2013年高三数学三模试卷(南通、泰州等五市)

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2013届南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市高三第三次模拟考试数学试卷(word版)(2013.5.2)
一、题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1. 已知集合 , ,则 ▲ .
2. 设复数 满足 ( 是虚数单位),则复数 的
模为 ▲ .
3. 右图是一个算法流程图,则输出的 的值是 ▲ .
4. “ ”是“ ”成立的 ▲ 条件.
(从“充要”,“充分不必要”,“必要不充分”中选择一个正确的填写)
5. 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆
机动车的行驶速度(单位:km/h)绘制的频率分布
直方图如右图所示.该路段限速标志牌提示机动
车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h,则该时
段内非正常行驶的机动车辆数为 ▲ .
6. 在平面直角坐标系 中,抛物线 上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3,则焦点到准线的距离为 ▲ .
7. 从集合 中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 ▲ .
8. 在平面直角坐标系 中,设点 为圆 : 上的任意一点,点 (2 , )
( ),则线段 长度的最小值为 ▲ .
9. 函数 , , 在 上
的部分图象如图所示,则 的值为 ▲ .
10.各项均为正数的等比数列 中, .当 取最小值时,数列 的通项公式an= ▲ .
11.已知函数 是偶函数,直线 与函数 的图象自左向右依次交于四个不同点 , , , .若 ,则实数 的值为 ▲ .
12.过点 作曲线 : 的切线,切点为 ,设 在 轴上的投影是点 ,过点 再作曲线 的切线,切点为 ,设 在 轴上的投影是点 ,…,依次下去,得到第 个切点 .则点 的坐标为 ▲ .
13.在平面四边形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,且AB , ,CD .
若 ,则 的值为 ▲ .
14.已知实数a1,a2,a3,a4满足a1 a2 a3 ,a1a42 a2a4 a2 ,且a1 a2 a3,则a4的取值范围是 ▲ .
二、解答题
15.如图,在四棱锥 中,底面 是矩形,四条侧棱长均相等.
(1)求证: 平面 ;
(2)求证:平面 平面 .
16.在△ABC中,角 , , 所对的边分别为 , ,c.已知 .
(1)求角 的大小;
(2)设 ,求T的取值范围.
17.某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示:图1是单层玻璃,厚度为8 mm;图2是双层中空玻璃,厚度均为4 mm,中间留有厚度为 的空气隔层.根据热传导知识,对于厚度为 的均匀介质,两侧的温度差为 ,单位时间内,在单位面积上通过的热量 ,其中 为热传导系数.
假定单位时间内,在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等.(注:玻璃的热传导系数为 ,空气的热传导系数为 .)
(1)设室内,室外温度均分别为 , ,内层玻璃外侧温度为 ,外层玻璃内侧温度为 ,且 .试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量(结果用 , 及 表示);
(2)为使双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%,应如何设计 的大小?
18.如图,在平面直角坐标系 中,椭圆 的右焦点为 ,离心率为 .分别过 , 的两条弦 , 相交于点 (异于 , 两点),且 .
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:直线 , 的斜率之和为定值.
19.已知数列 是首项为1,公差为 的等差数列,数列 是首项为1,公比为 的等比数列.
(1)若 , ,求数列 的前 项和;
(2)若存在正整数 ,使得 .试比较 与 的大小,并说明理由.
20.设 是定义在 的可导函数,且不恒为0,记 .若对定义域内的每一个 ,总有 ,则称 为“ 阶负函数”;若对定义域内的每一个 ,总有 ,则称 为“ 阶不减函数”( 为函数 的导函数).
(1)若 既是“1阶负函数”,又是“1阶不减函数”,求实数 的取值范围;
(2)对任给的“2阶不减函数” ,如果存在常数 ,使得 恒成立,试判断 是否为“2阶负函数”?并说明理由.
数学附加题
21.【选做题】
A.选修4—1:几何证明选讲
如图,⊙ 的半径为3,两条弦 , 交于点 ,且 , , .
求证:△ ≌△ .
B.选修4—2:矩阵与变换
已知矩阵 不存在逆矩阵,求实数 的值及矩阵 的特征值.
C.选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中,已知 , , , ,其中 .设直线 与 的交点为 ,求动点 的轨迹的参数方程(以 为参数)及普通方程.
D.选修4—5:不等式选讲
已知 , , .求证: .
22.【必做题】
设 且 ,证明:

23.【必做题】
下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘,其中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ部分的面积各占转盘面积的 , , , .游戏规则如下:
① 当指针指到Ⅰ,Ⅱ, Ⅲ,Ⅳ部分时,分别获得积分100分,40分,10分,0分;
② (?)若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分,则按①获得相应的积分,游戏结束;
(?)若参加该游戏转一次获得的积分是40分,则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏.正面向上时,游戏结束;反面向上时,再转一次转盘,若再转一次的积分不高于40分,则最终积分为0分,否则最终积分为100分,游戏结束.
设某人参加该游戏一次所获积分为 .
(1)求 的概率;
(2)求 的概率分布及数学期望.


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