2012届高考数学难点突破复习 立体几何初步

编辑: 逍遥路 关键词: 高三 来源: 高中学习网
立体几何初步

本章的定义、定理、性质多,为了易于掌握,可把主要知识系统化.首先,归纳总结,理线串点,可分为四块:A、平面的三个基本性质,四种确定平面的条件;B、两个特殊的位置关系,即线线,线面,面面的平行与垂直.C、三个所成角;即线线、线面、面面所成角;D、四个距离,即两点距、两线距、线面距、面面距.
其次,平行和垂直是位置关系的核心,而线面垂直又是核心中的核心,线面角、二面角、距离等均与线面垂直密切相关,把握其中的线面垂直,也就找到了解题的钥匙.
再次,要加强数学思想方法的学习,立体几何中蕴涵着丰富的思想方法,化空间图形为平面图形解决,化几何问题为坐标化解决,自觉地学习和运用数学思想方法去解题,常能收到事半功倍的效果.
第1课时 空间直线

1.空间两条直线的位置关系为 、 、 .
2.相交直线 一个公共点,平行直线 没有公共点,
异面直线:不同在任 平面,没有公共点.
3.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相 .
4.等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两角 .
5.异面直线的判定定理
过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用:判定两条直线是异面直线)
6.异面直线的距离:和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在 的长度,叫两异面直线的距离.


例1. 如图,在空间四边形ABCD中,AD=AC=BC=BD=a,AB=CD=b,E、F分别是AB、CD的中点.
(1) 求证:EF是AB和CD的公垂线;
(2) 求AB和CD间的距离.


例2. S是正三角形ABC所在平面外的一点,如图SA=SB=SC,
且 ASB= BSC= CSA= ,M、N分别是AB和SC的中点.
求异面直线SM与BN所成的角.


例3. 如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P
分别为A1B1、BB1、CC1的中点.
(1) 求异面直线D1P与AM,CN与AM所成角;

例4.如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底
面ABCD,AE⊥PD,EF∥CD,AM=EF.
(1) 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线;
(2) 若PA=3AB,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值.

求两条异面直线所成角的步骤:
(1)找出或作出有关角的图形;(2)证明它符合定义;(3)求角.

1.在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别为AB、CD的中点,EF= ,求AD、BC所成角的大小.

2.正 ABC的边长为a,S为 ABC所在平面外的一点,SA=SB=SC=a,E,F分别是SC和AB的中点.
(1) 求异面直线SC和AB的距离;
(2) 求异面直线SA和EF所成角.

3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M、N分别是A1B1和A1C1的中点,若BC=CA=CC1,求NM与AN所成的角.


4.如图,在正方体 中,
E、F分别是 、CD的中点.
(1)证明 ;(2)求 与 所成的角。


第2课时 直线和平面平行

1.直线和平面的位置关系 、 、 .
直线在平面内,有 公共点.直线和平面相交,有 公共点.
直线和平面平行,有 公共点.
直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外.
2.直线和平面平行的判定定理
如果平面外 和这个平面内 平行,那么这条直线和这个平面平行.
(记忆口诀:线线平行 线面平行)
3.直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面 ,经过 平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.(记忆口诀:线面平行 线线平行)


例1.如图,P是 ABC所在平面外一点,M PB,
试过AM作一平面平行于BC,并说明画法的理论依据.

例2. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧菱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.
( 1 ) 证明:PA∥平面EDB;
( 2 ) 求EB与底面ABCD所成的角的正切值.
例3.已知: ABC中, ACB=90°,D、E分别为AC、AB的中点,沿DE将 ADE折起使A到A'的位置,若平面A'DE⊥面BCDE,M是A'B的中点,求证:ME∥面A'CD.

例4: (2005年北京)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.
( 1 ) 求证:AC⊥BC1;(2) 求证:AC1∥平面CDB1;
(3) 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.

