2012届高考数学第二轮平面向量备考复习

编辑: 逍遥路 关键词: 高三 来源: 高中学习网

2012届高考数学二轮复习资料
专题五 平面向量(教师版)
【考纲解读】
1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.
2.了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3.理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【考点预测】
高考对平面向量的考点分为以下两类:
(1)考查平面向量的概念、性质和运算,向量概念所含内容较多,如单位向量、共线向量、方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算,高考中或直接考查或用以解决有关长度,垂直,夹角,判断多边形的形状等,此类题一般以选择题形式出现,难度不大.
(2)考查平面向量的综合应用.平面向量常与平面几何、解析几何、三角等内容交叉渗透,使数学问题的情境新颖别致,自然流畅,此类题一般以解答题形式出现,综合性较强.
【要点梳理】
1.向量的加法与减法:掌握平行四边形法则、三角形法则、多边形法则,加法的运算律;
2.实数与向量的乘积及是一个向量,熟练其含义;
3.两个向量共线的条件:平面向量基本定理、向量共线的坐标表示;
4.两个向量夹角的范围是: ;
5.向量的数量积:熟练定义、性质及运算律,向量的模,两个向量垂直的充要条件.
【考点在线】
考点一  向量概念及运算
例1.(2011年高考山东卷理科12)设 , , , 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若 (λ∈R), (μ∈R),且 ,则称 , 调和分割 , ,已知点C(c,o),D(d,O) (c,d∈R)调和分割点A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是( )
(A)C可能是线段AB的中点
(B)D可能是线段AB的中点
(C)C,D可能同时在线段AB上
(D) C,D不可能同时在线段AB的延长线上
【答案】D
考点二  平面向量的数量积
例2.(2011年高考海南卷文科13)已知 与 为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量 与向量 垂直,则 .
【答案】1
【解析】由题意知 ,即 ,所以 ,因为 与 不共线,所以 ,即k=1.
【名师点睛】本题考查两个向量垂直的充要条件、向量的数量积.
【备考提示】:熟练向量的基础知识是解答好本题的关键.
练习2: (2011年高考安徽卷文科14)已知向量a,b满足(a+2b)?(a-b)=-6,且 , ,则a与b的夹角为 .
【答案】
【解析】 ,则 ,即 , ,所以 ,所以 .
考点三  向量与三角函数等知识的综合
例3. (2009年高考江苏卷第15题)
设向量
(1)若 与 垂直,求 的值;
(2)求 的最大值;
(3)若 ,求证: ∥ .
【解析】

【名师点睛】本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力.
【备考提示】:熟练向量的基础知识是解答好本题的关键.
练习3: (2009年高考广东卷A文科第16题)
已知向量 与 互相垂直,其中
(1)求 和 的值(2)若 , ,求 的值
【解析】(1) , ,即
又∵ , ∴ ,即 ,∴
又  ,
(2) ∵
, ,即
又 , ∴ w
【易错专区】
1.(2011年高考全国卷文科3)设向量 满足 = =1, ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】
故选B
2.(2011年高考辽宁卷文科3)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a?(2a-b)=0,则k=( )
(A)-12 (B)-6 (C)6 (D)12
【答案】D
【解析】由题意,得2a-b =(5,2-k),a?(2a-b)=2×5+2-k=0,所以k=12.
3. (2011年高考四川卷文科7)如图,正六边形ABCDEF中, =( )

(A)0 (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】 .
4.( 2010年高考全国Ⅰ卷文科11)已知圆 的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么 的最小值为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D

【解析】如图所示:设PA=PB= ,∠APO= ,则∠APB= ,PO= , ,
= = = ,令 ,则 ,即 ,由 是实数,所以
, ,解得 或 .故 .此时 .
5.(2010年高考全国卷Ⅱ文科10)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若 = a , = b , = 1 , = 2, 则 =( )
(A) a + b (B) a + b (C) a + b (D) a + b
【答案】B
【解析】∵ CD为角平分线,∴ ,∵ ,∴ ,∴
6.(2010年高考四川卷文科6)设点 是线段 的中点,点 在直线 外, , ,则 ( )
(A)8 (B)4 (C)2 (D)1
【答案】C
【解析】由 =16,得BC=4, =4
而 ,故 2.
7.(2011年高考江西卷文科11)已知两个单位向量 , 的夹角为 ,若向量 , ,则 =___.
【答案】-6
【解析】要求 * ,只需将题目已知条件带入,得: * =( -2 )*(3 +4 )= ,其中 =1, = =1*1* = , ,带入,原式=3*1—2* —8*1=—6.
8. (2011年高考福建卷文科13)若向量a=(1,1),b(-1,2),则a?b等于_____________.
【答案】1
【解析】因为向量a=(1,1),b(-1,2),所以a?b等于1.
9.(2011年高考湖南卷文科13)设向量 满足 且 的方向相反,则 的坐标为 .
【答案】
【解析】由题 ,所以
10.(2011年高考浙江卷文科15)若平面向量α、β 满足 ,且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为 ,则α和β的夹角θ取值范围是 .
【答案】
0,解得 .
【高考冲策演练】
一、选择题:
1.(2010年高考山东卷文科12)定义平面向量之间的一种运算“ ”如下:对任意的 , ,令 ,下面说法错误的是( )
(A)若a与b共线,则
(B)
(C)对任意的 ,有
(D)
【答案】B
【解析】若 与 共线,则有 ,故A正确;因为 ,而
,所以有 ,故选项B错误,故选B。
2.(2010年高考天津卷文科9)如图,在ΔABC中, , , ,则 =( )


