数学理科试题
注意事项:
1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名;
2.本试卷分为第Ⅰ卷()和第Ⅱ卷(非)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟.
参考公式:
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置.)
1.复数 (是虚数单位)在复平面内对应的点是位于( )
A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.设 ,则“ ”是“直线 与直线 平行”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知集合 , ,且 ,则 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4.设z=x+y,其中x,y满足 当Z的最大值为6时, 的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.如下图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 ,则输出 的值为( )
A. 12 B. 6 C. 3 D. 0
6. 的三个内角 对应的边分别 ,且 成等差数列,则角 等于( )
A . B.
C. D.
7.设 ,则二项式 展开式中的 项的系数为( )
A . B. 20
C. D. 160
8.如下图所示,在棱长为2的正方体 内(含正方体表面)任取一点 ,则 的概率 ( )
A. B. C. D.
9.已知平面上的线段及点 ,在上任取一点 ,线段 长度的最小值称为点 到线段的距离,记作 .设是长为2的线段,点集 所表示图形的面积为( )
A. B. C. D.
10.如下图所示,有三根针和套在一根针上的 个金属片,按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上。
(1)每次只能移动一个金属片;
(2)在每次移动过程中,每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面。
若将 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为 ,则 =( )
A. 33 B. 31 C.17 D. 15
二、题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
11.在样本频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其它10个长方形的面积和的 ,且样本容量为160,则中间一组的频数为
12.在平面直角坐标系 中,若双曲线 的焦距为8,则
13.如图,矩形 的一边 在 轴上,另外两个顶点 在函数 的图象上.若点 的坐标为 且 ,记矩形
的周长为 ,则
14.已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为
15.我国齐梁时代的数学家祖?(公元5-6世纪)提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这句话的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得的两个截面的面积总是相等,那么这两个几何体的体积相等.
设:由曲线 和直线 , 所围成的平面图形,绕 轴旋转一周所得到的旋转体为 ;由同时满足 , , , 的点 构成的平面图形,绕 轴旋转一周所得到的旋转体为 .根据祖?原理等知识,通过考察 可以得到 的体积为
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答写在答题卡相位置,应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分13分)
已知 为坐标原点,对于函数 ,称向量 为函数 的伴随向量,同时称函数 为向量 的伴随函数.
(Ⅰ)设函数 ,试求 的伴随向量 的模;
(Ⅱ)记 的伴随函数为 ,求使得关于 的方程 在 内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围.
17.(本小题满分13分)
某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满300元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下:
奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球,1个黄球,1个白球和1个黑球.顾客不放回的每次摸出1个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元,摸到白球或黄球奖励5元,摸到黑球不奖励.
(Ⅰ)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率;
(Ⅱ)记 为1名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量 的分布列和数学期望.
18.(本小题满分13分)
如图, 是半圆 的直径, 是半圆 上除 、 外的一个动点, 垂直于半圆 所在的平面, ∥ , , , .
⑴证明:平面 平面 ;
⑵当三棱锥 体积最大时,求二面
角 的余弦值.
19.(本小题满分13分)
已知圆 ,椭圆 .
(Ⅰ)若点 在圆 上,线段 的垂直平分线经过椭圆的右焦点,求点 的横坐标;
(Ⅱ)现有如下真命题:
“过圆 上任意一点 作椭圆 的两条切线,则这两条切线互相垂直”;
“过圆 上任意一点 作椭圆 的两条切线,则这两条切线互相垂直”.
据此,写出一般结论,并加以证明.
20.(本小题满分14分)已知函数 , ( )
(1)若函数 存在极值点,求实数b的取值范围;
(2)求函数 的单调区间;
(3)当 且 时,令 , ( ), ( )为曲线y= 上的两动点,O为坐标原点,能否使得 是以O为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在y轴上?请说明理由。
21.本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题做答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.
(1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵A= 有一个属于特征值1的特征向量 .
(Ⅰ) 求矩阵A;
(Ⅱ) 若矩阵B= ,求直线 先在矩阵A,再在矩阵B的对应变换作用下的像的方程.
(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程.
已知曲线 的极坐标方程是 ,直线的参数方程是 (为参数).
(Ⅰ)将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线与 轴的交点是 , 是曲线 上一动点,求 的最大值.
(3)(本小题满分7分)选修 :不等式选讲
(I)试证明柯西不等式:
(II)已知 ,且 ,求 的最小值.
福建省福建师大附中2013届5月高考三轮模拟试卷
数学理科试题参考答案
1-5 DCDAB 6-10 BCADB 11、32 12、3 13、216 14. 15.
16.解:(Ⅰ)∵ , ……… 2分
∴ . ………………………… 4分
故 . ……………………… 5分
(Ⅱ)由已知可得 ,………………7分
∵ , ∴ ,
故 . ……………………… 9分
∵当 时,函数 单调递增,且 ;
当 时,函数 单调递减,且 .
