第二讲 数列求和及综合应用
【最新考纲透析】
1．了解数列求和的基本方法。
2．能在具体问题情景中识别数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应问题。
3．了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。
【核心要点突破】
要点考向1：可转化为等差、等比数列的求和问题
考情聚焦：1．可转化为等差或等比数列的求和问题，已经成为高考考查的重点内容之一。
2．该类问题出题背景选择面广，易与函数方程、递推数列等知识综合，在知识 交汇点处命题。
3．多以解答题的形式出现，属于中、高档题目。
考向链接：某些递推数列可转化为等差、等比数列解决，其转化途径有：
1．凑配、消项变换——如将递推公式 （q、d为常数，q≠0，≠1）。通过凑配变成 ；或消常数转化为
2．倒数变换—如将递推公式 （c、d为非零常数）取倒数得
3．对数变换——如将递推公式 取对数得
4．换元变换——如将递推公式 （q、d为非零常数，q≠1，d≠1）变换成 ，令 ，则转化为 的形式。
例1：（2010?福建高考文科?Ｔ１7）数列{ } 中 ＝ ，前n项和 满足 - ＝ （n ）.
( I ) 求数列{ }的通项公式 以及前n项和 ；
（II）若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列，求实数t的值。
【命题立意】本题考查数 列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数方程思想、化归转化思想。
【思路点拨】第一步先求 的通项，可知 为等比数列，利用等比数列的前n项和求解出 ；第二步利用等差中项列出方程求出t
【规范解答】 ( I ) 由 得 ，又 ，故 ，从而
（II）由( I ) 从而由S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列可得 解得 。
【方法技巧】要求数列通项公式，由题目提供的是一个递推公式，如何通过递推公式来求数列的通项。题目要求的是项的问题，这就涉及有关“项”与“和”如何转化的问题。一般地，含有 的递推关系式，一般利用 化“和”为“项”。
要点考向2：错位相减法求和
考情聚焦：1．错位相减法求和，是高中数学中重要的数列求和方法，是近年来高考的重点考查内容。
2．该类问题背景选择面广，可与等差、等比数列、函数、不等式等知识综合，在知识交汇点处命题。
3．多以解答题的形式出现，属于中、高档题。
考向链接：几种求通项及求和方法
（1）已知 ，求 可用叠加法，即
（2）已知 ，求 可用叠乘法，即
（3）设{ }为等差数列， 为等比数列，求数列 的前n项和可用错位相减法。
例2：（2010 ?海南宁夏高考?理科T17）设数列 满足 ，
（Ⅰ)求数列 的通项公式：
（Ⅱ）令 ，求数列 的前n项和 .
【命题立意】本题主要考查了数列通项公式以及前 项和的求法，解决本题的关键是仔细观察形式，找到规律，利用等比数列的性质解题.
【思路点拨】由给出的递推关系，求出数列的通项公式，在求数列的前n项和.
【规范解答】（Ⅰ)由已知，当 时，
而 ，满足上述公式，
所以 的通项公式为 .
（Ⅱ）由 可知，
①
从而 ②
① ②得
即
【方法技巧】利用累加法求数列的通项公式，利用错位相减法求数列的和.
要点考向3：裂项相消法求和
考情聚焦：1．裂项相消求和是高中数学中的一个重要的数列求和方法，是近年来高考的重点考查内容。
2．该类问题背景选择面广，可与等差、等比数列、函数 、不等式等知识综合，在知识交汇点处命题。
3．多以解答题的形式出现，属中、高档题目。
考向链接：裂项求和的几种常见类型
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5）若 是公差为d的等差数列，则
；
（6） ；
（7）
（8） 。
例3：（2010?山东高考理科?Ｔ18）已知等差数列 满足： ， ， 的前n项和为 ．
（1）求 及 ；
（2）令 (n N*)，求数列 的前n项和 ．
【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力.
【思路点拨】(1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出求 及 ；(2)由(1)求出 的通项公式，再根据通项的特点选择求和的方法.
