浙江卷数学(理)试题答案与解析
选择题部分(共50分)
一、选择题:每小题5分,共50分.
1.已知i是虚数单位,则(?1+i)(2?i)=
A.?3+iB.?1+3i C.?3+3i D.?1+i
【命题意图】本题考查复数的四则运算,属于容易题
【答案解析】B
2.设集合S={xx>?2},T={xx2+3x?4≤0},则(?RS)∪T=
A.(?2,1]B.(?∞,?4]C.(?∞,1]D.[1,+∞)
【命题意图】本题考查集合的运算,属于容易题
【答案解析】C 因为(?RS)={xx≤?2},T={x?4≤x≤1},所以(?RS)∪T=(?∞,1].
3.已知x,y为正实数,则
A.2lgx+lgy=2lgx+2lgyB.2lg(x+y)=2lgx ? 2lgy
C.2lgx ? lgy=2lgx+2lgy D.2lg(xy)=2lgx ? 2lgy
【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质,属于容易题
【答案解析】D 由指数和对数的运算法则,易知选项D正确
4.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ?R),则“f(x)是奇函数”是“φ=π2”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性,属于中档题
【答案解析】B 由f(x)是奇函数可知f(0)=0,即cosφ=0,解出φ=π2+kπ,k?Z,所以选项B正确
5.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是95,则
A.a=4B.a=5
C.a=6D.a=7
【命题意图】本题考查算法程序框图,属于容易题
【答案解析】A
6.已知α?R,sin α+2cos α=102,则tan2α=
A.43B.34
C.?34D.?43
【命题意图】本题考查三角公式的应用,解法多样,属于中档题
【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=1022可得sin2α+4cos2α+4sin αcos α sin2α+cos2α=104,进一步整理可得3tan2α?8tan α?3=0,解得tan α=3或tan α=?13,于是tan2α=2tan α1?tan2α=?34.
7.设△ABC,P0是边AB上一定点,满足P0B=14AB,且对于AB上任一点P,恒有→PB?→PC≥→P0B?→P0C,则
A.?ABC=90?B.?BAC=90?C.AB=ACD.AC=BC
【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义,不等式恒成立的有关知识,属于中档题
【答案解析】D 由题意,设→AB=4,则→P0B=1,过点C作AB的垂线,垂足为H,在AB上任取一点P,设HP0=a,则由数量积的几何意义可得,→PB?→PC=→PH→PB=(→PB ?(a+1))→PB,→P0B?→P0C=?→P0H→P0B=?a,于是→PB?→PC≥→P0B?→P0C恒成立,相当于(→PB?(a+1))→PB≥?a恒成立,整理得→PB2?(a+1)→PB+a≥0恒成立,只需?=(a+1)2?4a=(a?1)2≤0即可,于是a=1,因此我们得到HB=2,即H是AB的中点,故△ABC是等腰三角形,所以AC=BC
8.已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex?1)(x?1)k(k=1,2),则
A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值
B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值
C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值
D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
【命题意图】本题考查极值的概念,属于中档题
【答案解析】C 当k=1时,方程f(x)=0有两个解,x1=0,x2=1,由标根法可得f(x)的大致图象,于是选项A,B错误;当k=2时,方程f(x)=0有三个解,x1=0,x2=x3=1,其中1是二重根,由标根法可得f(x)的大致图象,易知选项C正确。
9.如图,F1,F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率为
A.2 B.3
C.32 D.62
【命题意图】本题考查椭圆和双曲线的定义和几何性质,属于中档题
【答案解析】D 由题意,c=3,AF2+AF1=4……①,AF2?AF1=2a……②,①+②得AF2=2+a,①?②得AF1=2?a,又AF12+AF22= F1F22,所以a=2,于是e=ca=62.
10.在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有 PQ1= PQ2,则
A.平面α与平面β垂直B.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45?
C.平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60?
【命题意图】本题考查新定义问题的解决,重在知识的迁移,属于较难题
【答案解析】A 用特殊法立即可知选项A正确
非选择题部分(共100分)
二、填空题:每小题4分,共28分.
11.设二项式x?13x5的展开式中常数项为A,则A= .
【命题意图】考查二项式定理,属于容易题
【答案解析】?10
12.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的
体积等于 cm3.