1.证明直线和平面平行的方法有:(1)依定义采用反证法;(2)判定定理;(3)面面平行性质;(4)向量法.
2.辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键,要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用.

1.如图,已知 平面 , 平面 ,△ 为等边三角形,
, 为 的中点.
(1) 求证: 平面 ;
(2) 求证:平面 平面 ;

2.(09北江中学文期末)如图,在底面是矩形的四棱锥 中, 面 , 、 为别为 、
的中点,且 , ,
(Ⅰ)求四棱锥 的体积;
(Ⅱ)求证:直线 ∥平面

第3课时 直线和平面垂直

1.直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面的 直线垂直,那么这条直线和这个平面互相垂直.
2.直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.
3.直线和平面垂直性质
若a⊥ ,b 则 若a⊥ ,b⊥ 则
若a⊥ ,a⊥ 则 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
4.点到平面距离
过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离.
5.直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时,这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离.

例1. OA、OB、OC两两互相垂直,G为 ABC的垂心.求证:OG 平面ABC.

例2 如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC中点.
(1) 求证:MN⊥CD;
(2) 若 PDA=45°,求证:MN⊥面PCD.

例3.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E、F分别为CD、PB的中点.
(1) 求证:EF⊥平面PAB;
(2) 设AB= BC,求AC与平面AEF所成的角的大小.

例4:如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,且PD=a,PA=PC= a.
(1) 求证:PD⊥面ABCD;
(2) 求直线PB与AC所成角;
(3) 求二面角A-PB-D大小.

线面垂直的判定方法:(1) 线面垂直的定义; (2)判定定理;
(3) 面面垂直的性质; (4) 面面平行的性质:若 ∥ ,a⊥ 则a ⊥

1:如图SA⊥面ABC,∠ABC=90°,AE⊥SB,且SB∩AE=E,AF⊥SC,且AF∩SC=F,求证:(1) BC⊥面SAB;(2) AE⊥面SBC;(3) SC⊥EF.

2:PD垂直于平面ABCD所在平面,PB⊥AC,PA⊥AB.
求证:① ABCD是正方形;② PC⊥BC.


3:如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD, BAD= BDC=90°,AB=AD=3 ,BC=2CD.求:
(1) 求AC的长;
(2) 求证:平面ABC⊥平面ACD;
(3) 求D点到平面ABC的距离d.

第4课时 平面与平面平行

1.两个平面的位置关系:
2.两个平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
(记忆口诀:线面平行,则面面平行)
3、两个平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它所有的 平行.
(记忆口诀:面面平行,则线线平行)
4.两个平行平面距离
和两个平行平面同时 的直线,叫做两个平面的公垂线,公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的 ,两个平行面的公垂线段的 ,叫做两个平行平面的距离.


例1.设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的是…( )
A.l α,m α,且l∥β,m∥β B.l α,m α,且l∥m
C.l⊥α,m⊥β,且l∥m D.l∥α,m∥β,且l∥m
例2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1中点.
(1) 求证:平面AMN∥平面EFDB;
(2) 求异面直线AM、BD所成角的余弦值.
例3.如图:直三棱柱 ,底面三角形ABC中, , ,棱 ,M、N分别为A1B1、AB的中点
①求证:平面A1NC∥平面BMC1; ②求异面直线A1C与C1N所成角的大小;
③求直线A1N与平面ACC1A1所成角的大小。

1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,P、Q分别是棱AA1、CC1的中点,则过点B、P、Q的截面( )
A 邻边不等的平行四边形; B 菱形但不是正方形
C 邻边不等的矩形 D 正方形
2.设有不同的直线,a、b和不同的平面 ,给出下列三个命题,其中正确的个数是( )
(1)a∥ ,b∥ 则a∥b (2)若a∥ ,a∥ 则 ∥
(3)若 ⊥ , ⊥ 则 ∥
A. 0 B. 1 C. 2 D .3
3. 是两个平面, 、 是两条直线,那么 ∥ 的一个充分而不必要的条件是 ( )
A. ∥ ,m∥ B. ∥m
C. ⊥ ,m⊥ 且 ∥m D . ∥ ,m∥ ,且 ∥m
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点.
求证:(1) AP MN;(2) 平面MNP∥平面A1BD.

