2012届高考理科数学第二轮复习平面向量教案

编辑: 逍遥路 关键词: 高三 来源: 高中学习网
2012届高考数学二轮复习
专题五 平面向量
【重点知识回顾】
向量是既有大小又有方向的量,从其定义可以看出向量既具有代数特征,又具有几何特征,因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题,又可将某些几何问题转化为代数问题,在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用。能否理解和掌握平面向量的有关概念,如:共线向量、相等向量等,它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵活应用的问题。这就要求我们在复习中应首先立足课本,打好基础,形成清晰地知识结构,重点掌握相关概念、性质、运算公式 法则等,正确掌握这些是学好本专题的关键
在解决关于向量问题时,一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换,正确地进行向量的各种运算,进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识,并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想,所以要通过向量法和坐标法的运用,进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。
在解决解斜三角形问题时,一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用,另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段,通过学习提高解决实际问题的能力
因此,在复习中,要注意分层复习,既要复习基础知识,又要把向量知识与其它知识,如:曲线,数列,函数,三角等进行横向联系,以体现向量的工具性
平面向量基本定理(向量的分解定理)


的一组基底。
向量的坐标表示



. 平面向量的数量积



数量积的几何意义:

(2)数量积的运算法则



【典型例题】
1.向量的概念、向量的运算、向量的基本定理
例1. (2008湖北文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)?c=(  )
A.(-15,12)   B.0 C.-3 D.-11
解:(a+2b) ,(a+2b)?c ,选C
点评:本题考查向量与实数的积,注意积的结果还是一个向量,向量的加法运算,结果也是一个向量,还考查了向量的数量积,结果是一个数字
例2、(2008广东文)已知平面向量 ,且 ∥ ,则 =( )
A.(-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10)
解:由 ∥ ,得m=-4,所以,
=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8),故选(C)。
点评:两个向量平行,其实是一个向量是另一个向量的 倍,也是共线向量,注意运算的公式,容易与向量垂直的坐标运算混淆
例3.(1)如图所示,已知正六边形ABCDEF,O是它的中心,若 = , = ,试用 , 将向量 , , , 表示出来。
(1)解析:根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则,用向量 , 来表示其他向量,只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可
因为六边形ABCDEF是正六边形,所以它的中心O及顶点A,B,C四点构成平行四边形ABCO,
所以 , = + , = = + ,
由于A,B,O,F四点也构成平行四边形ABOF,所以 = + = + = + + =2 + ,
同样在平行四边形 BCDO中, = = = +( + )= +2 , = = -
点评:其实在以A,B,C,D,E,F及O七点中,任两点为起点和终点,均可用 , 表示,且可用规定其中任两个向量为 , ,另外任取两点为起点和终点,也可用 , 表示。
例4.已知 中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,1),BC边上的高为AD,求 。
解析:设D(x,y),则