【命题意图】本题考查三视图和体积计算,属于容易题
【答案解析】24 由题意,该几何体为一个直三棱柱截去一个
三棱锥所得
13.设z=kx+y,其中实数x,y满足x+y?2≥0,x?2y+4≥0,2x?y?4≤0.若z的最大值为12,则实数k= .
【命题意图】本题考查线性规划,属于容易题
【答案解析】2 作出平面区域即可
14.将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法有 种(用数字作答).
【命题意图】本题考查排列组合,属于中档题
【答案解析】480 第一类,字母C排在左边第一个位置,有A55种;第二类,字母C排在左边第二个位置,有A24A33种;第三类,字母C排在左边第三个位置,有A22A33+ A23A33种,由对称性可知共有2?( A55+ A24A33+ A22A33+ A23A33)=480种。
15.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F(?1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点.若FQ=2,则直线l的斜率等于 .
【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系,属于中档题
【答案解析】±1 设直线l的方程为y=k(x+1),联立y=k(x+1), y2=4x.消去y得k2x2+(2k2?4)x+k2=0,由韦达定理,xA+ xB =?2k2?4 k2,于是xQ=xA+ xB2=2k2?1,把xQ带入y=k(x+1),得到yQ=2k,根据FQ=2k2?22+2k2=2,解出k=±1.
16.在△ABC,?C=90?,M是BC的中点.若sin?BAM=13,则sin?BAC= .
【命题意图】本题考查解三角形,属于中档题
【答案解析】63 设BC=2a,AC=b,则AM=a2+b2,AB=4a2+b2,sin?ABM= sin?ABC=ACAB=b 4a2+b2 ,在△ABM中,由正弦定理BMsin?BAM=AMsin?ABM,即a13=a2+b2b 4a2+b2 ,解得2a2=b2,于是sin?BAC=BCAB=2a 4a2+b2=63.
17.设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,y?R.若e1,e2的夹角为π6,则xb的最大值等于 .
【命题意图】本题以向量为依托考查最值问题,属于较难题
【答案解析】2 xb=x(xe1+ye2)2=xx2+y2+3xy=1x2+y2+3xyx2=1yx2+3yx+1=1yx?3 22+14,所以xb的最大值为2
三、解答题:本大题共5小题,共72分.
18.(本小题满分14分)在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列
(Ⅰ)求d,an;
(Ⅱ)若d<0,求a1+a2+a3+…+an.
【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的概念,等差数列通项公式、求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力。
【答案解析】
(Ⅰ)由题意
5a3? a1=(2a2+2)2,
即
d2?3d?4=0.
故
d=?1或d=4.
所以
an=?n+11,n?N*或an=4n+6,n?N*
(Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0,由(Ⅰ)得d=?1,an=?n+11.则
当n?11时,
a1+a2+a3+…+an=Sn=?12n2+212n
当n?12时,
a1+a2+a3+…+an=?Sn+2S11=12n2?212n+110
综上所述,
a1+a2+a3+…+an=?12n2+212n, n?11, 12n2?212n+110,n?12.
19.(本题满分14分)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.
(Ⅰ)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;
(Ⅱ)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若 Eη=53,Dη=59,求a∶b∶c.
【命题意图】本题考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、数学方差等概念,同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。
【答案解析】
(Ⅰ)由题意得
ξ=2,3,4,5,6
故
P(ξ=2)=3?36?6=14,
P(ξ=3)=2?3?26?6=13,
P(ξ=4)=2?3?1+2?26?6=518,
P(ξ=5)=2?2?16?6=19,
P(ξ=6)=1?16?6=136,
所以ξ的分布列为
ξ23456
P14
13
518
19
136
(Ⅱ)由题意知η的分布列为
η123
Paa+b+c
ba+b+c
ca+b+c
所以
Eη=aa+b+c+2ba+b+c+3ca+b+c=53
Dη=1?532?aa+b+c+2?532?ba+b+c+3?532?ca+b+c=59
化简得
2a?b?4c=0,a+4b?11c=0
解得a=3c,b=2c,故
a∶b∶c=3∶2∶1
20.(本题满分15分)如图,在四面体A?BCD中,AD?平面BCD,BC?CD,AD=2,BD=22.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.
(Ⅰ)证明:PQ∥平面BCD;
(Ⅱ)若二面角C?BM?D的大小为60?,求?BDC的大小.
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解能力。
【答案解析】
(Ⅰ)取BD的中点O,在线段CD上取点F,使得DF=3FC,连接OP,OF,FQ.