5.P是 所在平面外一点, 、 、 分别是 、 、 的重心
(1)求证:平面 ∥平面ABC (2)求 :


第5课时 两个平面垂直

1.两个平面垂直的定义:如果两个平面相交所成二面角为 二面角,则这两个平面互相垂直.
2.两个平面垂直的判定:如果一个平面 有一条直线 另一个平面,则这两个平面互相垂直.
3.两个平面垂直的性质:如果两个平面垂直,那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面.
例1 如图所示,在四面体S-ABC中,SA=SB=SC,∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°.
求证:平面ABC⊥平面BSC.

例2.如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PD的中点,又二面角P-CD-B为45°.
⑴ 求证:AF∥平面PEC;
⑵ 求证:平面PEC⊥平面PCD;
⑶ 设AD=2,CD=2 ,求点A到面PEC的距离.

在证明两平面垂直时,一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线;若没有这样的直线,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明,不能随意添加,在有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后再转化为线线垂直.“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键.


1.如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.
⑴ 求证:AB⊥BC;
⑵ 若设二面角S-BC-A为45°,
SA=BC,求二面角A-SC-B的大小.

2.已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD,点E为AB中点,点F为PD中点.
(1) 证明:平面PED⊥平面PAB;
(2) 求二面角P-AB-F的平面角的余弦值.

3.如果在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°,且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
⑴ 若G为AD边的中点,求证BG⊥平面PAD;
⑵ 求证AD⊥PB;
⑶ 求二面角A-BC-P的大小;
⑷ 若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,
使平面DEF⊥平面ABCD,并证明你的结论.


第6课时 空间角
1.两异面直线所成的角:直线a、b是异面直线,经过空间一点O分别引直线a' a,b' b,把直线a'和b'所成的 或 叫做两条异面直线a、b所成的角,其范围是 .
2.直线和平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 角,叫做这条斜线和平面所成的角.
规定: ① 一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是 角;② 一条直线与平面平行或在平面内,我们说它们所成的角是 角.其范围是 .
3.二面角:从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角.
4.二面角的平面角:以二面角的棱上 一点为端点,在两个面内分别作 棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,其范围是 .


例1. 如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PC的中点.(1)求EF与平面PAD所成角的大小;
(2)求EF与CD所成角的大小;
(3)若∠PDA=45°,求:二面角F—AB—D的大小.

例2.正三棱柱ABC-A1B1C1中,E是AC中点.
⑴ 求证:平面BEC1⊥平面ACC1A1;
⑵ 求证:AB1∥平面BEC1;
⑶ 若 ,求二面角E-BC1-C的大小.

1.两异面直线所成角的作法:① 平移法:② 补形法
2.作出直线和平面所成角的关键是作垂线,找射影.
3.平面角的作法:① 定义法;② 三垂线法;③ 垂面法.
4.二面角计算,一般是作出平面角后,通过解三角形求出其大小,也可考虑利用射影面积公式 S'=Scosθ来求;空间角的计算有时也可以利用向量的求角公式完成.

1、如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成的角的余弦值是(  )  
(A)   (B)   (C)   (D)


2、在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( ) A. B. C. D.

3.如图,ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱,若二面角
C1—BD—C的大小为60°,求异面直线BC1与AC所成
的角的大小.

4. △ABC和△DBC所在平面互相垂直,且AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC=120°.求:
⑴ AD与平面DBC所成的角;
⑵ 二面角A-BD-C的正切值.


