上的点到直线 距离的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知函数 是定义在 上的单调增函数且为奇函数,数列 是等差数列, ,则 的值( ).
A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为0 D.可正可负
9.在平面直角坐标系中,不等式 ( 为常数)表示的平面区域的面积为8,则 的最小值为( )A. B. C. D.
10.若三棱锥 的底面是以 为斜边的等腰直角三角形, , ,则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
11.如图, , 是双曲线 : (a>0,b>0)的左、右焦点,过 的直线 与 的左、右两支分别交于 , 两点.若 : : =3:4 : 5,则双曲线的离心率为( )A. B. C.2 D.
12.已知以 为周期的函数 ,其中 。若方程 恰有5个实数解,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、题:(每小题5分,共20分)
13.公比为4的等比数列 中,若 是数列 的前 项积,则有 , , 也成等比数列,且公比为 ;类比上述结论,相应的在公差为3的等差数列 中,若 是 的前 项和,则有一相应的等差数列,该等差数列的公差为____________.
14.已知函数 ,其导函数记为 ,则 .
15.设二次函数 的值域为 ,则 的最小值为
16.给出下列四个命题:
①
② ,使得 成立;
③ 为长方形, , , 为 的中点,在长方形 内随机取一 点,取得的点到 距离大小1的概率为 ;
④在 中,若 ,则 是锐角三角形,
其中正确命题的序号是
三、解答题:
17.(本题满分12分)在 中 分别为 , , 所对的边, 且 (1)判断 的形状;
(2)若 ,求 的取值范围
18. (本小题满分12分)
某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品 ,称其重量(单位:克)是否合格,分别记录抽查数据,获得重量数据茎叶图(如右). (1)根据样本数据,计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差, 并说明哪个车间的产品的重量相对稳定;(2)若从乙车间6件样品中随机抽取两件,求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率.
19.(本小题满分12分)如图,已知矩形 的边 , ,点 、 分别是边 、 的中点,沿 、 分别把三角形 和三角形 折起,使得点 和点 重合,记重合后的位置为点 。(1)求证:平面 平面 ;(2)设 、 分别为棱 、 的中点,求直线 与平面 所成角的正弦;
20.(本小题满分12分)
已知点 是椭圆E: ( )上一点, 、 分别是椭圆 的左、右焦点, 是坐标原点, 轴.
(1)求椭圆 的方程;(2)设 、 是椭圆 上两个动点, .求证:直线 的斜率为定值;
21.(本小题满分12分)
已知函数 , ,设 .
(1)求函数 的单调区间;(2)若以函数 图像上任意一点 为切点的切线的斜率 恒成立,求实数 的最小值;(3)是否存在实数 ,使得函数 的图像与函数 的图像恰有四个不同的交点?若存在,求出实数 的取值范围;若不存在,说明理由。
请考生在第22、23题中任选一题作答。若多做,则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)
已知点 ,参数 ,点 在曲线C: 上.
(1)求在直角坐标系中点 的轨迹方程和曲线 的方程;(2)求 的最小值.
23.(本小题满分10分)已知函数
(1)若 .求证: ;
(2)若满足 试求实数 的取值范围
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2014-2013学年高三(4月)月考数学(文科)答案
1~6DADDCD 7~12AACABB
13. 300 14. 2 15. 16.①②④.
17.试题分析:解:(1)由题意
由正弦定理知, 在 中,
或
当 时, 则 舍
当 时, 即 为等腰三角形。
(2)在等腰三角形 ,
取AC中点D,由 ,得
又由,
所以,
18. 18.(1)甲相对稳定。
,
(2)从乙车间6件样品中随机抽取两件,共有15种不同的取法:(108,109),
(108,110),(108,112),(108,115),(108,124),(109,110),
(109,112),(109,115),(109,124),(110,112),(110,115),
(110,124),(112,115),(112,124),(115,124).
设A表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”,
则A的基本事件有4种:(108,109),(108,110),(109,110),(110,112).
故所求概率为P(A)= .
19. (1)证明:
(2)如图,建立坐标系,则
,
易知 是平面PAE的法向量, 设MN与平面PAE 所成的角为
20.解:(Ⅰ)∵PF1⊥x轴,
∴F1(-1,0),c=1,F2(1,0),
PF2= ,2a=PF1+PF2=4,a=2,b2=3,
椭圆E的方程为: ;
(Ⅱ)设A(x1,y1)、B(x2,y2),由 得
(x1+1,y1- )+(x2+1,y2- )= (1,- ),
所以x1+x2= -2 ,y1+y2= (2- ) ………①
又 , ,
两式相减得3(x1+x2)(x1-x2)+ 4(y1+y2)(y1-y2)=0………..②
以①式代入可得AB的斜率k= 为定值;
试题分析:解:(I) ,
∵ ,由 ,∴ 在 上单调递增。
由 ,∴ 在 上单调递减。
∴ 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 。
(II) ,
恒成立
当 时, 取得最大值 。∴ ,∴
(III)若 的图象与 的图象恰有四个不同得交点,即 有四个不同的根,亦即 有四个不同的根。
令 ,
则
当x变化时, 、 的变化情况如下表:
x
的符号
+-+-
的单调性
由表格知: ,
画出草图和验证 可知,当 时, 与 恰有四个不同的交点。
∴当 时, 的图象与 的图象恰有四个不同的交点。
22.【解析】
试题分析:设点P的坐标为(x,y),则有 消去参数α,可得 由于α∈[0,π],∴y≥0,故点P的轨迹是上半圆 ∵曲线C: ,即 ,即 ρsinθ-ρcosθ=10,故曲线C的直角坐标方程:x-y+10=0.(2)如图所示:由题意可得点Q在直线x-y+10=0 上,点P在半圆上,半圆的圆心C(1,0)到直线x-y+10=0的距离等于 .即PQ的最小值为 -1.
23.解:(Ⅰ)
..2分
...5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, 在 为单调增函数.
且 ..7分
当 时, ;
当 时, ;
当 时, 综上所述: ...10分
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