注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。　　　2．考生作答时，选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上，在本试卷上答题无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。4．本试题卷共4页，如有缺页，考生须声明，否则后果自负。本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第卷（选择题 共45分）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共计45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.1.复数（为虚数单位）的共轭复数是A． B． C． D． 2．下列命题中的假命题是A. B. C. D. 3．已知随机变量的值如右表所示，如果与线性相关 且回归直线方程为，则实数的值为A. B. C. D. 4．已知命题，命题，且是的充分而不必要条件,则的取值范围是A. B. C. D. 5．圆柱形容器内盛有高度为6的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如右图所示），则球的半径是A. B. 2 C. 3 D. 46.已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则 的取值范围是A. B. C. D. 7．按照如图的程序运行，已知输入的值为， 则输出的值为A. 7 B. 11 C. 12 D. 248．如图，、是椭圆与双曲线：的公 共焦点，、分别是与在第二、四象限的公共点.? 若四边形为矩形，则的离心率是A. B. C. D. 9．若是定义在上的函数，且对任意实数，都有≤， ≥，且，，则的值是A. 2015 B. 2015 C. 2016 D. 2017第卷（非选择题 共105分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.10．以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），则圆心到直线的距离是 .11．若，则 .12．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是． 现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 ．13．，，，，则的最小值 为 ．14．已知某几何体的三视图（如下图），其中俯视图和视图都是腰长为4的等腰直角三角形，视图为直角梯形，则此几何体的体积的大小为 ． 15．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中的实心点个数1，5，12，22，…， 被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，……，若按此规律继续下去，(1) _________；(2) 若，则 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）在中，已知，，（）求角和角； （）求的面积.17．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人中要选一人去参加唱歌比赛，于是他们制定了一个规则，规则为：(如图)以为起点,再从这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为,若就让甲去；若就让乙去；若就是丙去.（）写出数量积的所有可能取值；（）求甲、乙、丙三人去参加比赛的概率，并由求出的概率来说明这个规则公平吗？18．（本小题满分12分）如图，四边形为正方形，平面，，. （）证明：平面平面；（）求二面角的余弦值.19．（本小题满分13分）已知等差数列的前项和为，公差，且，成等比数列.（）求数列的通项公式；（）设是首项为1公比为2 的等比数列，求数列前项和.20．（本小题满分13分）已知椭圆: 的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点.()求椭圆的方程；()若直线交椭圆于两点，在直线上存在点,使得为等边三角形,求的值.21．（本小题满分13分）已知函数(是常数)在处的切线方程为，且.（）求常数的值；（）若函数()在区间内不是单调函数，求实数的取值范围.）题号123456789答案ABDACBDCC二、填空题（）10．； 11．； 12．16； 13．8； 14．； 15．（1）35；（2）9. 三、解答题： 16解, ∵,∴, ∴, 或,……………………6分注：只得一组解给5分.（Ⅱ）当时,； 当时, ,所以S=或……………………………12分注：第2问只算一种情况得第2问的一半分3分.17解： （Ⅰ） …………………………3分的所有可能取值为 …………………………7分 P（乙去）= …………………………9分 P（丙去）= …………………………11分甲乙丙去的概率不相同，所以这个规则不公平…………………………12分18证明： （Ⅰ）∵面， ∴，又,所以面，∴，在直角梯形中，设，则，所以，又,所以面，又面，∴平面⊥平面………………6分（Ⅱ）由（1）知面∴就是二面角的平面角………………9分在中，所以……………12分19解： （Ⅰ）依题得………………2分解得………………4分，即……………6分（Ⅱ）………………7分 ① ②…………9分两式相减得： ………………13分20解：(Ⅰ)因为椭圆:的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点, 所以,椭圆的方程为……………… 4分 (Ⅱ)设,则（i）当直线的斜率为0时，的垂直平分线就是轴，轴与直线的交点为,又，所以是等边三角形,所以满足条件；………………6 分(ii)当直线的斜率存在且不为0时，设的方程为所以，化简得 解得所以……………… 8分又的中垂线为，它的交点记为由解得则……………… 10分因为为等边三角形， 所以应有代入得到，解得（舍）， 综上可知， 或 ……………… 13分21解： （Ⅰ）由题设知，的定义域为,,因为在处的切线方程为，所以,且，即,且,又 ，解得，， ………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知因此， 所以 ………………7分令. （?）当函数在内有一个极值时，在内有且仅有一个根，即在内有且仅有一个根，又因为，当，即时，在内有且仅有一个根，当时，应有，即，解得，所以有.（?）当函数在内有两个极值时，在内有两个根，即二次函数在内有两个不等根，所以，解得. 综上，实数的取值范围是 ………………13分！第2页 共11页学优高考网！！正视图第15题图第14题图第8题图第7题图湖南省怀化市2015届高三3月第一次模拟考试数学（文科）试题
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