2012届高考数学三角函数的性质知识归纳复习教案

编辑: 逍遥路 关键词: 高三 来源: 高中学习网
4.三角函数的性质
一、知识梳理:
1、三角函数的性质
函数y=sinxy=cosxy=tanx




定义域RR

值域和最值[-1,1]
当 时,

当 时,

[-1,1]
当 时,

当 时,

R
无最值
周期2π2ππ
奇偶性 奇函数偶函数奇函数
单调区间增区间:

减区间:

增区间:

减区间:

增区间:
每一个
减区间:无

对称轴


对称中心



2、函数 最大值是 ,最小值是 ,周期是 ,频率是 ,相位是 ,初相是 ;
对称轴的位置:图象的最高点处;对称中心的位置:函数的零点处。
而函数 对称轴的位置:函数的零点处;对称中心的位置:图象的最高点处。
3、思想方法:
(1)总是用图象得函数的各性质,
(2)选取一个恰当的周期讨论性质从而加上周期推广到整个定义域。
(3)在研究函数 的各项性质的时候总是设 ,从而只需讨论 的各项性质就可得到 的各项性质和由 的范围得到 的范围.
(4)合一:y=asinx+bcosx= sin(x+ )= cos(x+ )
这里,

二、典例讨论:
1、定义域问题:三角不等式用三角函数线或图象上求之。
例1、求下列函数的定义域:(1) ;
(2) .
解(1)x应满足 ,即为 所以所求定义域为
(2)x应满足 ,利用单位圆中的三角函数线可得
所以所求定义域为
2、求单调区间:
例2、求下列函数的单调区间.
(1). (2).
解:(1) 上单调递增, 上单调递减。
(2).原函数变形为 令 ,则只需求 的单调区间即可. ,( )上
即 ,( )上单调递增,
在 ,上
即 ,上单调递减
故 的递减区间为:
递增区间为: .
[思维点拔] 1、要注意子函数的单调性,若函数为 则变形为 即可.2、在 中我们总是通过令 先求出
3、写成区间而不是不等式。注意取一个周期上求解。

3、求最小正周期
例3、求下列函数的最小正周期:
(1),
(2).
解:(1) ,(2)
指出求周期的一般方法:
1)化为 或 或
2)图象法:
3)定义法:
讨论练习:
求下列函数的最小正周期:
(1)
解:



所以,
(2)
解:因为 的周期 ,所以, 的周期
4、值域问题:
例4、求下列函数的值域:
(1) ;
(2) ;
(3) .
解:由题意 ,
∴ ,
∵ ,∴ 时, ,但 ,∴ ,
∴原函数的值域为 .

(2)∵ ,又∵ ,∴ ,∴ ,
∴函数 的值域为 .

(3)由 得 ,∴ ,
这里 , .
∵ ,∴ .解得 ,
∴原函数的值域为 .
5、奇偶性问题:
例5:讨论:(1)已知函数 为偶函数, ,其图象与直线 的交点的横坐标为 ,若 的最小值为 ,则 , .
解: ,
(2) 已知 ,函数 为奇函数,则a= (  )
(A)0    (B)1    (C)-1    (D)±1
解:A 提示:由题意可知, 得a=0
6、对称性问题:
例6、(1)下列坐标所表示的点不是函数 的图象的对称中心的是  (  )
(A)( ,0) (B)( ,0) (C)( ,0) (D)( ,0)
解:D提示:令 ,函数图象的对称中心为
(2)如果函数 的图象关于直线 对称,则 .
解: -1 提示:根据
(3)将函数 的图象F向右平移 个单位长度得到图象F′,若F′的一条对称轴是直线 则 的一个可能取值是
A. B. C. D.
解: 平移得到图象 的解析式为 ,
对称轴方程 ,
把 带入得 ,令 ,

三、课堂小结:
四、课后作业:
1.已知函数 , .求:
(I) 函数 的最大值及取得最大值的自变量 的集合;
(II) 函数 的单调增区间.
解(I)
当 ,即 时, 取得最大值 .
函数 的取得最大值的自变量 的集合为 .
(II)
由题意得:
即:
因此函数 的单调增区间为 .
2、求下列函数的值域:
(1) ;
(2) ;
(3) .
解:由题意 ,
∴ ,
∵ ,∴ 时, ,但 ,∴ ,
∴原函数的值域为 .

(2)∵ ,又∵ ,∴ ,∴ ,
∴函数 的值域为 .

(3)由 得 ,∴ ,
这里 , .
∵ ,∴ .解得 ,
∴原函数的值域为 .
3.是否存在实数a,使得函数 在闭区间 上的最大值是1?若存在,求出对应的a值?若不存在,试说明理由.
解:
当 时, ,令 则 ,

综上知,存在 符合题意.

本文来自:逍遥右脑记忆 http://www.jiyifa.net/gaosan/63808.html

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