所以 。
2. 向量与三角函数的综合问题
例5、(2008深圳福田等)已知向量 ,函数
(1)求 的最小正周期; (2)当 时, 若 求 的值.
解:(1) .
所以,T= .
(2) 由 得 ,
∵ ,∴  ∴ ∴
点评:向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点,但通常难度不大,一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件,并结合简单的向量运算,而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换,以及解三角形等知识点.
例6、(2007山东文)在 中,角 的对边分别为 .
(1)求 ;
(2)若 ,且 ,求 .
解:(1)
又 解得 .
, 是锐角. .
(2)由 , , .
又 . .
. .
  点评:本题向量与解三角形的内容相结合,考查向量的数量积,余弦定理等内容。
3. 平面向量与函数问题的交汇
例7.已知平面向量a=( ,-1),b=( , ).
(1) 若存在实数k和t,便得x=a+(t2-3)b, y=-ka+tb,且x⊥y,试求函数的关系式k=f(t);
(2) 根据(1)的结论,确定k=f(t)的单调区间
解:(1)法一:由题意知x=( , ),
y=( t- k, t+k),又x⊥y
故x ? y= ×( t- k)+ ×( t+k)=0
整理得:t3-3t-4k=0,即k= t3- t.
法二:∵a=( ,-1),b=( , ), ∴. =2, =1且a⊥b
∵x⊥y,∴x ? y=0,即-k 2+t(t2-3) 2=0,∴t3-3t-4k=0,即k= t3- t
(2) 由(1)知:k=f(t) = t3- t ∴k?=f?(t) = t3- ,
令k?<0得-1<t<1;令k?>0得t<-1或t>1.
故k=f(t)的单调递减区间是(-1, 1 ),单调递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞).
[归纳] 第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法:一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标,再利用向量垂直的充要条件;二是直接利用向量的垂直的充要条件,其过程要用到向量的数量积公式及求模公式,达到同样的求解目的(但运算过程大大简化,值得注意)。第2问中求函数的极值运用的是求导的方法,这是新旧知识交汇点处的综合运用
[变式] 已知平面向量 =( ,-1), =( , ),若存在不为零的实数k和角α,使向量 = +(sinα-3) , =-k +(sinα) ,且 ⊥ ,试求实数k 的取值范围。
[点拨] 将例题中的t略加改动,旧题新掘,出现了意想不到的效果,很好地考查了向量与三角函数综合运用能力。
解:仿例3(1)解法(二)可得
k= ( sinα- )2- ,而-1≤sinα≤1,
∴当sinα=-1时,k取最大值1; sinα=1时,k取最小值- .
又∵k≠0 ∴k的取值范围为 .

4. 平面向量在平面几何中的应用
例8、如图在Rt ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以A为中点,问 与 的夹角 取何值时, 的值最大?并求出这个最大值
解:以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。设AB=c,AC=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b).且PQ=2a,BC=a.设点P的坐标为(x,y),则Q(-x,-y),

∴cx-by=a2cos .∴ =- a2+ a2cos .故当cos =1,即 =0( 方向相同)时, 的值最大,其最大值为0.
点评:本题主要考查向量的概念,运算法则及函数的有关知识,平面向量与几何问题的融合。考查学生运用向量知识解决综合问题的能力。
例9、已知A、B为抛物线 (p>0)上两点,直线AB过焦点F,A、B在准线上的射影分别为C、D,
(1)若 ,求抛物线的方程。
(2)CD是否恒存在一点K,使得

D K C
解:(1)提示:记A( )、B ( )设直线AB方程为 代入抛物线方程得


(2)设线段AB中点P在在准线上的射影为T,

= - = - =0
故存在点K即点T,使得
[实质:以AB为直径的圆与准线相切]
[变式](2004全国湖南文21)如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点,点Q是点P关于原点的对称点.设点P分有向线段 所成的比为 ,证明: ;


解:依题意,可设直线AB的方程为 代入抛物线方程 得

设A、B两点的坐标分别是 、 、x2是方程①的两根.
所以
由点P(0,m)分有向线段 所成的比为 ,

又点Q是点P关于原点的对称点,
故点Q的坐标是(0,-m),从而 .




所以

【模拟演练】
一、选择题
1.已知点M1(6,2)和M2(1,7),直线y=mx-7与线段M1M2的交点分有向线段M1M2的比为3:2,则的值为 ( )
A. B. C. D.4
2.已知a,b是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角是 ( )
A. B. C. D.
3.已知向量 =(2,0),向量 =(2,2),向量 =( ),则向量 与向量 的夹角的范围为 ( )
A.[0, ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ , ]
4.设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则 ? = ( )
A. B. C.3 D.-3
5. O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足 = +λ( ), ,则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
6.已知平面上直线l的方向向量e=( , ),点O(0,0)和A(1, -2)在上的射影分别是O/和A/,则 ,其中λ=( )
A. B. C.2 D.-2
7、 ( )
A. B. C. D. 1
8、已知 , ,则向量 与 ( )
A.互相平行 B. 夹角为 C.夹角为 D.互相垂直
9、已知向量 的夹角是( )
A. B. C. D.
10、若向量 , ,则 等于( )
A. B. C. D.
11、已知非零向量 若 且 又知 则实数 的值为 ( )
A. B. C. 3 D. 6
12. 把函数y= 的图象按a=(-1,2)平移到F′,则F′的函数解析式为
A.y= B.y=
C.y= D.y=