(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】 =
= ,故选D。
3.(2010年高考福建卷文科8)若向量 ,则“ ”是“ ”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】由 得 ,所以 ;反之,由 可得 。
4.(2010年高考福建卷文科11)若点O和点F分别为椭圆 的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则 的最大值为( )
A.2 B.3 C.6 D.8
【答案】C
【解析】由题意,F(-1,0),设点P ,则有 ,解得 ,
因为 , ,所以
= = ,此二次函数对应的抛物线的对称轴为 ,因为 ,所以当 时, 取得最大值 ,选C。
5.(2010年高考北京卷理科6)a、b为非零向量。“ ”是“函数 为一次函数”的( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若 ,则有 不一定是一次函数(当 时不是一次函数);反之,成立,故选B。
6.(2010年高考安徽卷文科3)设向量 , ,则下列结论中正确的是( )
(A) (B)
(C) (D) 与 垂直
【答案】D
【解析】 , ,所以 与 垂直.
7.(2010年高考辽宁卷文科8)平面上 三点不共线,设 ,则 的面积等于 ( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】
8.(2010年高考宁夏卷文科2)a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
解析:由已知得 ,所以

9.(2010年高考广东卷文科5)若向量 =(1,1), =(2,5), =(3,x)满足条件 (8 - 【解析】 ,所以 =6.
11.(2010年高考湖北卷文科8)已知 和点M满足 .若存在实 使得 成立,则 =( )

A.2B.3C.4D.5
【答案】B
【解析】由 知,点M为 的重心,设点D为底边BC的中点,则
= ,所以有 ,故 =3,选B。
12.(2010年高考湖南卷文科6)若非零向量a,b满足 ,则a与b的夹角为( )
A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500
【答案】C
二、填空题:
13.(2010年高考江西卷文科13)已知向量 , 满足 , 与 的夹角为60°,则 在 上的投影是 .
【答案】1
【解析】
14. (2010年高考浙江卷文科13)已知平面向量 则 的值是 。
【答案】
16.(2010年高考陕西卷理科11)已知向量 ,若 ∥ ,则 .
【答案】-1
【解析】∵ ,∴由 ∥ 得 .
三.解答题:
17.(2010年高考江苏卷试题15)
在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1).
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;
(2)设实数t满足( )? =0,求t的值。
【解析】(1)(方法一)由题设知 ,则

所以 故所求的两条对角线的长分别为 、 .
(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则:
E为B、C的中点,E(0,1)
又E(0,1)为A、D的中点,所以D(1,4)
故所求的两条对角线的长分别为BC= 、AD= ;
(2)由题设知: =(-2,-1), 。
由( )? =0,得: ,
从而 所以 。
或者: ,
18.(2010年高考福建卷文科18)设平顶向量 = ( m , 1), = ( 2 , n ),其中 m, n {1,2,3,4}.
(I)请列出有序数组( m,n )的所有可能结果;
(II)记“使得 ( - )成立的( m,n )”为事件A,求事件A发生的概率。

19.(2009年高考湖北卷理科第17题)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
已知向量
(Ⅰ)求向量 的长度的最大值;
(Ⅱ)设 ,且 ,求 的值。
【解析】(1)解法1: 则

,即
解法2:若 ,则 ,又由 , 得

, ,即
,平方后化简得 w
解得 或 ,经检验, 即为所求
20. (山东省烟台市2011年1月“十一五”课题调研卷理科)
如图,平面上定点F到定直线l的距离FM=2,P为该平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为Q,且
(1)试建立适当的平面直角坐标系,求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线 于点N,已知 为定值.
【解析】(1)方法一:如图,以线段 的中点为原点 ,以线段 所在的直线为 轴建立直角坐标系 .则, .…………2分
设动点 的坐标为 ,则动点 的坐标为
, , ……………3分
由 ? ,得 . ………5分
方法二:由 . ………2分
所以,动点 的轨迹 是抛物线,以线段 的中点
为原点 ,以线段 所在的直线为 轴建立直角坐标系 ,可得轨迹 的方程为:
. ……………………………………………………………………5分
(2)方法一:如图,设直线 的方程为 , ,……6分
则 . ………………………………………………………………………………7分
联立方程组 消去 得,
, , …………………………………………………8分
故 …………………………………………………………………………9分
由 , 得,
, ,………………………………………………………10分
整理得, ,
? . …………………12分
方法二:由已知 , ,得 . …………………………7分
于是, , ① ………………………………………………8分
如图,过 、 两点分别作准线 的垂线,垂足分别为 、 ,
则有 = = , ② ………………………………………………10分
由①、②得 . …………………………………………………………………12分


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