因为AQ=3QC,所以
QF∥AD,且QF=14AD
因为O,P分别为BD,BM的中点,所以OP是△BDM的中位线,所以
OP∥DM,且OP=12DM
又点M是AD的中点,所以
OP∥AD,且OP=14AD
从而
OP∥FQ,且OP=FQ
所以四边形OPQF是平行四边形,故
PQ∥OF
又PQ?平面BCD,OF?平面BCD,所以
PQ∥平面BCD.
(Ⅱ)作CG?BD于点G,作GH?BM于点HG,连接CH,则CH?BM,所以?CHG为二面角的平面角。设?BDC=θ.
在Rt△BCD中,
CD=BDcos θ=22cos θ,
CG=CDsin θ=22cos θsin θ,
BG=BCsin θ=22sin2θ
在Rt△BDM中,
HG=BG?DMBM=22sin2θ3
在Rt△CHG中,
tan?CHG=CGHG=3cos θsin θ=3
所以
tan ?=3
从而
?=60?
即?BDC=60?.
21.(本题满分15分)如图,点P(0,?1)是椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.
(Ⅰ)求椭圆C1的方程;
(Ⅱ)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.
【命题意图】本题考查椭圆的几何性质,直线与圆的位置关系,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力
【答案解析】
(Ⅰ)由题意得
b=1,a=2.
所以椭圆C的方程为
x24+y2=1.
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为
y=kx?1.
又圆C2:x2+y2=4,故点O到直线l1的距离
d=1k2+1 ,
所以
AB=24?d2=24k2+3k2+1 .
又l1?l2,故直线l2的方程为
x+ky+k=0.
由
x+ky+k=0, x24+y2=1.
消去y,整理得
(4+k2)x2+8kx=0
故
x0=?8k 4+k2.
所以
PD=8k2+14+k2.
设△ABD的面积为S,则
S=12AB?PD=84k2+34+k2,
所以
S=324k2+3+134k2+3?3224k2+3 ? 134k2+3=161313,
当且仅当k=±102时取等号
所以所求直线l1的方程为
y=±102x?1
22.(本题满分14分)已知a?R,函数f(x)=x3?3x2+3ax?3a+3
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)当x?[0,2]时,求f(x)的最大值.
【命题意图】本题考查导数的几何意义,导数应用等基础知识,同时考查推理论证能力,分类讨论等分析问题和解决问题的能力
【答案解析】
(Ⅰ)由题意f ?(x)=3x2?6x+3a,故f ?(1)=3a?3.又f(1)=1,所以所求的切线方程为
y=(3a?3)x?3a+4
(Ⅱ)由于f ?(x)=3(x?1)2+3(a?1),0x?2.故
(?)当a?0时,有f ?(x) ?0,此时f(x)在[0,2]上单调递减,故
f(x)max=max{f(0),f(2)}=3?3a
(?)当a?1时,有f ?(x) ?0,此时f(x)在[0,2]上单调递增,故
f(x)max=max{f(0),f(2)}= 3a?1
(?)当00< x1< x2<2,f ?(x)=3(x? x1)(x? x2)
列表如下:
x0(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,2)2
f ?(x)+0?0+
f (x)3?3a单调递增极大值f (x1)单调递减极小值f (x2)单调递增3a?1
由于
f(x1)=1+2(1?a)1?a,f(x2)=1?2(1?a)1?a,
故
f(x1)+f(x2)=2>0,f(x1)?f(x2)=4(1?a)1?a>0
从而
f(x1)> f(x2).
所以
f(x)max=max{f(0),f(2),f(x1)}
(1)当0f(2).
又
f(x1)? f(0)=2(1?a)1?a?(2?3a)=a2(3?4a)2(1?a)1?a+2?3a>0
故
f(x)max= f(x1)=1+2(1?a)1?a.
(2)当23?a<1时,f(2)=f(2),且f(2)?f(0).
又
f(x1)? f(2)=2(1?a)1?a?( 3a ?2)=a2(3?4a)2(1?a)1?a+ 3a ?2
所以
①当23?a<34时,f(x1)> f(2).故
f(x)max= f(x1)=1+2(1?a)1?a.
②当34?a<1时,f(x1) ? f(2).故
f(x)max= f(2)= 3a?1.
综上所述,
f(x)max=3?3a, a?0,1+2(1?a)1?a, 0
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