第7课时 空间距离

1.点与点的距离:两点间 的长.
2.点与线的距离:点到直线的 的长.
3.平行线间的距离:从两条平行线中一条上 一点向另一条引垂线,这点到 之间的线段长.
4.点与面的距离:点到平面的 的长.
5.平行于平面的直线与平面的距离:直线上 一点到平面的 的长.
6.两个平行平面间的距离:从其中一个平面上 一点向另一个平面引垂线,这点到 之间的线段长.
7.两条异面直线的距离:与两条异面直线都 的直线夹在两 间线段的长.


例1.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E、F分别是BB1、CD的中点.
⑴ 求证:AD⊥D1F;
⑵ 求证:AE与D1F所成的角;
⑶ 求点F到平面A1D1E的距离.

例2.如图,四面体ABCD中,△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形.
(1)若点D到平面ABC的距离不小于3,求二面角A—BC—D的取值范围;
(2)当二面角A—BC—D的平面角为 时,求点C到平面ABD的距离.



第8课时 棱柱 棱锥


例1. 如图,正三棱锥P—ABC中,侧棱PA与底面ABC成60°角.
(1)求侧PAB与底面ABC成角大小;
(2)若E为PC中点,求AE与BC所成的角;
(3)设AB= ,求P到面ABC的距离.

例2. 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,AB=2,CD=1,∠DAB=45°;侧面PAD是等腰直角三角形,AP=PD,且平面PAD⊥平面ABCD.
⑴ 求证:PA⊥BD;
⑵ 求PB与底面ABCD所成角的正切值;
⑶ 求直线PD与BC所成的角.


例3.(2009湖南卷文)(本小题满分12分)
如图3,在正三棱柱 中,AB=4, ,点D是BC的中点,点E在AC上,且DE E.
(Ⅰ)证明:平面 平面 ;
(Ⅱ)求直线AD和平面 所成角的正弦值。


1.正四棱锥的侧棱长为 ,侧棱与底面所成的角为 ,则该棱锥的体积为
A.3 B.6 C.9 D.18
2.已知正四棱锥 的侧棱长与底面边长都相等, 是 的中点,则 所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3.如图,在三棱锥 中, , , .
(1)求证: ;
(2)求二面角 的大小;
(3)求点 到平面 的距离.


4.如图,在四棱锥 中,底面 是矩形.已知 , , , , .
(Ⅰ)证明 平面 ;
(Ⅱ)求异面直线 与 所成的角的大小;
(Ⅲ)求二面角 的大小.

5、如图,已知 平面 , 平面 ,△ 为等边三角形,
, 为 的中点.
(1) 求证: 平面 ;
(2) 求证:平面 平面 ;
(3) 求直线 和平面 所成角的正弦值.
6.(2009北京卷文)(本小题共14分)
如图,四棱锥 的底面是正方形, ,点E在棱PB上.
(Ⅰ)求证:平面 ;
(Ⅱ)当 且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.

第9课时 球

例1.用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为( )
A. B. C. D.
例2. 长方体 的8个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD= ,
,则顶点A、B间的球面距离是( )
A. B. C. D.2
例3.已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于( )
A.1 B. C. D.2


计算球面上A、B两点的球面距离是一个难点,其关键是利用“AB既是小圆的弦,又是大圆的弦”这一事实,其一般步骤是:
(1) 根据已知条件求出小圆的半径r和大圆的半径R,以及所对小圆圆心角;
(2) 在小圆中,由r和圆心角求出AB;
(3) 在大圆中,由AB和R求出大圆的圆心角;
(4) 由圆心角和R,求出大圆弧长AB (即球面上A、B两点的距离).


1.长方体 的各顶点都在半径为1的球面上,其中 ,则两 点的球面距离为( )
A. B. C. D.
2.设 是球心 的半径 上的两点,且 ,分别过 作垂线于 的面截球得三个圆,则这三个圆的面积之比为:( )
(A)   (B)   (C)   (D)

3.已知点 在同一个球面上, 若
,则 两点间的球面距离是


本文来自:逍遥右脑记忆 http://www.jiyifa.net/gaosan/66090.html

相关阅读:2012届高考数学第一轮导学案复习:二次函数