【规范解答】（1）设等差数列 的公差为d，因为 ， ，所以有
，解得 ，
所以 ； = = .
（2）由（1）知 ，所以bn= = = ，
所以 = = ，
即数列 的前n项和 = .
【方法技巧】数列求和的常用方法：
1、直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对公比 的讨论.
2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.
3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
4、裂项相消法：主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项，注意一般情况下剩下正负项个数相同.
5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广).
要点考向4：与不等式有关的数列问题
考情聚焦：1．数列综合问题，特别是数列与不等式的综合问题是高考中经常考查的重要内容。
2．该类问题可与函数的单调性、基本不等式、导数函数等知识交汇，综合命题。
3．多以解答题的形式出现，属高档题。
例4：（2010?天津高考文科?Ｔ22）在数列 中， =0，且对任意k ， 成等差数列，其公差为2k.
（Ⅰ）证明 成等比数列；
（Ⅱ）求数列 的通项公式；
（Ⅲ）记 ，证明 .
【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．
【思路点拨】（Ⅰ）（Ⅱ）应用定义法证明、求解；（Ⅲ）对n分奇数、偶数进行讨论．
【规范解答】（I）由题设可知， ， ， ， ， 。从而 ，所以 ， ， 成等比数列．
（II）由题设可得
所以
.
由 ，得 ，从而 .
所以数列 的通项公式为 或写为 ， ．
（III）由（II）可知 ， ，
以下分两种情况进行讨论：
当n为偶数时，设n=2m
若 ，则 ，
若 ，则
.
所以 ，从而
（２）当n为奇数时，设 ．
所以 ，从而
综合（1）和（2）可知，对任意 有
【高考真题探究】
1．（2010?天津高考理科?Ｔ6）已知 是首项为1的等比数列， 是 的前n项和，且 ，则数列 的前5项和为 ( )
（A） 或5 （B） 或5 （C） （D）
【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n项和公式．
【思路点拨】求出数列 的通项公式是关键．
【规范解答】选C．设 ，则 ，
即 ， ， ．
2．（2010?天津高考文科?Ｔ１5）设{an}是等比数列，公比 ，Sn为{an}的前n项和．
记 设 为数列{ }的最大项，则 = ．
【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n项和、均值不等式等基础知识．
【思路点拨】化简 利用均值不等式求最值．
【规范解答】
∴
∵ 当且仅当 即 ，所以当n=4，即 时， 最大．
【答案】4.
3．（2010?安徽高考理科?Ｔ20）设数列 中的每一项都不为0．
证明： 为等差数列的充分必要条件是：对任何 ，都有
．
【命题立意】本题主要考查等差数列与充要条件等知识，考查考生推理论证，运算求解能力．
【思路点拨】证明可分为两步，先证明必要性，适宜采用列项相消法，再证明充分性，可采用数学归纳法或综合法．
【规范解答】已知数列 中 的每一项都不为0，
先证
若数列 为等差数列，设公差为 ，
当 时，有 ，
即对任何 ，有 成立；
当 时，显然 也成立．
再证
对任意 ，有 ①，
②，
由②-①得： -
上式两端同乘 ，得 ③，
同理可得 ④，
由③-④得： ，所以 为等差数列
【方法技巧】
1、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的变形，如分组、裂项等 ，转化为常见的类型进行求和；
2、对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为 或 得到相关的式子，再进行化简变形处理；也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明.
4．（2010?安徽高考文科?Ｔ21）设 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在 轴的正半轴上，且都与直线 相切，对每一个正整数 ,圆 都与圆 相互外切，以 表示 的半径，已知 为递增数列.
(1)证明： 为等比数列；
（2）设 ，求数列 的前 项和.
【命题立意】本题主要考查等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察考生的抽象概括能力以及推理论证能力．
【思路点拨】（1）求直线倾斜角的正弦，设 的圆心为 ，得 ，同理得 ，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即 中 与 的关系，可证明 为等比数列；
（2）利用（1）的结论求 的通项公式，代入数列 ，然后采用错位相减法求和.
