2012届高考数学二轮复习资料
专题五 平面向量（教师版）
【考纲解读】
1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.
2．了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3．理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【考点预测】
高考对平面向量的考点分为以下两类:
(1)考查平面向量的概念、性质和运算,向量概念所含内容较多,如单位向量、共线向量、方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算，高考中或直接考查或用以解决有关长度，垂直，夹角，判断多边形的形状等，此类题一般以选择题形式出现，难度不大.
(2)考查平面向量的综合应用.平面向量常与平面几何、解析几何、三角等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅，此类题一般以解答题形式出现，综合性较强.
【要点梳理】
1.向量的加法与减法:掌握平行四边形法则、三角形法则、多边形法则，加法的运算律;
2.实数与向量的乘积及是一个向量，熟练其含义；
3.两个向量共线的条件:平面向量基本定理、向量共线的坐标表示；
4.两个向量夹角的范围是: ;
5.向量的数量积:熟练定义、性质及运算律，向量的模，两个向量垂直的充要条件.
【考点在线】
考点一 向量概念及运算
例1.(2011年高考山东卷理科12)设 ， ， ， 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (λ∈R)， (μ∈R)，且 ,则称 ， 调和分割 ， ,已知点C(c，o),D(d，O) (c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是( )
(A)C可能是线段AB的中点
(B)D可能是线段AB的中点
(C)C，D可能同时在线段AB上
(D) C，D不可能同时在线段AB的延长线上
【答案】D
考点二 平面向量的数量积
例2.（2011年高考海南卷文科13)已知 与 为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量 与向量 垂直,则 .
【答案】1
【解析】由题意知 ,即 ,所以 ,因为 与 不共线,所以 ,即k=1.
【名师点睛】本题考查两个向量垂直的充要条件、向量的数量积.
【备考提示】：熟练向量的基础知识是解答好本题的关键.
练习2: (2011年高考安徽卷文科14)已知向量a，b满足（a+2b）?（a-b）=－6，且 ， ，则a与b的夹角为 .
【答案】
【解析】 ，则 ，即 ， ，所以 ，所以 .
考点三 向量与三角函数等知识的综合
例3. （2009年高考江苏卷第15题）
设向量
（1）若 与 垂直，求 的值；
（2）求 的最大值;
（3）若 ，求证： ∥ .
【解析】
【名师点睛】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力.
【备考提示】：熟练向量的基础知识是解答好本题的关键.
练习3: （2009年高考广东卷A文科第16题）
已知向量 与 互相垂直，其中
（1）求 和 的值（2）若 ， ,求 的值
【解析】（１） , ,即
又∵ , ∴ ,即 ,∴
又 ,
(2) ∵
, ,即
又 , ∴ w
【易错专区】
1.（2011年高考全国卷文科3)设向量 满足 = =1, ,则 ( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】
故选B
2.（2011年高考辽宁卷文科3)已知向量a=（2,1），b=（-1，k），a?（2a-b）=0，则k=（ ）
（A）-12 （B）-6 （C）6 （D）12
【答案】D
【解析】由题意，得2a-b =（5，2-k），a?（2a-b）=2×5+2-k=0，所以k=12.
3. （2011年高考四川卷文科7)如图，正六边形ABCDEF中， =( )
(A)0 (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】 .
4．（ 2010年高考全国Ⅰ卷文科11）已知圆 的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么 的最小值为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】如图所示：设PA=PB= ,∠APO= ,则∠APB= ，PO= ， ，
= = = ，令 ，则 ，即 ，由 是实数，所以
， ，解得 或 .故 .此时 .
5．（2010年高考全国卷Ⅱ文科10）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若 = a , = b , = 1 ， = 2, 则 =( )
（A） a + b （B） a + b （C） a + b （D） a + b
【答案】B
【解析】∵ CD为角平分线，∴ ，∵ ，∴ ，∴
6．（2010年高考四川卷文科6）设点 是线段 的中点，点 在直线 外， ， ，则 ( )
（A）8 （B）4 （C）2 （D）1
【答案】C
【解析】由 ＝16，得BC＝4, ＝4
而 ,故 2.
7．（2011年高考江西卷文科11)已知两个单位向量 ， 的夹角为 ，若向量 ， ，则 =___.
【答案】-6
【解析】要求 * ，只需将题目已知条件带入，得： * =（ -2 ）*（3 +4 ）= ,其中 =1， = =1*1* = ， ，带入，原式=3*1—2* —8*1=—6.
8. （2011年高考福建卷文科13)若向量a=（1,1），b（-1,2），则a?b等于_____________.
【答案】1
【解析】因为向量a=（1,1），b（-1,2），所以a?b等于1.
9．（2011年高考湖南卷文科13)设向量 满足 且 的方向相反，则 的坐标为 ．
【答案】
【解析】由题 ，所以
10.（2011年高考浙江卷文科15)若平面向量α、β 满足 ，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为 ，则α和β的夹角θ取值范围是 .
【答案】
0,解得 .