二、填空题
13.已知向量a、b的夹角为 ,a=2,b=1,则a+ba-b的值是 .
14.已知M、N是△ABC的边BC、CA上的点,且 = , = ,设 = , = ,则 = .
15. △ABC中, ,其中A、B、C是△ABC的三内角,则△ABC是 三角形。
16. 已知 为坐标原点,动点 满足 ,其中 且 ,则 的轨迹方程为 .
三、解答题
17. 已知向量 , .(1)若 ,试判断 与 能否平行
(2)若 ,求函数 的最小值.
18. 设函数 ,其中向量 , .
(1)求函数 的最大值和最小正周期;
(2)将函数 的图像按向量 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的 .
19. 如图,△ABC的顶点A、B、C所对的边分别为a、b、c,A为圆心,直径PQ=2r,问:当P、Q取什么位置时, ? 有最大值?

20. 已知定点F(1,0),动点P在y轴上运动,过点P作PM交x轴于点M,并延长MP至点N,且
(1)求动点N的轨迹方程;
(2)直线l与动点N的轨迹交于A、B两点,若 且4 ≤ ≤ ,求直线l的斜率的取值范围
21. 已知点 是圆 上的一个动点,过点 作 轴于点 ,设 .
(1)求点 的轨迹方程;
(2)求向量 和 夹角的最大值,并求此时 点的坐标




22. 在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东 且与点A相距40 海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东 + (其中sin = , )且与点A相距10 海里的位置C.
(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);
(2)若该船不改变航行方向继续行驶.判断
它是否会进入警戒水域,并说明理由.



专题训练答案
一、选择题
1. D 2. B 3. D 4. B 5. B 6. D 7.A 8.A 9.D 10.B
11.D 12. A
二、填空题
13. 14. ;15.直角16.
三、解答题
17. 解:(1)若 与 平行,则有 ,因为 , ,所以得 ,这与 相矛盾,故 与 不能平行.
(2)由于 ,又因为 ,所以 , 于是 ,当 ,即 时取等号.故函数 的最小值等于 .
18.解:(1)由题意得,f(x)=a?(b+c)=(sinx,-cosx)?(sinx-cosx,sinx-3cosx)
=sin2x-2sinxcosx+3cos2x=2+cos2x-sin2x=2+ sin(2x+ ).
所以,f(x)的最大值为2+ ,最小正周期是 = .
(2)由sin(2x+ )=0得2x+ =k. ,即x= ,k∈Z,
于是d=( ,-2), k∈Z.
因为k为整数,要使 最小,则只有k=1,此时d=(? ,?2)即为所求.
19. 解: ? =( )?( )
=( )?(- )
=-r2+ ? ?
设∠BAC=α,PA的延长线与BC的延长线相交于D,∠PDB=θ,则
? =-r2+cbcosθ+racosθ
∵a、b、c、α、r均为定值,
∴当cosθ=1,即AP∥BC时, ? 有最大值.
20. 略解 (1)y2=4x (x>0)
(2)先证明l与x轴不垂直,再设l的方程为
y=kx+b(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立直线与抛物线方程,得
ky2- 4y+4b=0,由 ,得 .
又 故 而

解得直线l的斜率的取值范围是
21. 解析:(1)设 , ,则 , ,
.
(2)设向量 与 的夹角为 ,则 ,
令 ,则 ,
当且仅当 时,即 点坐标为 时,等号成立.
22. 解: (I)如图,AB=40 ,AC=10 ,

由于 ,所以cos =
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为 (海里/小时).
(2)解法一 如图所示,以A为原点建立平面直角坐标系,
设点B、C的坐标分别是B(x1,y2), C(x1,y2),
BC与x轴的交点为D.
由题设有,x1=y1= AB=40,
x2=ACcos ,
y2=ACsin
所以过点B、C的直线l的斜率k= ,直线l的方程为y=2x-40.
又点E(0,-55)到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域.


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