【规范解答】
．
【方法技巧】
1、对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为 或 得到相关的式子，再进行化简变形处理；
2、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的处理，如分组、列项相消、错位相减等 ，转 化为常见的类型进行求和．
5．（2010?江苏高考?Ｔ１9）设各项均为正数的数列 的前n项和为 ，已知 ，数列 是公差为 的等差数列．
（1）求数列 的通项公式（用 表示）；
（2）设 为实数，对满足 的任意正整数 ，不等式 都成立。求证： 的最大值为 ．
【命题立意】本题主要考查等差数列的通项、求和、基本不等式以及不等式的恒成立问题等有关知识，考查探索、分析及论证的能力．
【思路点拨】（1）先求 ，然后利用 的关系求解；（2）利用（1）中所求 利用基本不等式解决．
【规范解答】（1）由题意知： ，
，
化简，得：
，
当 时， ，适合 情形．
故所求 ．
（2）（方法一）
， 恒成立．
又 ， ，
故 ，即 的最大值为 ．
（方法二）由 及 ，得 ， ．
于是，对满足题设的 ， ，有
．
所以 的最大值 ．
另一方面，任取实数 ．设 为偶数，令 ，则 符合条件，且 ．
于是，只要 ，即当 时， ．
所以满足条件的 ，从而 ．
因此 的最大值为 ．
6．（2010?重庆高考理科?Ｔ21）在数列 中， =1， ，其中实数 。
（1）求 的通项公式 ；
（2）若对一切 有 ，求 的取值范围。
【命题立意】本小题考查归纳、猜想解题，考查数学归纳法及其应用，考查数列的基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查分类讨论的思想.
【思路点拨】（1）先求出数列 的前几项，归纳猜想得出结论，再用数学归纳法证明；（2）对恒成立问题进行等价转化，
【规范解答】（1）【方法1】：由 ， ，
，
，猜测 （ ），
下面用数学归纳法证明
当n=1时，等式成立；
假设当n=k时，等式成立，即 ，则当n=k+1时，
综上可知， 对任何 都成立.
【方法2】：由原式 ，
令 ，则 ， ，因此对 有
因此， ， 。又当n=1时上式成立。
因此， ， 。
（2）【方法1】：由 ，得
因 ，所以
解此不等式得：对一切 ，有 或 ，其中
易知 （因为 的分子、分母的最高次项都是2，且系数都是8，所以极限值是 ）；用放缩法得：
，所以 ，
因此由 对一切 成立得 ；
又 ，易知 单调递增，故 对一切 成立，因此由 对一切 成立得：
，从而c的取值范围为 .
【方法2】：由 ，得 ，
因 ，所以 对 恒成立.
记 ，下分三种情况讨论。
（i）当 即 或 时，代入验证可知只有 满足要求
（ii）当 时，抛物线 开口向下，因此当正整数k充分大时， ，不符合题意，此时无解。
（iii）当 ，即 或 时，抛物线 开口向上，其对称轴 必在直线 的左侧，因此， 在 上是增函数。
所以要使 对 恒成立，只需 即可。
由 解得 或
结合 或 得 或
综合以上三种情况， 的取值范围为 .