【高考冲策演练】
一、选择题：
1.（2010年高考山东卷文科12）定义平面向量之间的一种运算“ ”如下：对任意的 ， ，令 ，下面说法错误的是( )
(A)若a与b共线，则
(B)
(C)对任意的 ，有
(D)
【答案】B
【解析】若 与 共线，则有 ，故A正确；因为 ，而
，所以有 ，故选项B错误，故选B。
2．（2010年高考天津卷文科9）如图，在ΔABC中， ， ， ，则 =( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】 =
= ，故选D。
3．（2010年高考福建卷文科8）若向量 ，则“ ”是“ ”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】由 得 ，所以 ；反之，由 可得 。
4．（2010年高考福建卷文科11）若点O和点F分别为椭圆 的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则 的最大值为( )
A.2 B.3 C.6 D.8
【答案】C
【解析】由题意，F（-1，0），设点P ，则有 ,解得 ，
因为 ， ，所以
= = ，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 ，因为 ，所以当 时， 取得最大值 ，选C。
5．（2010年高考北京卷理科6）a、b为非零向量。“ ”是“函数 为一次函数”的( )
（A）充分而不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若 ，则有 不一定是一次函数（当 时不是一次函数）；反之，成立，故选B。
6．(2010年高考安徽卷文科3)设向量 , ,则下列结论中正确的是( )
(A) (B)
(C) (D) 与 垂直
【答案】D
【解析】 ， ，所以 与 垂直.
7．（2010年高考辽宁卷文科8）平面上 三点不共线，设 ,则 的面积等于 ( )
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【解析】
8.(2010年高考宁夏卷文科2)a，b为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a，b夹角的余弦值等于( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
解析：由已知得 ，所以
．
9．（2010年高考广东卷文科5）若向量 =（1,1）， =（2,5）， =(3,x)满足条件 (8 － 【解析】 ，所以 =6.
11．（2010年高考湖北卷文科8）已知 和点M满足 .若存在实 使得 成立，则 =( )
A.2B.3C.4D.5
【答案】B
【解析】由 知，点M为 的重心，设点D为底边BC的中点，则
= ，所以有 ，故 =3，选B。
12．（2010年高考湖南卷文科6）若非零向量a，b满足 ，则a与b的夹角为( )
A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500
【答案】C
二、填空题：
13．(2010年高考江西卷文科13)已知向量 ， 满足 ， 与 的夹角为60°，则 在 上的投影是 ．
【答案】1
【解析】
14. (2010年高考浙江卷文科13)已知平面向量 则 的值是 。
【答案】
16．（2010年高考陕西卷理科11）已知向量 ，若 ∥ ，则 .
【答案】-1
【解析】∵ ，∴由 ∥ 得 .
三．解答题：
17．（2010年高考江苏卷试题15）
在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1).
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足( )? =0，求t的值。
【解析】（1）（方法一）由题设知 ，则
所以 故所求的两条对角线的长分别为 、 .
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:
E为B、C的中点，E（0，1）
又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）
故所求的两条对角线的长分别为BC= 、AD= ；
（2）由题设知： =(－2,－1)， 。
由( )? =0，得： ，
从而 所以 。
或者： ，
18．（2010年高考福建卷文科18）设平顶向量 ＝ （ m , 1）, = ( 2 , n )，其中 m， n {1,2,3,4}.
（I）请列出有序数组（ m，n ）的所有可能结果；
（II）记“使得 （ - ）成立的（ m，n ）”为事件A，求事件A发生的概率。
19．（2009年高考湖北卷理科第17题）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知向量
（Ⅰ）求向量 的长度的最大值；
（Ⅱ）设 ，且 ，求 的值。
【解析】（1）解法1： 则
，即
解法2：若 ，则 ，又由 ， 得
， ，即
，平方后化简得 w
解得 或 ，经检验， 即为所求
20. (山东省烟台市2011年1月“十一五”课题调研卷理科)
如图，平面上定点F到定直线l的距离FM=2，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且
（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线 于点N，已知 为定值.
【解析】（1）方法一：如图，以线段 的中点为原点 ，以线段 所在的直线为 轴建立直角坐标系 .则， .…………2分
设动点 的坐标为 ，则动点 的坐标为
， ， ……………3分
由 ? ，得 . ………5分
方法二：由 . ………2分
所以，动点 的轨迹 是抛物线，以线段 的中点
为原点 ，以线段 所在的直线为 轴建立直角坐标系 ，可得轨迹 的方程为：
. ……………………………………………………………………5分
（2）方法一：如图，设直线 的方程为 ， ，……6分
则 . ………………………………………………………………………………7分
联立方程组 消去 得，
， ， …………………………………………………8分
故 …………………………………………………………………………9分
由 ， 得，
， ，………………………………………………………10分
整理得， ，
? . …………………12分
方法二：由已知 ， ，得 . …………………………7分
于是， ， ① ………………………………………………8分
如图，过 、 两点分别作准线 的垂线，垂足分别为 、 ，
则有 = = ， ② ………………………………………………10分
由①、②得 . …………………………………………………………………12分
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