∴使得关于 的方程 在 内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围为 . … 13分
17.(Ⅰ)解:设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件 ,
则 ,
故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为 . ………………4分
(Ⅱ)解:随机变量 的所有取值为 . ………………5分
, ,
, ,
. ………………10分
所以,随机变量 的分布列为:
………11分
. ………………13分
18.(Ⅰ)证明:因为 是直径,所以 ………………1分,
因为 平面 ,所以 ………………2分,
因为 ,所以 平面 ………………3分
因为 , ,所以 是平行四边形, ,所以 平面 ………………4分,
因为 平面 ,所以平面 平面 ………………5分
(Ⅱ)依题意, ………………6分,
由(Ⅰ)知
,当且仅当 时等号成立 ………………8分
如图所示,建立空间直角坐标系,则 , , ,则 , , , ……………………9分
设面 的法向量为 , ,即 , ……………………10分
设面 的法向量为 , ,即 , ……………12分
可以判断 与二面角 的平面角互补 二面角 的余弦值为 。 ……………………13分
19. 解法一:
(Ⅰ)设点 ,则 , (1) ……………………1分
设线段 的垂直平分线与 相交于点 ,则 ,……2分
椭圆 的右焦点 , ………………3分
, , ,
, (2)…………………………4分
由(1),(2),解得 , 点 的横坐标为 . ……………5分
(Ⅱ)一般结论为:
“过圆 上任意一点 作椭圆 的两条切线,则这两条切线互相垂直.” ……………………………6分
证明如下:
(?)当过点 与椭圆 相切的一条切线的斜率
不存在时,此时切线方程为 ,
点 在圆 上 , ,
直线 恰好为过点 与椭圆 相切的另一条切线
两切线互相垂直.………………………………7分
(?)当过点 与椭圆 相切的切线的斜率存在时,
可设切线方程为 ,
由 得 ,
整理得 ,……………8分
直线与椭圆相切,
,
整理得 ,………………………9分
, ………………………10分
点 在圆 上, , , , 两切线互相垂直,
综上所述,命题成立.…………………………………………………13分
解法二:
(Ⅰ)设点 ,则 , (1)……………………………1分
椭圆 的右焦点 ,………………………………2分
点 在线段 的垂直平分线上, ,
, , (2)……4分
由(1),(2),解得 , 点 的横坐标为 .……………5分
(Ⅱ)同解法一.
20. 解:(Ⅰ) ,若 存在极值点,则 有两个不相等实数根。所以 , ……………2分
解得 ……………3分
(Ⅱ) ……………4分
当 时, ,函数 的单调递增区间为 ;……………5分
当 时, ,函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 。
……………7分
(Ⅲ) 当 且 时, 假设使得 是以O为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在y轴上。则 且 。……………8分
不妨设 。故 ,则 。 , 该方程有解
………………………………………………9分
当 时,则 ,代入方程 得 即 ,而此方程无实数解; …………………………10分
当 时, 则 ; …………11分
当 时,则 ,代入方程 得 即 , …………………………………12分
设 ,则 在 上恒成立。 在 上单调递增,从而 ,则值域为 。
当 时,方程 有解,即方程 有解。…………13分
综上所述,对任意给定的正实数 ,曲线上总存在 两点,使得 是以O为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在y轴上。………………………………14分
21.(1)【解析】(Ⅰ)由已知得 ,所以 …………2分
解得 故A= . ……………………………………………………3分
(Ⅱ) BA= = ,因为矩阵BA 所对应的线性变换将直线变成直线(或点),所以可取直线 上的两点(0,1),(-1,2), …………………………………………4分
, ,由得:(0,1),(-1,2)在矩阵A所对应的线性变换下的像是点(1,-3),(-1,-1) ……………………………6分
从而直线 在矩阵BA所对应的线性变换下的像的方程为 .…………7分
(2)解:(Ⅰ)曲线 的极坐标方程可化为 ,
又 ,
所以曲线 的直角坐标方程为 …………………3分
(Ⅱ)将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得 ,…………4分
令 ,得 ,即 点的坐标为(2,0). 又曲线 为圆,圆 的圆心坐标为(0,1),
半径 ,则 ,……………………………………………………6分
所以 .即 的最大值为 ……………………7分
(3)(Ⅰ)证明:左边= ,
右边= ,
左边 右边 , ………………2分
左边 右边 , 命题得证 . ………………………3分
(Ⅱ)令 ,则 ,
, ,
, ………………………4分
由柯西不等式得: , ………………………5分
当且仅当 ,即 ,或 时………6分
的最小值是1 . ……………………7分
解法2: , ,
, ………………4分
, ………………………5分
当且仅当 ,或 时 …………………6分
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