【方法技巧】（1）第（1）问有两种方法解答：①归纳猜想并用数学归纳法证明；②数列的迭代法（或累加消项法）；（2）第（2）问中对条件“恒成立”进行等价转化，转化为一元二次不等式求解或转化为二次函数进行讨论；（3）放缩法的运用
【跟踪模拟训练】
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.已知{an}为等差数列，若 <-1,且它的前n项和Sn有最大值，那么使Sn>0的n的最大值为( )
(A)11(B)20(C)19(D)21
2.已知等比数列{an}中,a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是( )
(A)(-∞，-1］
(B)(-∞,0)∪(1,+∞)
(C)［3,+∞)
(D)(-∞,-1］∪［3,+∞)
3.首项为b,公比为a的等比数列{an}的前n项和为Sn,对任意的n∈N*，点(Sn，Sn+1)在( )
(A)直线y=ax+b上
(B)直线y=bx+a上
(C)直线y=bx-a上
(D)直线y=ax-b上
4.在数列 中，若存在非零整数 ，使得 对于任意的正整数 均成立，那么称数列 为周期数列，其中 叫做数列 的周期. 若数列 满足 ，如 ，当数列 的周期最小时，该数列的前2010项的和是 （ ）
5.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：
他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
(A)289 (B)1 024 (C)1 225 (D)1 378
6.（2010届?安徽省安庆市高三二模（文））已知实数 、 满足： (其中 是虚数单位)，若用 表示数列 的前 项和，则 的最大值是( )
A.12 B.14 C.15 D.16
二、填空题（每小题6分，共18分）
7. 已知等比数列 满足 ，且 ，则当 时，
________
8. 类比是一个伟大的引路人。我们知道，等差数列和等比数列有许多相似的性质，请阅读下表并根据等差数列的结论，类似的得出等比数列的两个结论： ，
9.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第 _______行；第61行中1的个数是_______.
三、解答题(10、11题每题15分，12题16分，共46分)
10.已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）.
(1)证明数列{an+1}是等比数列；
(2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn，求函数f(x)在点x=1处的导数f′(1).
11.已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)=6x-2.数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式；
12.在数列 中， .
（1）求 的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）求 的最大值.
参考答案
一、选择题
1. 【解析】选C.∵等差数列{an}中， <-1且它的前n项和Sn有最大值，∴a10>0,a11<0,故a11<-a10.
即a11+a10<0,而a10+a10>0,
∴使Sn>0的n的最大值为19.
2.
3.
4. D
5. 【解析】选C.从图中观察知
图1中an=1+2+…+n=
图2中bn=n2,
显然1 225在an中n=49,
在bn中n=35.
6. D
二、填空题
7.
8. ，
9.【解析】①第1次全行的数都是1的是第1行，
第2次全行的数都是1的是第3行，
第3次全行的数都是1的是第7行，
……
第n次全行的数都是1的是第2n-1行，
②由上面结论知第63行有64个 1，
则1 100…… 0 011……61行
1 010……101……62行
1 111……11……63行
从上面几行可知第61行数的特点是两个1两个0交替出现，最后两个为1，
∴在第61行的62个数中有32个1.
答案：2n-1 32
三、解答题
10. 【解析】（1）由已知Sn+1=2Sn+n+5,
∴n≥2时，Sn=2Sn-1+n+4，
两式相减，得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1，
即an+1=2an+1.
从而an+1+1=2(an+1).
当n=1时，S2=2S1+1+5,
∴a1+a2=2a1+6,
又a1=5,∴a2=11,
∴a2+1=2(a1+1)，故总有an+1+1=2 (an+1),n∈N*.
又∵a1=5,∴an+1≠0，
即{an+1}是以a1+1=6为首项，2为公比的等比数列.
（2）由(1)知an=3×2n-1.
∵f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,
∴f′(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1.
11. 【解析】(1)依题意可设f(x)=ax2+bx(a≠0)，
则f′(x)=2ax+b.
由f′(x)=6x-2得a=3,b=-2,
所以f(x)=3x2-2x.
又由点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上得Sn=3n2-2n.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=(3n2-2n)-［3(n-1)2-2(n-1)］=6n-5;
当n=1时，a1=S1=3×12-2×1=1=6×1-5.
所以an=6n-5(n∈N*).
12. 【解析】（1）由 且 …）
得 ．
（2）由 变形得
，
是首项为 公比为 的等比数列
即 （ ）
（3）①当 是偶数时
随 增大而减少
当 为偶数时， 最大值是 ．
②当 是奇数时
随 增大而增大且
综上 最大值为
【备课资源】
1.已知等比数列{an}的公比q<0，前n项的和为Sn,则S4a5与S5a4的大小关系是( )
(A)S4a5=S5a4(B)S4a5>S5a4
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